一类新的双曲euler公式

一类新的双曲euler公式

1abel群的解析cloffo的几代cl1可以表示出来。Cl1={a+be∶a,b∈R,e2=1},(1.1)作为实域R上二维代数,满足交换律及结合律,令H={a(1001)+b(0110)∶a,b∈R}.(1.2)则Cl1与H代数结构相同(f∶Cl1→H;a+be→a(1001)+b(0110)为代数同构映射).将Cl1看作二维平面,Cl1中元素w=x+ey记为w=x+ect,c表光速,t表时间.ww*=x2-c2t2<0(>0,=0)时,称w为类时(类空、类光)向量.w*=x-ect称为w的共轭向量.定义Cl1的未来类时区为Cl+1={w∈Cl1∶ww*<0,t>0}.(1.3)对w=x+ect∈Cl+1,定义其间隔数(或称模长)及幅角依次为σ(w)=√|ww*|‚φ=arctanhxct.(1.4)利用双曲函数的如下公式及幂级数展开式用eφ替代(1.5)-(1.6)中的φ,可得如下双曲Euler公式eexp(eφ)=e(coshφ+esinhφ).(1.7)或写成eexp(eφ)=sinhφ+ecoshφ.(1.8)定理1.1∀w=x+ect∈Cl+1,有w=σ(w)eexp(eφ).(1.9)证∀w=x+ect∈Cl+1,有σ(w)=√c2t2-x2,利用(1.7),并将coshφ=ct√c2t2-x2‚sinhφ=x√c2t2-x2代入,可得σ(w)eexp(eφ)=σ(w)(xσ(w)+ectσ(w))=x+ect=w.定理1.2∀w1=x1+ect1,w2=x2+ect2∈Cl+1,定义运算“。”如下。∶w1。w2=ew1w2(1.10)则(Cl+1,。)成为Abel群.证设w=w1。w2,则有ww*=(ew1w2)(ew1w2)*=(ee*)(w1w*1)(w2w*2)<0;再由w=x+ect=ew1w2=e(x1+ect1)(x2+ect2)=(x1ct2+x2ct1)+e(x1x2+c2t1t2),得ct=x1x2+c2t1t2>0,即t>0.故w∈Cl+1,从而封闭律成立.e为单位元.每一w=x+ect∈Cl+1,w有逆元w-1=σ-2(w)(-w*)验证可知,Cl+1对运算“。”满足交换律与结合律.推论1.3定义U2={u∈Cl+1∶σ(u)=1},(1.11)则(U2,。)成为Abel群.定理1.4∀u∈U2,如下映射Lu∶Cl+1→Cl+1;w→u。w(1.12)为Lorentz变换.证令u=xu+ectu=sinhφ+ecoshφ,其中φ=arctanhxuctu=arctanhvc‚v=xutu.令w=x+ect,w′=x′+ect′=u。w=euw=(coshφ+esinhφ)(x+ect)=(xcoshφ+ctsinhφ)+e(ctcoshφ+xsinhφ)=γ(x+vt)+eγ(ct+xvc).从而有x′=γ(x+vt)‚t′=t+xvc2‚γ=1√1-v2c2(1.13)2规则到e参照Clifford代数Cl1,对于四维实空间R4中的点(x,y,z,q),用ect替代其分量q,定义R3,1≡{(x,y,z,ect)∶x,y,z,t∈R,e2=1}(2.1)有时将(x,y,z,ect)记为(x,y,z)+ect或r+ect.∀w=r+ect∈R3,1,当ww*=r2-c2t2<0(>0,=0)时,称w为类时(类空,类光)向量.定义R3,1的未来类时区为R3,1≡{w∈R3,1∶ww*=r2-c2t2<0,t>0}.(2.2)其中r=(x,y,z),r=√x2+y2+z2.∀w∈R3,1,定义其间隔数为σ(w)=|ww*|(2.3)定义其幅角为φ=arctanhrct.(2.4)∀w=r+ect∈R3,1+,令r0=rr,用er0φ替代(1.5)-(1.6)中φ,可得四维双曲Euler公式eexp(er0φ)=e(coshφ+er0sinhφ).(2.5)或写成eexp(er0φ)=r0sinhφ+ecoshφ.(2.6)定理2.1∀w=r+ect∈R3,1+,有w=σ(weexp(er0φ))‚r0=rr‚φ=arctanhrct.(2.7)证∀w=r+ect∈R3,1+,有eexp(er0φ)=r0sinhφ+ecoshφ=r0rσ(w)+ectσ(w),从而(2.7)成立.定理2.2在R3,1+中定义运算“。”如下。∶w1。w2=ew1w2=e(r1+ect1)(r2+ect2)=c(r1t2+r2t1)+(r1r2+c2t1t2)e.(2.8)则(R3,1+,。)成为Abel群.证令w=w1。w2,则ww*=(ew1w2)(ew1w2)*=(ee*)(w1w1*)(w2w*2)<0;再由w=r+ect及(2.8)可知,ct=r1r2+c2t1t2≥c2t1t2-r1r2>0,故w∈R3,1+.e为单位元.∀w=r+ect∈R3,1+,其逆元为w-1=σ-2(w)(-w*).验证可知,R3,1+对运算“。”满足交换律及结合律.推论2.3令U4≡{u∈R3,1+∶σ(u)=1},(2.9)则(U4,0)为Abel群.定理2.4∀u∈U4,建立映射Lu∶R3,1+→R3,1+,w→u。w,(2.10)则Lu为Lorentz变换.证设w=r+ect∈R3,1+w′=r′+ect′=Lu(w)=u。w,参照定理2.2的证明可知w′w′*=(euw)(euw)*