西北工业大学矩阵论复习课件

矩阵论复习一.线性空间1.线性空间的概念2.线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）3.线性子空间的概念与运算

(1)定义(2)运算（交与和，直和）西北工业大学矩阵论复习

1.判断1，sinx,cosx

的线性相关性.2.若

1,

2,…,

r线性无关，则向量组

1=

1+k1

r,

2=

2+k2

r,,

r=

r

(kiK)也线性无关.3.求向量组分别生成的子空间的交的基和维数.西北工业大学矩阵论复习4.设V1,V2

分别是证明Kn=V1V25.设S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明：Knn=S

A,Knn=T

A.

西北工业大学矩阵论复习二.线性变换

1.定义T:VV且T(k+l)=kT(

)+lT(

)2.线性变换的值域与核

R(T)=L(T(

1),T(

2),T(

n)),N(T)={

T(

)=

,

V}3.线性变换的矩阵T

(

1,

2,,n)=(

1,

2,,n)A

rankT=rankA,nullT=n-rankA（

1,

2,,n为线性空间V的一个基）

4.线性变换的运算加法，数乘，乘法，逆，多项式.西北工业大学矩阵论复习5.化简线性变换的矩阵

(1)线性变换的特征值与特征向量

(2)在不同基下的矩阵相似

(3)C上的线性空间V上的T

，一定存在V的一个基使得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵

(4)C上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T在该基下的矩阵为对角阵

T有n个线性无关的特征向量。

(5)Hamilton定理与矩阵的最小多项式西北工业大学矩阵论复习6.不变子空间

定义:W是V的子空间，T是V的线性变换，如果对

W,有T(

)W,则W是T的不变子空间.西北工业大学矩阵论复习

1.求K22上的线性变换T：T(X)=AX的值域R(T)与核N(T)的基与维数,其中设T,S

是V的线性变换，T2=T,S2=S,ST=TS,证明

(S+T)2=S+T

ST=O.3.设T,S

是V上线性变换，且T2=T,S2=S

，证明

(1)R(T)=R(S)TS=S,ST=T(2)N(T)=N(S)TS=T,ST=S设P[x]2的线性变换T

T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求P[x]2的一个基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.西北工业大学矩阵论复习5.设V是C上的n维线性空间，T是V上的线性变换，其中

1,2,,n是V的一个基.证明：V

的包含

n的T

的不变子空间只有V.西北工业大学矩阵论复习6.设线性空间V3的线性变换T在基

1,2,3下的矩阵证明：W=L(

2-1,3-1)是T的不变子空间.西北工业大学矩阵论复习7.求下列矩阵的Jordan标准形8.求下列矩阵的最小多项式西北工业大学矩阵论复习9.设A

是一个6阶方阵，其特征多项式为

()=(

+2)2(

-1)4,最小多项式为mA(

)=(

+2)(

-1)3,

求出A的若当标准形.10.对于n阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.西北工业大学矩阵论复习欧式空间与酉空间

1.定义,度量矩阵((,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x和y分别是

和

在该基下的坐标)2.正交基与规范正交基(sthmidt

正交化)3.正交补

4.对称变换与正交变换(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵.(T,T)=(,)T在规范正交基下的矩阵为正交矩阵.5.n阶方阵酉相似于上三角矩阵n阶方阵A酉相似对角矩阵

A是正规矩阵.西北工业大学矩阵论复习练习题

1.在欧式空间R22中的内积为取（1）求W

的一个基；（2）利用W与W

的基求R2

2的一个标准正交基.2.已知欧式空间Vn的基

1,2,,n的度量矩阵为A,证明在Vn中存在基

1,

2,,n，使满足西北工业大学矩阵论复习设

1,

2;1,

2是欧式空间V2两个基,又

1=1-2

2,2=1-2,

(

1,1)=1,(

1,2)=-1,(

2,1)=2,(

2,2)=0分别求基

1,2与

1,2的度量矩阵.4.设实线性空间Vn的基

1,

2,

,

n，设，

Vn在该基下的坐标分别为(

1,,n)T,(

1,,n)T;定义(,)=

1

1+

+

n

n证明：（1）(

,

)是Vn的内积；西北工业大学矩阵论复习

（2）在该内积下，基

1,

2,

,

n是Vn的标准正交基.设A

Rmn，证明在列向量空间Rm中，

R

(A)=N(AT)设T是n维Eulid空间V的线性变换，

T(

1,

2,

,

n)=(

1,

2,

,

n)A证明：T为对称变换

ATG=GA，其中G为

1,

2,

,

n的度量矩阵.7.设n维Eulid空间Vn的基

1,

2,

,

n的度量矩阵为G,

正交变换T在该基下的矩阵为A，证明:(1)T

1,T

2,

,T

n是Vn的基；（2）ATGA=G.西北工业大学矩阵论复习8.设

1,2,,n是n维欧式空间V的标准正交基，T是V中的正交变换，由

1,2,,r(r<n)生成的r维子空间W=L(

1,2,,r)是T的不变子空间，证明：W的正交补空间

W

=L(

r+1,r+2,,n)也是T的不变子空间.9.设矩阵空间R22的子集V={X=(xij)

x11+x22=0}(1)验证V是R22的子空间，并求V的一个基。西北工业大学矩阵论复习(2)给定V中的变换T：TX=X+XT(XV),验证T是线性变换。(3)求T的全体特征值与特征向量。9.给定线性空间V6的基x1,x2,,x6及线性变换T：Txi=xi+2x7-i

（1）求T的全部特征值与特征向量；（2）判断是否存在另一个基，使T在该基下的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。西北工业大学矩阵论复习V中的线性变换为T(X)=XP+XT,

任意X

V，

1.给出子空间V

的一个标准正交基；

2.验证T是V

中的对称变换；

3.求V

的一个标准正交基，使T

在该基下的矩阵为对角矩阵.

10.已知欧式空间R22

的子空间中的内积为

西北工业大学矩阵论复习第2章范数理论向量范数

1.定义2.结论：lp范数

3.等价性二.矩阵范数

1.定义2.结论：

3.等价性西北工业大学矩阵论复习习题：证明：Cnn

中的矩阵范数与等价.证明:Cnn

中的矩阵范数与Cn中的向量范数相容。3.设A=(aij)mn,定义实数证明：是Cmn中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容.西北工业大学矩阵论复习4.设可逆矩阵SRnn,且是Rn中的向量范数.若表示Rnn中从属于向量范数的矩阵范数，试导出与矩阵2-范数之间的关系.5.设Vn

是数域R上的线性空间，xVn在基(I)x1,x2,,xn下的坐标为

=(a1,a2,an)T.(1)证明：是Vn中的向量范数。

(2)设xVn在基(II)y1,y2,,yn下的坐标为

=(b1,b2,bn)T,且由基(I)到基(II)的过渡矩阵为C，西北工业大学矩阵论复习证明：

C为正交矩阵.6.给定矩阵A,BCnn,且B可逆，定义验证是Cn中的向量范数。7.设，证明西北工业大学矩阵论复习第3章矩阵分析及其应用矩阵序列{Ak}矩阵级数收敛

(A)<r矩阵函数(定义，AB=BA

eAeB=eA+B)矩阵的微积分()一阶线性常系数（非）齐次微分方程组dx/dt=Ax,通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b通解：x(t)=etAc+etA西北工业大学矩阵论复习习题：设n阶方阵A

不可逆，则cosA亦不可逆。()设A是n阶Householder矩阵，则cos(2A)=已知，判定收敛的根据是(),幂级数的和是().4.已知,则矩阵幂级数是(),其理由是().5.设，则矩阵幂级数是().西北工业大学矩阵论复习6.已知,则sin(At)=().7.设(aR),则矩阵幂级数收敛a().8.设，

,则西北工业大学矩阵论复习

（）.9.设A是可逆矩阵，则().10.已知

(1)求etA;(2)用矩阵函数的方法求微分方程满足初始条件x(0)=(0,1,1)T的解.西北工业大学矩阵论复习11.设X=(xij)nnRnn,则().12.已知求A.13.已知求

A.西北工业大学矩阵论复习第4章矩阵分解三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，choclesky）存在

A的i阶顺序主子式(0<i<n)不为零。二.QR分解存在三.满秩分解四.奇异值分解西北工业大学矩阵论复习习题：设Hm是m阶Householder矩阵，In-m是n-m阶单位矩阵(m<n)，则是n阶Householder矩阵.2.设Tm是m阶Givens矩阵,In-m是n-m阶单位矩阵(m<n)，则是n阶Givens矩阵.3.用Householder变换求西北工业大学矩阵论复习的QR分解.4.用Givens变换求矩阵QR分解。西北工业大学矩阵论复习5.设ARnn的特征值是

1,2,,n,且AT=A.若BRnn与A正交相抵，则B的奇异值是().西北工业大学矩阵论复习第5章特征值的估计及对称矩阵的极性Gerschgorin定理二.实对称矩阵的Rayleigh商三.A相对B的广义Rayleigh商四.矩阵的直积(A

B

)

西北工业大学矩阵论复习结论：1.R(x)的驻点的值是A的特征值(广义),驻点是对应的特征向量。2.若

1

2

n，则

(A)(AB)(CD)=(AC)(BD)(AB)-1=A-1B-1西北工业大学矩阵论复习6.f(A,B)=的特征值为f(

i,j).其中

i，j

分别为矩阵A，B的特征值。7.(A

B)(B

A)8.若P-1AP=B,Q-1CQ=D,则

(P

Q)-1(A

C)(P

Q)=B

D9.AXB=D(A

BT)vecX=vecD西北工业大学矩阵论复习习题：用Gerschgorin定理分离矩阵的特征值，并在复平面上画图表示。2.用Gerschgorin定理证明对角占优矩阵可逆.3.用Gerschgorin定理证明西北工业大学矩阵论复习能够相似于对角矩阵，且A的特征值都是实数.西北工业大学矩阵论复习4.用Gerschgorin定理分离矩阵的特征值(要求画图表示),并根据实矩阵特征值的性质改进所得结果。5.用Gerschgorin定理说明至少有两个实特征值.西北工业大学矩阵论复习6.设A=diag(1,2,,n),m阶矩阵B的特征值是

1,2,,m,(m>1),则A

B的特征值是（）。7.已知矩阵Amn,Bnm及Cmm，则方程组AXB=C有解的充分必要条件是（）。8.设A，B都是酉矩阵，则(AH

B)(A

BH)=().9.设ACnn,有n个线性无关的特征向量

1,2,n,则A

A的n2个线性无关的特征向量是（）。西北工业大学矩阵论复习10.设x是m维列向量，y是n维列向量，则().11.已知，则A

I+A2

A的全体特征值为().12.设xRn是单位列向量，ARnn是正交矩阵，则13.已知A与B的特征值分别为

1,2,,n与

1,1,,n,则矩阵方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零解的充要条件是().西北工业大学矩阵论复习第6章广义逆投影与正交投影

P是投影矩阵

P2=P；

P是正交投影矩阵

P2=P，PH=P。二.广义逆的