三角形习题及答案

三角形一、选择题（将唯一正确的答案填在题后括号内）1．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A.22.5°角 B.30°角 C.45°角 D.60°角如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B． C. D.3．一张长方形纸ABCD，如图，将C角折起到E处，作∠EFB的平分线FH，则∠HFG为（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定4．现有长分别为16cm，34cm的两根木棒，要从下列木棒中选取一根钉一个三角形的木架，应选取哪一根（）A.16cm B.34cm C.18cm D.50cm在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E，若AB=20cm，则△DBE的周长为（）A.20cm B.16cm C.24cm D.18cm一个三角形的两边长分别为3和7,第三边长为整数,这样的三角形的周长最小值是()A.14 B.15 C.16 7．如图，△ABC中，∠C=90°,AC=3，点P是BC边上动点，则AP长不可能是（）A2.5 B．3 C．4 8．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（）A．30 B．36C．39D．429．如图，沿AC方向小山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（）A．105m B．210m C．70m D．105m10.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A.3 B.2 C.1 11.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A． B． C． D．12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm11题图12题图13题图填空题13．如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点.如果，.那么点与点的距离为.14．如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．如图，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF=__°．14题图15题图16题图17题图18题图如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．18.如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是______．已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多有个．三、解答题21、如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O．连结BB′.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；(2)求证：△AB′O≌△CDO.22、如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF.(1)求证:AE=AF.(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD求证:△AEF为等边三角形.23、如图，矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．24、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．(1)请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论．⑵连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM⑴求证：△AMB≌△ENB；EADBCNM⑵①当M点在何处时，EADBCNM②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.26.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为_____，数量关系为_______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．三角形参考答案一、1．C2．C3．B4．B5．A6．B7．A8．A9．A10．B11.A12.A二、13．14．95°15．316．2017．60°18.125°19．20．4对三、21．（1）△ABB′,△AOC和△BB′C.（2）在平行四边形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠D由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C∴AB′=CD,∠AB′O=∠D在△AB′O和△CDO中，∴△AB′O≌△CDO22．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D又∵BE=DF，∴≌∴AE=AF.(2)连接AC,∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形.∴,.∴又∵AE=AF∴是等边三角形.23.解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC∴Rt△AEF≌Rt△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．24.（1）AD是△ABC的中线理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）（２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ25.【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.FEADBCNM②如图，连接CE，当MFEADBCNMAM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝.解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为.26.（1）①垂直相等②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF，得AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC．又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC．∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG．可证：△GAD≌△CAF．∴∠ACF=∠AGD=45°．∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q（如图2）．∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．设CD=x，∴DQ=4-x．容易说明△AQD∽△DCP，∴，∴，∴CP=-+x=-（x-2）2+1．∵0<x≤3，∴当x=2时，CP有最大值1．第7章三角形一、选择题1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）．A．3B．4C．5D．2．下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（）3．（2008年••福州市）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．属于哪一类不能确定5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，第5题图第5题图（∠C除外）相等的角的个数是（）A、3个B、4个C、5个D、6个第6题图6．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合第6题图则∠AOC+∠DOB=（）A、900B、1200C、1600D、18007．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个8．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有()A.1个B.2个C.3个 D.4个二、填空题9．如图，一面小红旗其中∠A=60°,∠B=30°,则∠BCD=。10．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________.11．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是度。第11第11题图第10第10题图第9题图112BAECDMI16题图第12第12题图第第14题图13.若三角形三个内角度数的比为2:3:4,则相应的外角比是.14．如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度。15.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是16．如图，△ABC中，∠A=1000，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M=三、解答题17．有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由。18．（小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？19．小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由。20．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=。（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=。（3）若∠A=76°，则∠BOC=。（4）若∠BOC=120°，则∠A=。（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？21．一个零件的形状如图，按规定∠A=90º，∠C=25º，∠B=25º，检验已量得∠BCD=150º，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。第第20题图四、拓广探索22．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，第26第26题图（1）求∠DAE的度数。（2）试写出∠DAE与∠C-