模糊仿紧性的刻画

模糊仿紧性的刻画

1模糊仿紧性在lf内部空间中的建立美国哲学家mashhou和ghaniam在文本和文本中提出了开放空间和f开放空间的概念。尤飞在文中将它们推广到是完全分配格的情形,即L-fuzzy闭包空间(LF闭包空间)。作者在本文中定义了LF内部空间。仿紧性是模糊拓扑学中的重要性质,目前已有多种模糊仿紧性,但比较而言,我们认为中的模糊仿紧性较好些。鉴于此,本文以中的模糊仿紧性为蓝本,在LF内部空间中建立了一种仿紧性。本文沿用文献的术语和记号。除非特别说明,L总表示F格。此外,对A∈LX,α∈L,采用A(a)={x∈X|A(x)≨α},A[α]={x∈X|A(x)≥α},A(a)={x∈X|a∈β(A(x))},特别地A(0)=A(0)。2为“包域”的-lx定义2.1设L是完全分配格,若映射～:LX→LX满足(1)0～=0;(2)A≤A～(∀A∈LX);(3)(A∨B)～=A～∨B～(∀A,B∈LX),则称～是LX上的一个∨Cech闭包算子,且称(LX,～)为一个LF闭包空间。定义2.2设L是F格,定义映射i:LX→LX为:∀A∈LX,Ai=((A′)～)′,称i是LX上的∨Cech一个内部算子,且称(LX,i)为一个LF内部空间。显然,i满足:(1)1i=1;(2)Ai≤A(∀A∈LX);(3)(A∧B)i=Ai∧Bi(∀A,B∈LX)。注2.1在定义2.1中,映射～规定为:～(A)=A～;同样地,在定义2.2中,映射i规定为:i(A)=Ai.定义2.3设(LX1,i1)和(LY2,i2)为两个LF内部空间,f:LX1→LY2是序同态。若对每个A∈LY2,f-1(Ai2)≤(f-1(A))i1,则称f为广义连续序同态。定理2.1设(LX1,i1)和(LY2,i2)为两个LF内部空间,f:LX1→LY2是序同态。则下列条件等价:(1)f为广义连续序同态。(2)∀A∈LY2,(f-1(A))～1≤f-1(A～2)。(3)∀A∈LX1,f(A～1)≤(f(A))～2。证明(1)⇒(2)。∀A∈LY2,令B=A′,f-1(Bi2)≤(f-1(B))i1,则[f-1(Bi2)]′≥[(f-1(B))i1]′,即f-1((B′)～2)≥((f-1(B))′)～1)=(f-1(B′))～1)。所以f-1(A～2)≥(f-1(A))～1。(2)⇒(1)。∀A∈LY2,令B=A′。(f-1(B))～1≤f-1(B～2),即((f-1(B))～1)′≥(f-1(B～2))′,则(f-1(B′))i1≥f-1((B′)i2),即(f-1(A))i1≥f-1(Ai2)。(2)⇒(3)。∀A∈LX1,设B=f(A),则A～1≤(f-1(B))～1,因此f(A～1)≤f((f-1(B))～1)≤f(f-1(B～2))≤B～2。所以f(A～1)≤(f(A))～2。(3)⇒(2)。∀A∈LY2,设B=f-1(A)。由f(B-1)≤(f(B))～2得f((f-1(A))～1)≤(f(f-1(A)))～2。因为f(f-1(A))≤A,所以f((f-1(A))～1≤A～2,因此(f-1(A))～1≤f-1(f(f-1(A))～1)≤f-1(A～2)。定义2.4设(LX,i)为LF内部空间,xα∈M*(LX),P～∈LX。若xα≨P～,则称P～为xα的包域。分子xα的一切包域之集,记作C(xα)。定义2.5设(LX,i)为LF内部空间,xα∈M*(LX),Qi∈LX.若(Qi)′为xα的包域,则称Qi为xα的一个Q-内部域。分子xα的一切Q-内部域之集,记作∂(xα)。定义2.6设(LX,i)为LF内部空间,D∈LX,α∈M(L),Φ⊂Δ.若∀xα≤D,∃A～∈Φ使xα≨A～,则Φ称为D的α-包域族。若∃r∈β*(α),使Φ为D的r-包域族,则Φ被称为D的α--包域族。其中Δ={A～|A∈LX}。定义2.7设(LX,i)为LF内部空间,D∈LX,α∈M(L),Ω⊆ᐁ.若∀xα≤D,∃Ai∈Ω使xα≨(Ai)′,则Ω称为D的α-Q-内部族,其中ᐁ={Ai|A∈LX}。显然,Φ是D的α-包域族当且仅当Φ′是D的α-Q-内部族。定义2.8设Φ={At|t∈T}⊆LX,A∈LX,α∈M(L)。如果∀xα≤A,∃P～∈C(xα)以及T的有限子集T0使∀t∈T-T0,At≤P～,则称Φ在A中α-局部有限。若∃r∈β*(α)使Φ在A中r-局部有限,则称Φ在A中α--局部有限。定义2.9设(LX,i)为LF内部空间,∀α∈M(L),A∈LX。如果对于A的每个α-包域族有一个有限的α-包域族,则称A为F紧集。定理2.2设(LX,i)为LF内部空间,A∈LX.A为F紧集当且仅当∀α∈M(L),A的每个α--包域族有一个有限的α--包域族。证明充分性。显然成立。必要性。∀α∈M(L),Φ为A的任一α--包域族,即∃γ∈β*(α)使Φ是A的γ-包域族。由γ∈β*(α)=β*(∨{λ|λ∈β*(α)})=∪{β*(λ)|λ∈β*(α)}得,∃λ∈β*(α)使γ∈β*(λ)。因此Φ为A的λ--包域族。有F紧性的定义得,存在A的有限λ-包域族φ.显然,φ是A的有限α--包域族。定理2.3设(X1,i1)和(X2,i2)为两个F内部空间。X=X1×X2,Pt:X→X是射影映(t=1,2)。定义映射～:X→X为:(x,y)α∈X(α≠0),A∈X,(x,y)α≨A～,若P-11(B)∨P-12(C)=A,有xα≨B～1,yα≨C～2。有下面的结论成立。1°映射～满足:(1)0～=0;(2)A≤A～(∀A∈X);(3)(A∨B)～=A～∨B～(∀A,B∈X)。2°Pt是广义连续射影映射(t=1,2)。证明1°(1)0≤0～,显然成立。下证0～≤0。∀(x,y)α≨0(α≠0)。因为P-11(01)∨P-12(02)=0,并且xα≨0～1=0,yα≨0～2=0成立,所以(x,y)α≨0～。因此0～≤0。(2)(x,y)α∈X(α≠0)且(x,y)α≨A～,根据～的定义,若P-11(B)∨P-12(C)=A,有xα≨B～1,yα≨C～2。从而xα≨B,yα≨C,即(x,y)α≨P-11(B)∨P-12(C)=A.所以A≤A～。(3)设A,B∈X,且A≤B.易证A～≤B～.由此得A～∨B～≤(A∨B)～.下面证明(A∨B)～≤A～∨B～.设(x,y)α≨A～∨B～,根据～的定义,若P-11(B1)∨P-12(B2)=A,有xα≨B∼11,yα≨B∼22;若P-11(C1)∨P-12(C2)=B,有xα≨C∼11,yα≨C∼22.从而,若P-11(B1∨C1)∨P-12(B2∨C2)=A∨B,有xα≨(B1∨C1)～1,yα≨(B2∨C2)～2,即(x,y)α≨(A∨B)～。所以(A∨B)～≤A～∨B～。2°要证Pt(A～)≤(Pt(A))～t(t=1,2),只须证A～≤P-1t((Pt(A))～t(t=1,2)。(x,y)α∈X(α≠0)且(x,y)α≨P-1t((Pt(A))～t(t=1,2)。我们可得,xα≨(P1(A))～1,yα≨(P2(A))～2。又因P-11(P1(A))∨P-12(P2(A))≥A,所以,根据～的定义有,(x,y)α≨A～。因此A～≤P-1t((Pt(A))～t)(t=1,2),即Pt(A～)≤(Pt(A))～t(t=1,2)。定义2.10设(X1,i1)和(X2,i2)为两个F内部空间,X=X1×X2.定义i:X→X为:∀A∈X,Ai=((A′)～)′。则称(X,i)为(X1,i1)和(X2,i2)的F乘积空间。定理2.4设(X,i)为(X1,i1)和(X2,i2)的F乘积空间,A,B∈X,(x+y)α∈X(α≠0),则下列条件是等价的:(1)若P-11(C1)∨P-12(C2)=A,有xα≨C∼11,yα≨C∼22,则(x,y)α≨A～。(2)若P-11(D1)∧P-12(D2)=B,有xα≨(Di11)′,yα≨(Di22)′,则(x,y)α≨(Bi)′。证明(1)⇒(2):令B=A′.由P-11(C1)∨P-12(C2)=A得,P-11(C′1)∧P-12(C′2)=B.令C′1=D1,C′2=D2。由(1)知,若P1-1(C1)∨P2-1(C2)=B′,有xα≨C1∼1,yα≨C2∼2,则(x,y)α≨B′～,即,若P1-1(D1)∧P2-1(D2)=B,有xα≨(D1i1)′,yα≨(D2i2)′,则(x,y)α≨(Bi)′。结论得证。(2)⇒(1):类似于上面的证明。3为“ab”的-q-内部族及加细定义3.1设(LX,δ)是LF拓扑空间,D∈LX,∀α∈M(L),对D的每个α--Q-覆盖Φ,存在一个D的α-Q-覆盖β,使得β加细Φ(∀B∈β,∃A∈Φ使B≤A)并且β(0)∧D在D中α-局部有限,其中β(0)={B(0)|B∈β},则D叫做F仿紧集。定义3.2设(LX,i)为LF内部空间,D∈LX,∀α∈M(L),对D的每个α--Q-内部族Φ,存在一个D的α-Q-内部族β,使得β加细Φ(∀B∈β,∃A∈Φ使B≤A)并且β(0)∧D在D中α-局部有限,其中β(0)={B(0)|B∈β},则D叫做F仿紧集。若D=1X,则(LX,i)为F仿紧空间。定理3.1F紧集是F仿紧集。证明设D是F紧集。∀α∈M(L),Φ为D的任一α--Q-内部族,即Φ′为D的任一α--包域族。由F紧集的定义得,存在有限子族β′为D的α-包域族。显然β是Φ的加细且β(0)∧D在D中α-局部有限。定理3.2设(LX,i)为LF内部空间,D∈LX.D是F仿紧集当且仅当∀α∈M(L),对D的每个α--Q-内部族Φ,总有D的α--Q-内部族φ使得φ是Ф的加细,且φ(0)∧D在D中α--局部有限的。证明充分性。显然成立。必要性。∀α∈M(L),Φ为D的任一α--Q-内部族,即∃γ∈β*(α)使Φ是D的γ-Q-内部族。有γ∈β*(α)=β*(∨{λ|λ∈β*(α)})=∪{β*(λ)|λ∈β*(α)}得,∃λ∈β*(α)使γ∈β*(λ)。因此Φ为D的λ--Q-内部族。由F仿紧性的定义得,存在D的λ-Q-内部族φ使φ是Φ的加细且φ(0)∧D在D中λ-局部有限的。显然φ是D的α--Q-内部族且φ(0)∧D在D中α--局部有限。定理3.3设(X,i1),(Y,i2)是两个F内部空间,A为(X,i1)中的F紧集,B为(Y,i2)中的F仿紧集,则A×B为乘积空间(X×Y,i)中的F仿紧集。证明设α∈(0,1],(A×B)[α]≠∅,Φ是A×B的α--Q-内部族。即∃r∈β*(α),使得Φ是A×B的r-Q-内部族。因此∀(x,y)r≤A×B有(F(x,y))i∈Φ使(x,y)r≨((F(x,y))i)′。根据定理2.4(2),存在P1-1(Mxy)∧P2-1(Nxy)=F(x,y)(P1,P2是广义的连续射影映射),使得(Mxy)i1∈∂(xr),(Nxy)i2∈∂(yr)。令Ω={(Mxy)i1|x∈A[r]},则Ω是A的r-Q-内部族。因为A是F紧集,有Ω的有限子族Ωy={(Mx(y)ty)i1|t=1,…,n(y)}是A的α-Q-内部族。令(Νy)i2=∧t=1n(y)(Νx(y)ty)i2。显然(Ny)i2∈∂(yr)。令ᐁ={(Ny)i2|y∈B[r]},则ᐁ是B的r-Q-内部族。有B是F仿紧集知,有B的α-Q-内部族ψ使ψ是ᐁ的加细,且ψ(0)∧B在B中α-局部有限。∀σi2∈ψ取y(σi2)∈B[r]使(Ny(σi2))i2≥σi2,取Γ={P1-1((Mx(y(σi2))ty(σi2)i1)∧P-12(σi2)|σi2∈φ,t=1,…,n(y(σi2))},则下面的结论成立:(1)Γ是A×B的α-Q-内部族。事实上,(x,y)α≤A×B,则xα≤A,yα≤B.因为ψ是B的α-Q-内部族,有σi2∈ψ使yα≨(σi2)′。因此yα≨((Ny(σi2)i2)′∈ᐁ′.因为Ωy(σi2)是A的α-Q-内部族,有t≤n(y(σi2))使xα≨((Mx(y(σi2))ty(σi2))i1)′.显然,(x,y)α≨P1-1((Mx(y(σi2))ty(σi2))i1)∧P2-1(σi2)。因此Γ是A×B的α-Q-内部族。(2)Γ是Φ的加细。事实上,Ρ1-1((Μx(y(σi2))ty(σi2))i1)∧Ρ2-1(σi2)≤Ρ1-1((Μx(y(σi2))ty(σi2))i1)∧Ρ2-1((Νy(σi2))i2≤Ρ1-1((Μx(y(σi2))ty(σi2))i1)∧Ρ2-1((Νx(y(σi2))ty(σi2))i2)≤(Ρ1-1(Μx(y(σi2))ty(σi2)))i∧(Ρ2-1(Νx(y(σi2))ty(σi2)))i)=(F(x(y(σi2))t,y(σi2)))i∈Φ(3)(A×B)∧Γ(0)是A×B的α-局部有限。事实上,(x,y)α≤A×B,则yα≤B.因ψ(0)∧B在B中α-局部有限,∃Q～2∈C(yα)和有限子族ψ0={(σ1)i2,…,(σk)i2}⊆ψ使∀σi2∈ψ-ψ0,B∧σ(0)i2≤Q～2。取P～=P2-1(Q～2),有P～∈C((x,y)α)。∀σi2∈ψ-ψ0,(A×B)∧(Ρ1-1(