clifman代数的二维双曲复空间

clifman代数的二维双曲复空间

1类时类时区的划分由cloffo的虚拟单位数j组成的二维双曲复空间。H2={(x,jct)},(1.1)或记为H2={x+jct}.(1.2)其中c为光速;t为时间;x,t∈R(实域);双曲虚单位j有性质:j2=1,j*=-j(j*称为j的共轭元).在H2中引入内积(x1,jct1)·(x2,jct2)=x1x2+(jct1)(jct2)2=x1x2-c2t1t2,(1.3)则H2构成二维Minkowski空间(Minkowski平面).任取w=(x,jct)∈H2,由内积(1.3)定义其间隔数为σ(w)=√|w⋅w|=√|x2-c2t2|σ(w)=|w⋅w|−−−−−−√=|x2−c2t2|−−−−−−−−√.(1.4)记H2的未来类时区为H+2={x+jct∈H2|ct≥|x|,仅当t=0时等号成立},(1.5)取H+2中非零元w,定义其幅角为φ=arctanh(x/ct).(1.6)任取w=x+jct∈H+2,w≠0时,由(1.4)—(1.6)式可将其表示为w=σ(w)j(coshφ+jsinhφ),(1.7)特别当σ(w)=1时,有w=j(coshφ+jsinhφ).(1.8)定义H+2的二元运算。:w1。w2=jw1w2,(1.9)直接验证可知,(H+2,。)是群,且有σ(w1。w2)=σ(w1)σ(w2).(1.10)令U+2={w∈H+2|σ(w)=1},(1.11)则由(1.9)和(1.10)式知,(U+2,。)是群,称其为类时单位群.定理1.1任取u∈U+2,定义映射Lu:H+2→H+2,w→-u*。w,(1.12)则Lu为Lorentz变换.证明任取u∈U+2(由(1.8)式u可写成u=j(coshφ+jsinhφ),-u*可写成-u*=j(coshφ-jsinhφ)),任取w=x+jct,令w′=x′+jct′=u。w,则有w′=x′+jct′=u。w=j(-u*w)=(coshφ-jsinhφ)(x+jct)=(xcoshφ-ctsinhφ)+j(ctcoshφ-xsinhφ),(1.13)令v=x/t,γ=coshφ可导出x′=γ(x-vt),t′=γ(t-(v/c2)x),(1.14)故命题成立.令L={Lu|u∈U+2},验证可知L关于变换的合成作成群,即L为二维Minkowski平面的Lorentz群.建立映射f:L→U+2,Lu→-u*.(1.15)易验证,f为群的同构映射,即Lorentz群L可由类时单位群U+2表示.2wwj表征2将二维双曲复空间H2的空间分量由一维改为三维(二维),引入四维(二维)双曲复空间的概念,可用于表述四维(三维)Minkowski空间.令H4={(x,y,z,jct)},(2.1)或写成H4={r+jct},(2.2)其中r=(x,y,z)为三维实位矢.任取w=r+jct∈H4,定义其间隔数为σ(w)=√|r2-c2t2|σ(w)=|r2−c2t2|−−−−−−−−√,(2.3)这里r2=x2+y2+z2.由间隔数定义内积(r1+jct1)·(r2+jct2)=r1·r2+(jct1)(jct2)*=x1x2+y1y2+z1z2-c2t1t2,(2.4)则H4成为四维Minkowski时空,H4的未来类时区为H+4={r+jct∈H4|ct≥r仅当t=0时等号成立},(2.5)任取非零元w∈H+4,定义其幅角为φ=arctanh(r/ct),(2.6)则w可表为w=σ(w)j(coshφ+jr。sinhφ),(2.7)其中r。=r/r.定义U+4={w∈H+4|σ(w)=1},(2.8)则任取w∈U+4,有w=j(coshφ+jr。sinhφ).(2.9)在H4中引入二元运算(r1+jct1)。(r2+jct2)=j((r1·r2+c2t1t2)+j(ct2r1+ct1r2)),(2.10)验证可知,(H4,。)是群.但(2.10)式不具有与(1.9)及(1.10)式相对应的性质,即σ(w1。w2)与σ(w1)σ(w2)不必相等,且任取w1,w2∈H+4不必有w1。w2∈H+4.例2.1取w1=(√3/2‚0‚0‚j)‚w2=(0‚√3/2‚0‚j)∈Η+4,则有w1˚w2=(√3/2‚√3/2‚0‚j)∉Η+4,且有σ(w1˚w2)=√2/2≠1/4=σ(w1)σ(w2).对应于上式,用直接验证的方法可证如下定理.定理2.1任取w1,w2∈H+4,若r1,r2线性相关,则σ(w1。w2)=σ(w1)σ(w2),且w1·w2∈H+4.例2.1表明,由(2.10)式引入的二元运算只对H4封闭,对H+4不封闭,且不保持间隔数.对应于此,给出如下定理.定理2.2H+4对于如下的运算⊙封闭,且保持间隔数⊙:(r1+jct1)⊙(r2+jct2)=(r1+jct1)。(r2‖+αr2⊥+jct2),(2.11)其中,α=√1-r21/c2t21‚r2∥与r2⊥分别为r2平行于r1及垂直于r1的分量.证明任取w1=r1+jct1,w1=r2+jct2∈H+4,令w=r+jct=w1⊙w2,由(2.10)与(2.11)式将其展开并整理,可得r=ct1(r2‖+αr2⊥)+ct2r2,ct=r1r2‖+c2t1t2.(2.12)将α=√1-r21/c2t21代入(2.12)式,可得(ct)2-r2=(c2t21-r21)(c2t22-r22)≥0,(2.13)可知H+4对运算⊙封闭,再由(2.13)式可知σ(w1⊙w2)=√(c2t21-r21)(c2t22-r22)=σ(w1)σ(bfw2),(2.14)综上,命题成立.令U+4={w∈H+4|σ(w=1)},则有下面定理.定理2.3任取u∈U+4,定义映射Lu:H+4→H+4,w→-u*⊙w,