专题5.2 平面向量的坐标运算与数量积（解析版）【高考总复习】2024年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

第第页专题5.2平面向量的坐标运算与数量积【773】．（2022·全国·高考真题·★★★）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.【774】．（2015·山东·高考真题·★★★）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.【详解】，，.故选：A.【775】．（2020·全国·高考真题·★★★）已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.【776】．（2018·北京·高考真题·★★★）设向量均为单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量均为单位向量所以所以“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.【777】．（2019·全国·高考真题·★★★）已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．【778】．（2013·湖南·高考真题·★★★★）已知是单位向量，.若向量满足（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.【779】．（2008·湖北·高考真题·★★）设A． B．0 C．-3 D．-11【答案】C【解析】【详解】由题意可知：，，故C为正确答案．【780】．（2012·天津·高考真题·★★★★）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】设【考点定位】本题考查向量的数量积和向量的减法运算，考查学生灵活应用数形结合思想的解题和字母的运算能力【781】．（2022·全国·高考真题·★★★）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．【782】．（2022·全国·高考真题·★★）已知向量．若，则______________．【答案】##【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.【783】．（2021·全国·高考真题·★★）已知向量，若，则_________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.【784】．（2021·全国·高考真题·★★）已知向量．若，则________．【答案】.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.【785】．（2013·安徽·高考真题·★★★）若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.【答案】【解析】【详解】试题分析：由，得，即，所以＝．考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量的夹角时，如果已知条件中没有明确关于的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到三者之间的关系．【786】．（2019·全国·高考真题·★★）已知向量，则___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．

【787】．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测·★★★★）已知与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，设，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，则，，设，则，若，则有，则在以为圆心，半径为2的圆上，设为点，则，则有，即，则的取值范围为；故选：D．【788】．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模·★★★）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.【详解】设，则，，整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，又在圆上，故的最大值是.故选：B.【789】．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测·★★★）平面向量满足，则与夹角最大值时为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据条件对两边平方即可得出,从而可求出,进而即可得出然后根据基本不等式即可得出求出向量夹角的最大值,判断出，.【详解】因为平面向量满足，所以，所以，所以.由夹角公式，（当且仅当，即时等号成立）.因为，所以，即时最大.此时.故选：D【790】．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测·★★★）已知，则向量的范围是____________．【答案】【解析】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以①,一方面，，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，，其中，当且仅当与反向时取得最小值．故．故答案为：【791】．（2022·海南海口·二模·★★）已知向量，的夹角为45°，，且，若，则______．【答案】-2【解析】【分析】先利用数量积的运算求解，再利用向量垂直数量积为0即可求解.【详解】因为得，又因为，所以，所以．故答案为：-2.【792】．（2022·全国·模拟预测·★★）已知向量与不共线，且，，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由得，由得，即可求解结果．【详解】由得由得，所以则故答案为：【793】．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测·★★★）已知非零向量，满足，，则与夹角为______．【答案】##【解析】【分析】根据已知求出，，即得解.【详解】解：因为，所以.因为，所以，所以.设与夹角为，所以.因为，所以.

【794】．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测·★★★）已知单位向量，满足，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C【795】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量与互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果.【详解】平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，故选：A.【796】．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测·★★★）若平面向量的夹角为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用数量积的运算律分别计算每一个选项的向量的数量积即得解.【详解】解：对于选项A,,所以该选项不正确；对于选项B,,所以，所以该选项正确；对于选项C,,所以该选项不正确；对于选项D,，所以该选项不正确.故选：B【797】．（2022·云南师大附中模拟预测·★★★）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.【详解】因为，又与的夹角为钝角，当与共线时，，所以且与的不共线，即且，所以，故选：D．【798】．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测·★★★）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】由求解.【详解】解：因为，，且与的夹角为，所以，，故选：C【799】．（2022·北京市大兴区兴华中学三模·★★）已知为单位向量，向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求出和，然后利用向量的夹角公式可求出结果【详解】因为为单位向量，向量，且，所以，，所以，因为，所以，故选：B【800】．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测·★★★）非零向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得：，即，解得，因此，，而，解得，所以与的夹角为.故选：B【801】．（2022·江苏泰州·模拟预测·★★★）若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，转化法求的范围，即可确定最小值.【详解】由题设，且，∴，而，当时等号成立，∴.故选：B．【802】．（2022·江苏淮安·模拟预测·★★）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（

）A．-1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】【分析】先利用在上的投影为1求出，然后可求在上的投影.【详解】因为，在上的投影为1，所以，即；所以在上的投影为；故选：C.【803】．（2022·上海市行知中学高二阶段练习·★★）已知，，，则在上的投影为___________.【答案】【解析】【分析】首先求出向量的坐标，然后根据向量投影公式即可求出答案,【详解】因为，，，所以，所以所以在上的投影为.故答案为：.【804】．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测·★★★★）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】由题意可设的坐标，设，利用求得的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设，设，由得：，即，即，则的终点在以为圆心，半径为的圆上，故的最大值为，故答案为：【805】．（2022·上海黄浦·二模·★★★）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】设、所成角为，计算出向量在方向上的投影，即可求出的范围，即可求出答案.【详解】因为，，设、所成角为，向量在方向上的投影为：，因为，所以，所以.故答案为:。【806】．（2022·浙江·模拟预测·★★★★）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．【答案】##【解析】【分析】由已知条件可设，．由已知可确定点C在以为圆心，1为半径的圆上，D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），则所求即为圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，从而可得答案.【详解】∵，∴，又，则可设，设．由知C在以为圆心，1为半径的圆上，取的中点为，由,又，所以所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，所以，即的最大值为．故答案为：．【807】．（2022·广西·南宁三中二模·★★）已知向量，，若，则___________．【答案】##2.5【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，又，所以，解得．故答案为：．【808】．（2022·江西·上高二中模拟预测·★★★）已知向量，满足：，，与的夹角为，则_