二维实交换代数的h-m内积刻画

二维实交换代数的h-m内积刻画

1双曲复合器和双曲复合器1.1维实交换代数h形状与z.x和iy相同，称为双曲复合，其中x、yr（实面积），j是带有玻璃滤波器特性的虚拟单位，具有j2。1，j*=j（j*被称为j的共轭元）。H={x+jy|x,y∈R}(1)则H关于如下定义的加法与乘法作成二维实交换代数z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2),z1z2=(x1x2+y1y2)+j(x1y2+x2y1),(2)其中,z1=x1+jy1,z2=x2+jy2.作为二维实交换代数,H的矩阵表示为S={x(1001)+y(0110)|x,y∈R}.(3)H的非平凡理想为如下主理想D1=(1+j)={a(1+j)|a∈R},D2=(1-j)={b(1-j)|b∈R}(4)且有性质:D1+D2=H,D1∩D2=D1D2={0}.(5)H的所有零因子所成集为D=D1∪D2,(6)且D1,D2互为共轭零因子集,即D*1={a(1+j)*}={a(1-j)}=D2.(7)D1,D2作为H的子代数,均与实域R的同构.对此我们有如下同构映射f∶D1→D2,1+j→1-j;g∶D1→R,(1+j)/√2→1.(8)∀z=x+jy∈H＼D,则z有逆元,且其逆元为z-1=1x+jy=x-jyx2-y2.(9)命题1H＼D关于H的乘法作成Abel群.1.2h平面上的二元运算与双曲复数对应的平面称为双曲复平面(亦称H平面).引入二元实函数f∶H×H→R;(x1+jy1,x2+jy2)→x1x2+jy1(jy2)*=x1x2-y1y2(10)则H成为二维Minkowski空间(Minkowski平面).由(10)定义的二元实函数称为Minkowski内积(简称M内积),并记f(x1+jy1,x2+jy2)为(x1+jy1)·(x2+jy2).由M内积定义z=x+jy的间隔数(或称模长为)σ(z)=√|zz*|=√|x2-y2|(11)间隔数为0的数称为迷向数,易知,H平面的所有迷向数所成集,恰为二维实交换代数H的所有零因子所成集.关注这一事实,由H平面表述Minkowski平面,将为考察Minkowski平面的相关性质带来方便.为考察H平面的对称性及有序性等性质,先给出几个必要的定义定义1设K为非空集,在K上定义了两个代数运算+,。,满足:(K,+)是半群;(K,。)是半群;。对+可分配.则称K是一个半环.定义2设S是有零元的加法半群,K是有单位元的半环,定义数乘运算:K×S→S,使得任取→w,→v∈S,及k,l∈K有1)k(l→w)=(kl)→w;2)(k+l)→w=k→w+l→w;3)k(→w+→v)=k→w+l→v;4)1→w=→w则称S是半环K上的半线性空间.若S上还有一个乘法运算,便得乘法对加法可分配,则称S是半环K上的半线性代数.定义3设S是半环K上半线性空间,若存在半(全)序半系～使(S,～)为半(全)序集,则称S为半环K上的半(全)序半线性空间.若半序集(S,～)是格,则称S为半环K上的可格半线性空间.H平面的迷向数将H平面分为四部分,记为H(i),i=1,2,3,4.H(i)(i=1,2,3,4)中的非零元均为非迷向数,定义非迷向数z=x+jy的示向数为定义其幅角为φ=arctanh(sgn(xy)min{|x|,|y|}/max{|x|,|y|})(14)任取非迷向数z=x+jy∈H,其指数式及双曲函数式依次为:z=δ(z)σ(z)exp(jφ)(15)z=δ(z)σ(z)(cosh(φ)+jsinh(φ)(16)所有迷向数所成集可记为:D=D1∪D2.D为H平面上两正交直线,由原点将其分为四部分,记为D(i),i=1,2,3,4:定义z=x+jy∈D的示向数为定义其迷向间隔为d(z)=√x2+y2(19)任取z=x+jy∈D,z可表为z=d(z)ε(z)(20)由(12),用直接验证的方法,可得如下命题命题2H(i)(i∈{1,2,3,4})关于H的加法做成有恒等元的半群,且相互同构.推论1H(i)(i∈{1,2,3,4})是半环R+上的半线性空间,且相互同构.命题3在H(i)上定义二元运算。i:。∶(x+jy)。(x2+jy2)=δi(x1+jy1)(x2+jy2)则H(i)(i∈{1,2,3,4})成为半环R+上半线性代数,且相互同构.其中x1+jy2,x2+jy2∈H(i),δi=δ(x1+jy1),i∈{1,2,3,4}.由如上双曲复平面的对称性可知,双曲复平面的若干性质可借助某个H(i)展开讨论.1.3类时曲线及距离空间在双曲复平面H中,定义H+≡H(2),称其为H的未来类时区.H+中的矢量,称为未来类时矢.在H中定义如下二元关系:≺∶z1≺z2⇔z2-z1∈H+,(21)则(H,≺)成为半序线性空间.命题4H+关于半序关系(21),做成半环R+上的半序半线性空间.H平面的间隔数与传统的模长概念不同,它具有如下性质:其中,z1,z2∈H(i),i=1,2,3,4.3)称为反向三角不等式.命题5∀z1,z2,…,zn∈H,若z1≺z2≺…≺zn(≺由(21)确定),则有σ(z1+z2+…+zn)≥σ(z1)+σ(z2)+…+σ(zn).(23)定义4设集合L⊂H,若L关于H的半序关系满足可比性(即∀z1,z2∈L,有z1≺z2或z2≺z1成立),则称L为H的类时链.若L又是H的连续曲线,则称L是H的类时曲线.定义5设H的类时曲线L的起迄点为A(xA,jyA),B(xB,jyB),则L的长度定义为:S(L)=limn→∞∑i=1n△Li,(24)其中△i=σ(Ai-1Ai),Ai(xi,jyi)∈L(A,B),i∈{1,2,…,n}.A=A0,B=An.n→∞时,max{△i}→0.命题6设L[A,B]={L|L起迄点依次为A(xA,jyA),B(xB,jyB)∈H,AB∈H+}则∀L∈L[A,B],有S(L)≤σ(AB).(25)即所有以A,B为起迄点的类时曲线集中,线段最长.命题7令Η˜=Η(2)∪(D12∪D23),称其为H的扩充未来类时区,在H上定义如下二元关系⪯∶w→1⪯,w→2⇔w→2-w→1∈Η˜+,(26)则半序集(H,⪯)是格.且H成为R上可格线性空间.推论2Η˜+,关于半序关系(26)作为半环R+上的可格半线性空间.由间隔数定义H上两点z1=x1+jy1,z2=x2+jy2的距离为ρ(z1,z2)=σ(z2-z1),(27)由(22)易知ρ(·,·)满足非负性与对称性,但不满足传统距离空间的三角不等式.对此,我们引入一类序距离空间的概念.定义6设S为数域F上线性空间,ρ∶S×S→R为双变量实值函数.～为S的一个二元关系.若∀a→,b→,c→∈S有则三元组(S,ρ,～)称为M距离空间,当≺是半(全)序关系时,称其为半(全)序M距离空间.例1对于双曲复平面H,定义ρ(z1,z2)=σ(z2-z1),则三元组(H,ρ,≺)构成半序M距离空间.其中,半序关系≺由(21)确定.例2对于双曲复平面H,定义z1≺iz2⇔z2-z1∈H(i),i∈{1,2,3,4}.由≺i替换例1中的≺,则三元组(H,ρ,≺i)构成半序M距离空间.对于例1(例2)中的M距离空间,ρ(z1,z2)=0,不必有z1=z2(例如:取z1=1+2j,z2=5+6j,则有ρ(z1,z2)=0,且z1≠z2.故此,要刻划双曲复平面的有关性质,需引入有别于前述距离的另一种距离.定义7∀z1,z2∈H.z2-z1=(x2-x1)+j(y2-y1)∈D时,定义其迷向距离为d(z1,z2)=(x2-x1)2+(y2-y1)2.(29)2半环r+半线性代数的生成带有内积(10)的双曲复平面积为Minkowski平面(或称时空平面),记为M,为讨论狭义相对论中的物理问题,对(1)中元素x+jy,令y=ct,则M可表为M={x+jct}(30)其中c表光束,t表时间.定义8记依次称为以z0为心,d为半径的时空开圆及时空闭圆,统称为时空圆.d=1时,称为时空单位圆.d=0时,时空开圆无定义,相应的时空闭圆为Μ¯(z0,0),表示以z0为起点的所有类光向量的全体,称为以z0为心的时空点圆.特别地,z0=0,d=0时M(0,0)={z∈M|σ(z)=0},(31)为Minkowski平面M的类光区(光锥).z0=0,d→∞时,M(0,∞)为Minkowski平面M本身.即M(0,∞)=M.(32)定义9记M(z0,d;S+)(Μ¯(z0,d;S+),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,(x-x0)>(≥,=)c|t-t0|};M(z0,d;Τ+)(Μ¯(z0,d;T+),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,c(t-t0)>(≥,=)|x-x0|};M(z0,d;S-)(Μ¯(z0,d;S-),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,-(x-x0)>(≥,=)c|t-t0|};M(z0,d;Τ-)(Μ¯(z0,d;T-),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,-c(t-t0)>(≥,=)|x-x0|}.(33)依次称为z0为心d为半径的S+(T+,S-,T-)型开圆(闭圆,圆周).对于(33),当d=1,z0=0时,T+型圆周M(0,1;T+)称为时单单位集.d=0时,M(z0,0)={z∈M|σ(z-z0)=0},(34)其欧氏图象对应于z0为心的任意等轴双曲线的渐近线.M的未来类时区可记为M+=M(0,∞;T+)∪{0},(35)易知M+为半环R+上的半线性空间,但M+对M的乘法不封闭,为利用M的乘法考察M+的有关性质,我们利用双曲虚单位j的性质及M的乘法定义一种新的乘法运算:。∶z1。z2=jz1z2.(36)验证可知,半环R+上半线性空间M+引入运算(36)后,成为半环R+上半线性代数.且有如下命题.命题8(M+＼{0},。)是Abel群.T+型单位圆周简记为U+,即U+=U(0,1;T+).(U+,。)为Abel群,称其为时间单位群.命题9任取u∈U+,定义映射Lu∶M+→M+,z→-u*。z(37)则Lu为Lorentz变换.证明:任取u∈U+,u可写成u=j(coshφ+jsinhφ),-u+可写成-u*=j(coshφ-jsinhφ)任取z=x+jct,令z′=x′+jct′,则有z′=u。z=juz=(coshφ-jsinhφ)(x+jct)=(xcoshφ-ctsinhφ)+j(ctcoshφ-xsinhφ),(38)从而有(x′)2-(ct′)2=(xcoshφ+ctsinhφ)2-(ctcoshφ+xsinhφ)2=x2-(ct)2,(39)故命题成立.观察(38),可导出Lorentz变换的如下矩阵形式[x′jct′]=[coshφ-jsinhφ-jsinhφcoshφ][xjct].(40)(40)中的2阶矩阵称为双曲酉阵.将所有双曲酉阵所成集记为其中φ为任意实数.命题10SL2(H)对矩阵的乘法作成Abel群,且任取A(φ)∈SL2(H)有A(φ)-1=A(φ)H,det(A(φ))=1,(42)其中A(φ)H为A(φ)的转置共轭阵.验证可知,SL2(H)关于矩阵的乘法作成Abel群,且与时间单位群(U+,。)同构(f∶SL2(H)→U+,A(φ)→(coshφ-jsinhφ)为群同构.即Minkowski平面的Lorentz变换群可由Minkowski平面的时间单位群表述.3u3000添加各类功能函数由双曲复数表述Minkowski平面的方法及相关结果可向四维情形推广.本节将双曲复平面H记为H2,即H2≡H.令H4={(x,y,z,jct|x,y,z,t∈R,(43)或记为Η4={r→+jct}(44)其中r→=(x,y,z)为三维实位置向量.由(44),可将H4中的四维向量形式地看作双曲复数.类比于(10)引入二元实函数f∶H4×H4→R;(r→1+jct1,r→2+jct2)→r→1⋅r→2+jct1(jct2)*=x1x2+y1y2+z1z2-ct1ct2.(45)则H4成为四维Minkowski空间,并记为M4.相应地,将Minkowski平面记为M2.由(45)定义的二元实函数也称为Minkowski内积(简称M内积),并记f(r→1+jct1,r→2+jct2)为(r→1+jct1)⋅(r→2+jct2)由M内积定义w→=r→+jct的间隔数(或称模长)为σ(w→)=|w→w*|=|r2-(ct)2|,其中r2=r→⋅r→=x2+y2+z2.可类比于时空圆的定义,给出时空开球,时空闭球,时空单位球,时空点球等概念.本节由时空单位球面,导出相应的Lorentz变换.定义10令Μ4(w→0,d)(Μ¯4(w→,0,d))={w→∈Μ4|σ(w→)＜(≤)d},称其为以w→为心,d为半径的时空开球(闭球).特别地,w→0=0,d=1时的时空球面称为时空单位球面,记为U4,即U4=Μ¯4(0,1)\Μ4(0,1).Τ+型时空单位球面可表为U4+={u→=r→+jct∈U4|c2t2-r2=1,t＞0},(46)称其为四维Minkowski空间的时间单位集.可在M的未来类时区Μ4+={r→+jct∈Μ4|ct≥r,仅当t=0时等号成立}中考察时间单位集的有关性质.在M+4中定义向量w→(σ(w→)≠0)的幅角为φ=arctanh(r/ct),(47)则w→可表为w→=φ(w→)j(coshφ+jr→°sinhφ),(48)其中r→°=r→/r.特别地,∀w→∈U4+,有w→=j(coshφ+jr→°sinhφ).(49)类同于M2中的相关结果,M+4也是M4的有恒等元的加法子半群,且为半环R+上的半线性空间.类比于(36),在M4中引入二元运算˚∶(r→1+jct1)˚(r→2+jct2)=j((r1⋅r2+c2t1t2)+j(jct2r→1+jct1r→2)),(50)则(50)不具有与(36)相对应的性质,即σ(w→1。w→2与σ(w→1)σ(w→2)不必相等,且∀w→1,→w→2∈Μ4+\{0}不必有w→1˚w→2∈Μ4+\{0}.例如,取w→1=(3/2,0,0,j),w→2=(0,3/2,0,j)∈Μ4+\{0},则有w→1˚w→2(3/2,3/2,0,j)∉Μ4+\{0},σ(w→1˚w→2)=2/2≠1/4=σ(w→1)σ(w→2)命题11∀w→1,w→2∈Μ4+\{0},若r→1,r→2线性相关,则σ(w→1˚w→2)=σ(w→1)σ(w→2),w→1˚w→2∈Μ4+\{0}.(51)命题12M+4＼{0}对如下运算⊙封闭,且保持间隔数⊙∶(r→1+jct1)⊙(r→2+jct2)=(r→1+jct1)˚(r→2∥+αr→2⊥+jct2),(52)其中,α=1-r12/c2t12,r→2∥与r→2⊥分别为r→2平行于r→1及垂直于r→1的分量.证明∀w1=→r1+jct1,w1=→r2+jct2∈Μ4+\{0},令w→=r→+jct=w→⊙w→2,由(51),(52)将其展开并整理,可得r→=ct1(r→2∥+αr→2⊥)+ct2r→1,ct=r1⋅→r→2∥+c1tt2=r→1⋅r→2+c2t1t2,(53)将α=1-r12/c2t12代入(53),可得(