多滞后中立型间接不确定luley控制系统的鲁棒绝对稳定性

多滞后中立型间接不确定luley控制系统的鲁棒绝对稳定性

1ure系统研究的主要结论对于非线性控制系统而言，lurc管理体系是一个非常重要的系统。许多科学家过去研究了不含时间缺陷的lurc管理体系，但近年来，一些科学家已经开始研究包含时缺陷的lurc管理体系。这无疑给对lurc管理体系的研究带来了活力和挑战。例如，使用频率法研究了时态录音系统的绝对稳定性。在文献中，lyanov支持泛函研究了时态录音多非线性ur系统的绝对稳定性，并提供了保证系统绝对稳定的充分性条件。然而，由于lyanov泛函积分元素系数等自由参数的选择是随机的，因此条件的验证只能是可接近的，因此非常不便。这项工作的目标是研究不确定中立鲁壁系统的鲁棒绝对稳定性。另一方面，有必要研究更广泛的导数元素，即线性矩阵不规则方法（lmi），以消除李相器退相器二次型中的正矩阵和积分元素系数的随机性。2系统面为0,k1.2.考虑中立型Lurie间接控制系统{˙x(t)-˜G˙x(t-τ)=˜Ax(t)+˜A1x(t-τ)+˜Bf(σ(t))+˜B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=˜Cx(t)+˜Df(σ(t))(1)其中x∈Rn,x(t-τ)=(x1(t-τ1),x2(t-τ2),…,xn(t-τn))T,τi>0为未知的时滞常量,˜A=A+ΔA(t),˜B=B+ΔB(t),˜G=G+ΔG(t),˜C=C+ΔC(t),˜D=D+ΔD(t).G‚A‚A1∈Rn×n‚B‚B1∈Rn×m‚C∈Rm×n‚D∈Rm×m,是已知实矩阵,ΔA(t),ΔB(t),ΔG(t),ΔC(t),ΔD(t)是相应维数不确定实向量矩阵,σ(t)=(σ1(t),σ2(t),…,σm(t))T,σ(t-τ)=(σ1(t-τ1),σ2(t-τ2),…,σm(t-τm))T,f(·)∈F,f(σ(t))=(f1(σ1(t)),…,(fm(σm(t)))T,f(σ(t-τ))=(f1(σ1(t-τ1)),(f2(σ2(t-τ2)),…,(fm(σm(t-τm)))T.记差分算子D(t,xt)=x(t)-Gx(t-τ),及对角阵K=diag(k1,k2…,km),(ki>0,i=1,2,…,m),让|·|表示Rn或Rm中的模,‖·‖表示矩阵的2-范数.F={f(⋅):f(0)=0,0＜σΤf(σ)≤σΤΚσ(σ≠0)}为了书写方便,不确定矩阵中的变量t下面将略去不写.系统的不确定描述为[ΔAΔA1ΔGΔBΔB1]=ΜF(t)[Ν1Ν2Ν3Ν4Ν5](2)[ΔCΔD]=UΗ(t)[V1V2](3)其中M,Ni(i=1,2,3,4,5),U,V1,V2是适当维数的已知实矩阵,F(t),H(t)是具有勒贝格可测元的适当维数的未知矩阵函数,且满足σmax(F(t))≤1,σmax(Η(t))≤1这里σmax(·)表示矩阵的最大奇异值.定义1若对任意f(·)∈F,系统(1)的零解为全局渐近稳定的,则称系统(1)在角域[0,K]中绝对稳定.定义2若对于所有允许的不确定性,系统(1)在角域[0,K]中绝对稳定,则称系统(1)在角域[0,K]中鲁棒绝对稳定.引理1已知矩阵Σ1,Σ2,Σ3,其中0<Σ1=ΣT,则Σ1+Σ3Δ(t)Σ2+ΣΤ2Δ(t)ΣΤ3＜0,∀Δ∶ΔΤ(t)Δ(t)≤Ι当且仅当Σ1+ε-1Σ3ΣΤ3+εΣΤ2Σ2＜0,ε＞03[ab12,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,10,1010.2,1010.2,1010.2,10.2,10.2,10.2,10.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.讨论系统(1)在角域[0,K]中的绝对稳定性,首先考虑无扰动系统{˙x(t)=Ax(t)+A1x(t-τ)+G˙x(t-τ)+Bf(σ(t))+B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=Cx(t)+Df(σ(t))(4)为此我们构造Lyapunov泛函V(t,xt)=xΤ(t)Ρx(t)+n∑i=1μi∫tt-τix2(θ)dθ+m∑i=1αi∫σi0fi(ω)dω+m∑i=1βi∫tt-τif2i(σi(δ))dδ+n∑i=1γi∫tt-τi˙x2i(ρ)dρ(5)式中P为正定矩阵,αj>0,βj≥0,γi≥0,μi≥0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),记α=diag(α1,α2,…,αm),β=diag(β1,β2,…,βm),γ=diag(γ1,γ2,…,γn),μ=diag(μ1,μ2,…,μn).为了书写方便,我们用x,y,z,f,g分别代表x(t),x(t-τ)‚˙x(t-x),f(σ(t)),f(σ(t-τ)),则(5)式沿系统(1)的解关于时间t的导数为˙V(t,xt)=˙xΤΡx+xΤΡ˙x+xΤμx-yΤμy+˙σΤαf+fΤβf-gΤβg+˙xΤγ˙x-zΤγz将(1)式代入上式得˙V(t,xt)=2(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)ΤΡx+(Cx+Df)Ταf+(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)Τγ(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)fTβf-gTβg-zTγz+xTμx-yTμy=-ξT(Ψ-WTγW)ξ-fTη[Cx-K-1f]其中ξ=(xT,yT,zT,fT,gT),η=diag(η1,η2,…,ηm),(ηi≥0,i=1,2,…,m).Ψ=[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-12CΤ(η+α)-ΡB1-AΤ1Ρμ000-GΤΡ0γ00-BΤΡ-12(η+α)C00ηΚ-1-β-12(DΤα+αD)0-BΤ1Ρ000β]W=[-A-A1-G-B-B1].由于f∈F,即得fTη[Cx-K-1f]≥0.因此,若Ψ=WΤγW＞0(6)则有˙V(t,xt)＜-ω(|x|2+|y|2+|z|2+|f|2+|g|2)≤-ω|x|2式中ω=λmin(Φ-WTγW).且注意到(4)式暗含着γ-GTγG<0,即‖G‖<1,微分算子D(t,xt)一致稳定,那么就有系统(1)在F中全局一致渐近稳定.又应用schur补引理知(6)式等价于[ΦWΤWγ-1]＞0(7)即[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-12CΤ(η+α)-ΡB1-AΤ-AΤ1Ρμ000-AΤ1-GΤΡ0γ00-GΤ-BΤΡ-12(η+α)C00ηΚ-1-β-12(DΤα+αD)0-BΤ-BΤ1Ρ000β-BΤ1-A-A1-G-B-B1γ-1]＞0令η=α,则上式可写成[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-CΤα-ΡB1-AΤ-AΤ1Ρμ000-AΤ1-GΤΡ0γ00-GΤ-BΤΡ-αC0012(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β0-BΤ-BΤ1Ρ000β-BΤ1-A-A1-G-B-B1γ-1]＞0(8)从而,我们有下面的结论.定理1若存在正定矩阵P,以及m阶实对角阵α>0,β>0和n阶实对角阵μ>0,γ>0,使得LMI(8)成立,则系统(1)对任意时滞τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中绝对稳定.4[ab对于不稳定系统(1),由上一节的(8)式知,只要矩阵不等式[-Ρ˜A-˜AΤΡ-μ-Ρ˜A1-Ρ˜G-Ρ˜B-˜CΤα-Ρ˜B1-˜AΤ-˜AΤ1Ρμ000-˜AΤ1-˜GΤΡ0γ00-˜GΤ-˜BΤΡ-α˜C0012(Κ-1-˜D)Τα+12α(Κ-1-˜D)-β0-˜BΤ-˜BΤ1Ρ000β-˜BΤ1-˜A-˜A1-˜G-˜B-˜B1γ-1]＞0(9)有正定解,则系统(1)在角域[0,K]中鲁棒绝对稳定,且与时滞量的大小无关.分别用Θ和ΔΘ表示(9)的标称部分和扰动部分,那么,(9)式可以表示成Θ-ΔΘ＞0(10)注意到不确定描述(2)和(3),ΔΘ可分解为ΔΘ=QΤF(t)R+SΤΗ(t)Τ其中Q=[ΜΤΡ0000ΜΤ]‚R=[Ν1Ν2Ν3Ν4Ν50]S=[000αUΤ00]‚Τ=[V10012V200]因此,(10)可重新写成Θ-QΤ1F(t)R-SΤΗ(t)Τ＞0(11)而不等式(11)等价于,对于任意的非零向量ζ=[ζT1ζT2ζT3ζT4ζT5]T,有ζΤΘζ-2ζΤQΤF(t)Rζ-2ζΤSΤΗ(t)Τζ＞0(12)成立.并且对于‖F(t)‖≤1,‖H(t)‖≤1,选取F(t)=QζζΤRΤ∥Qζ∥∥Rζ∥‚Η(t)=ζζΤΤΤ∥Sζ∥∥Τζ∥(13)时,(12)达到最小,所以对于任意的扰动,(12)式为真当且仅当选取F(t)和H(t)如(13)式时,它为真,即ζΤΘζ＞2√ζΤQΤQζ√ζΤRΤRζ+2√ζΤSΤSζ√ζΤΤΤΤζ而由引理1知上式为真当且仅当存在正数λ1,λ2,使得Θ-λ1QΤQ-λ-11RΤR-λ2SΤS-λ-12ΤΤΤ＞0应用Schur补,我们有下面的结论.定理2若存在正定矩阵P,以及实对角阵,μ>0,α>0,β≥0,γ≥0和正数λ1,λ2,使得[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-CΤα-ΡB1-AΤΡΜΝΤ10VΤ1-AΤ1Ρμ000-AΤ10ΝΤ200-GΤΡ0γ00-GΤ0ΝΤ300-BΤΡ-αC00L(α,β)0-BΤ0ΝΤ4UαVΤ2/2-BΤ1Ρ000β-BΤ10ΝΤ500-A-A1-G-B-B1γ-1Μ000ΜΤΡ0000ΜΤλ1000Ν1Ν2Ν3Ν4Ν500λ-1100000αUΤ0000λ20V100V2/200000λ-12]＞0(14)其中L(α‚β)=12(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β,则系统(1)对任意时滞τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中鲁棒绝对稳定.推论1若存在正定矩阵P,以及m阶实对角阵α>0,β≥0和n阶实对角阵μ>0,以及正数λ1,λ2,使得[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡB-CΤα-ΡB1ΡΜΝΤ10VΤ1-AΤ1Ρμ000ΝΤ200-BΤΡ-αC0L(α,β)00ΝΤ4UαVΤ2/2-BΤ1Ρ00β0ΝΤ500ΜΤΡ000λ1000Ν1Ν2Ν4Ν50λ-110000αUΤ000λ20V10V2/20000λ-12]＞0成立,其中L(α,β)=12(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β,则系统{˙x(t)=˜Ax(t)+˜G1x(t-τ)+˜Bf(σ(t))+˜B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=˜Cx(t)+˜Df(σ(t))对任意时滞τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中鲁棒绝对稳定.5为0.27.3考虑不确定系统(1)的鲁棒绝对稳定性,其中系统系数矩阵A=[-1010-1-100-1]‚A1=[0.5000.10.6000.10.2]‚B=B1=[0.60010.20.4]‚G=0.2Ι3,C=[-100.200.5-1]‚D=-Ι2且δ为不确定矩阵ΔA,ΔA1,ΔB,ΔB1,ΔG,ΔC,ΔD范数的公共上界,根据不确定描述(2)(3),选择Κ=kΙ3‚Μ=δΙ3‚Ν1=Ν2=Ν3=Ι3,U=δΙ2,Ν4=Ν5=‚V1=‚V2=Ι2.当δ=0.2时,k≤11.1035,LMI(14)有可行解,k≥11.1036,LMI(14)无可行解.且k=10.1035的可行解为Ρ=[9.91441.8996-4.88