【课件】等比数列的前n项和公式第2课时+课件人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）高中数学选择性必修二4.3.2等比数列的前n项和公式

第一课时一二三学习目标理解等比数列的前n项和公式的推导方法握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想学习目标复习回顾回顾1等比数列的定义与递推公式是怎样的？

等比数列的递推关系：

回顾2等比数列的通项公式是什么？

数学小故事

相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说：新课导入12陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！第1格：第2格：第4格：第3格：第63格：第64格：……新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式问题1：这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？麦粒总数为追问1：

构成什么数列？等比数列追问2：

应归结为什么数学问题呢？求等比数列的前n项和问题①式两边同乘以2则有

2S64=2+22+23+···+263+264②追问3：观察相邻两项的特征，有何联系？如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的后一项S64=1+2+22+···+262+263①

新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式①②反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2

？乘以3？会达到一样的效果吗？追问4：比较①、②两式，你有什么发现？新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式①-②得：错位相减法①②①-②得：①×q

得问题2：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式思考：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！新知探究一：等比数列的前n项和公式的推导与公式首项末项公比前n项和项数等比数列前n项和公式：注意(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.(3)步骤:乘公比，错位写，对位减.概念生成1000粒麦子的质量约为40g麦粒的总质量超过了7000亿吨呼应故事

是2016~2017年世界小麦年产量（7亿多吨）的981倍，按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上约_____年.1千克80240所以国王兑现不了他的承诺。跟踪练习：判断是非2nn个5n公式辨析n且0

a=0n

a=1{=反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项、公比、项数n公式辨析新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例7已知数列{an}是等比数列.1.已知数列{an}是等比数列.课本P371.已知数列{an}是等比数列.课本P37新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例2已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若求公比q.课本P374.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64.求这个等比数列的首项和公比.课本P37

5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少?课本P37解法1：例3(1)(2)(3)解法2：两式相除：实现整体消元的目的新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例4已知等比数列{an}的公比q

≠－1，前n项和为Sn，证明Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,成等比数列，并这个数列的公比.新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用例4已知等比数列{an}的公比q

≠－1，前n项和为Sn，证明Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,成等比数列，并这个数列的公比.新知探究二：等比数列的前n项和公式的应用

若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列,其中公比为qn.等比数列的片段和性质：1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）.2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.课堂小结人教A版（2019）高中数学选择性必修二4.3.2等比数列的前n项和公式

第二课时na1

等比数列的前n项和公式复习引入

探究新知分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。新知探究

新知探究

新知探究1.一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1cm)?(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm?课本P40典例解析例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。新知探究

新知探究归纳总结解决数列应用题时一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．新知探究

典例解析新知探究

新知探究典例解析

新知探究典例解析练习巩固题型一

等比数列前n项和的性质例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于

.

典例解析练习巩固解析

(1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.典例解析练习巩固方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于典例解析练习巩固(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(

)A.30 B.60 C.90 D.120典例解析练习巩固答案

(1)B

(2)D解析

(1)设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.典例解析练习巩固题型二

等差数列与等比数列的综合问题例2已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,1是

S2和

S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.典例解析练习巩固典例解析练习巩固反思感悟

数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.典例解析练习巩固变2已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解

(1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,q>0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.(2)