【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第二册 位移、速度、力与向量的概念 向量的基本关系课件（31张）

1.1位移、速度、力与向量的概念

1.2向量的基本关系课标阐释

1.了解位移、速度和力等向量的实际背景,初步认识现实生活中向量和数量的区别.(数学抽象)2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念.(数学抽象)3.掌握平面向量的表示方法.4.了解向量的夹角.(数学抽象)思维脉络

激趣诱思知识点拨帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会将其列为正式比赛项目.帆船的最大动力来源是“伯努利效应”,如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20km/h的速度行驶,而此时水的流向是正东,流速为20km/h.若不考虑其他因素,可求得帆船的速度的大小和方向.在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量,一类量是只有大小而没有方向,这类量叫作数量;另一类量是既有大小又有方向,即本章要学习的向量.激趣诱思知识点拨一、向量的背景及向量的概念与表示1.向量的背景及向量的概念(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小、又有方向的量,在物理中称为矢量.(2)向量:既有大小,又有方向的量称为向量.(3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等).激趣诱思知识点拨(4)有向线段:在物理学中,位移、速度和力通常用一条带箭头的线段表示,箭头表示这些量的方向,线段表示这些量的大小.在数学中,这些具有方向和长度的线段称为有向线段.(如图)以A为起点,B为终激趣诱思知识点拨微思考向量与数量有什么联系和区别?答案联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小.

微探究1有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?答案有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.激趣诱思知识点拨2.向量的表示方法(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.3.有关概念(1)向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模.(2)长度为0的向量称为零向量,记作0或

.任何方向都可以作为零向量的方向.(3)模等于1个单位长度的向量称为单位向量.激趣诱思知识点拨微探究2零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?答案零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.微练习下列物理量中不是向量的个数是(

)①质量

②速度

③力

④加速度

⑤路程

⑥密度

⑦功

⑧电流强度

A.5 B.4 C.3 D.2解析看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素——大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理本身的意义作出判断.②③④既有大小也有方向,是向量,①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向,不是向量.答案A激趣诱思知识点拨二、相等向量与共线向量1.相等向量:指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等,记作a=b.2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.3.相反向量:两个向量的长度相等、方向相反.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.激趣诱思知识点拨名师点析1.共线向量(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.(4)任一向量都与它本身是共线向量.激趣诱思知识点拨2.相等向量(1)两个向量只有当它们的模相等,且方向相同时,才能称它们相等,例如a=b就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)若a=b,b=c,则a=c.(

)(2)若a∥b,则a与b的方向一定相同或相反.(

)(4)向量的模是一个正实数.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×

(4)×激趣诱思知识点拨三、向量的夹角

1.定义:已知两个非零向量a和b,如图,在平面内选一点O,作,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.激趣诱思知识点拨名师点析对向量的夹角的理解(1)向量夹角的几何表示.依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角.如图①②③④⑤,已知两向量a,b,作

,则∠AOB为a与b的夹角.激趣诱思知识点拨(2)注意事项.①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和激趣诱思知识点拨微探究

激趣诱思知识点拨微练习试指出图中向量的夹角.激趣诱思知识点拨答案(1)θ

(2)0°

(3)180°

(4)θ探究一探究二探究三探究四当堂检测向量的有关概念例1给出以下说法:①若|a|=0,则a为零向量;②单位向量都相等;③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;④向量的模一定是正数;⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;其中正确说法的序号是

.

探究一探究二探究三探究四当堂检测解析①正确,模等于0的向量是零向量;②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;③错误,由于零向量与任一向量共线,且方向是任意的,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;④错误,向量的模是非负实数,可能是零;⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.答案①⑤探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

向量及其相关概念的注意事项1.区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.2.明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,即起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.3.零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.4.平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练1下列说法正确的是(

)A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行解析向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.答案B探究一探究二探究三探究四当堂检测向量的表示例2一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100km到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶了100km到达点D.探究一探究二探究三探究四当堂检测解(1)所作向量如图所示.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟

1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.探究一探究二