2021年中考数学综合题冲刺27 相似三角形的应用（拔高）（含答案及解析）

专题27相似三角形的应用(提优)

1.如图，小明为了测量大树AB的高度，在离8点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4

米到。点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛(点C)到地面的高度CD是1.6米，

求大树AB的高度.

【分析】由图不理得出，△C£WsZX48N,.串利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长.

【解答】解：'：AB±DB,DCtDB,

:・/CDN=NABN=90。,

・.,4CND=4ANB,

:.ACDNsAABN.

eCDAB

■:DN一BN’「^.\

1.6AB

即北"五‘，,:..f.f.

.•.48=1.6X21+14=24(〃z),

答：大树AB的高度为24"?.

【&平】此题主要超薄了相似，角形的应用，根据已知得山△CCWS448N是解题,键..

2.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒

的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点8处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点

E到地面的高度CE=3.5〃3点产到地面的高度CF=15w,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m墙到木板

的水平距离为CD=4〃?.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、。在同一水平面

•上」

xJR

(1)求BC的长.

(2)求灯泡到地面的高度AG.

地面DC平面镜A

【分析】(1)直接利用相似二角形的判定与性质得出8C的长;

-(25根据相似三角形的性质歹『方程进而求出AG的长..

【解答】解：(1)由题意可得：FC//DE,

»•x>>»X>'>

则户CsBEZ),

BCFC

故——=——，

BDDE

解得：BC=3；

»(2)\9AC=5Afn,>

J45=5.4-3=2.4(/〃)，

..•光在镜面反射中的入射角等于反射角,

:./FBC=NGBA,

•.又,：NFCB=NGAB,

:•△BGAS4BFC,

,,■J.

,AGFC

,布二^?f,ff,

.竺—竺

••~~'=11,r

2.43

解得：AG=1.2("?),

,“答：灯泡到地面的高陵AG为1.2m.

【点评】此题电覆考查了相似三角形的应用：正确得出相似弓角形是赢关键.，

3.如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三阴形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度.背

标杆BE的高为1.5米，测得A8=2米，8c=14米，求学校体育馆C。的高度.

□

□

□

【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得C。的长即可.

【解答】解：依型意得BE〃C£>,

/\AEB^/\ADC,

ABBEn2>1.5，，，

---=,艮［J=,

ACCD2+14CD

则CD=12.♦

【点评】本题考查w目似m角形的应用，解题”关键是从实际问题中整理出直角三窗形，难度不大.

4.如图，小强自制［一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15c〃?，他准备了一支长为20c〃［的蜡烛，想要

得到高度为5c〃?的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？

【分析】先根据磔塞得出相似三角形，再利甲三角形相似的性质得到相，以比，然后根据比例性质“昊

【解答】解：如图，AB^20cm,OF=\5cm,CD=5cm,

：AB//CD,EF±ABf

:.EFLCD：

:./\OAB^AODC,•••

CDOF„„5-15

———,.即:————)

ABOE20OE,

解得OE=60cm

答：蜡烛应放在距离最筒60c〃?的地方，

【点评】本题考查的是相似三角形的需用,.熟知相似三角形的对山边成比例是解答此题的关税_

5.-天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯。的高度.如图，当在点A处放置标杆时，李明测得

直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走,走到点8处放置同个标杆，

测得直立标杆高8N的影子恰好是线段AB,'并测得AB=1.2a,己知标杆直立时的高为1.8〃?，求路灯的

高的长.

-

【分析】根据CD1.EC,BNLEC,以=MA得到MA7c。〃8M从而得到△ABys/\AC。,

利用相似三角畛对应边的比相等列出比例与求解即可..

【解答】解，:设CO长为x米,、.••

:AM1.EC,CDLLEC,BNIEC,EA=MA,

：.MA//CD//BN^\

・・・Bc=CO千x米，.■>〃九

/.XABNsS,

BNABE,1.81.2

r-=----,艮J----=---------,...

CDACxx-1.8

解得：x=5.4.

息检验,x=544腐方程的‘解，

的灯高CD为5.4米.‘'

【点评】本题考查了希似三角形的应用，解题的美键是根据已知条件得到嚼亍线，.从而证得相似二角衩

6.为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿CAB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）

长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（8"）,再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B'

C）为1.8米，求路灯离地面的高度.

【分析】先根据A8_L0C',OS_LOC',可知△ABCs/^soc,同理可得△△'B'C',^ASOC',再由

相似二角形的对应而成比稿即可得出h的值.”

【解答】解：•••A81OC'：OS1OC,,'

：.SO〃AB,

AABCs△$()(：,

"B'C+OB-OS''1+OB-7i

解得OB=1①，

.1A

同理，VA,B'IOC,

.,.△4'B'C's4§oC

BfCfArBi1.81.5

,•B心+BB7+0B一OS'L8+4+OB—h'

181.5

此①代入㈢得，_-2,一,，

584■一八一1h

3

解得人=9（来）1

答：路灯离地面的高度是9米.

【点评】本题考查的是相似三角形在史际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的

关键.

7.如图，在一块斜边长30”?的直角三角形木板（RtZ\AC8）上截取一个正方形COEF,点。在边8c上,

点E在斜边A8上，点尸在边AC上，若AF：AC=1：3.

求EF的长.

【分析】设1艮据定方形的性质用x表熟EF、CF,证明尸风A8C,根据相似二角形而生

质求出BC,根据幻圾定理列式求出工•

【解答】解：设贝ljAC=3x.,,.

*

•.•四边形CDEF为正方形，...:.>.

:.EF=CF=2x,EF//BC,

<■>'-grwr*'_jfc*

•_X-*•Jk^■•Jk,，•

，AAEF^AABC,

.EFAF1

•«——t

BCAC3

***BC=6x.

在RtZSABC中，AB2=A(^+B^,即3()2=(3x)2+Ux)*2,,

解得：x=2V5>

»・JL»>口》>•工》»»X>*

：.EF=4V5.

【点评】本题考查的是相似三角形的自用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解

题的关键.

8.如图，小明同学为了测量教学楼的高度0E,先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1〃?到点B

处，恰好在镜子中瞽到楼的顶部E点；再将镜导向后移动4m放在C处，从点C处向后退1.5狙到£D

处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度/B,GD为1.5〃?，点七，4,

B,C,。在同一水平线上，镜子可看成一个点.求教学楼的高度。£

【分析】根据题意得鱼△GZX'S^EOC和△BA/SAOAE,利用相似三角弦的对应边的比相等列式计算

即可.

【解答】解：由已知得，AB=1m,CD=15〃，AC=4m,tFB=GD=].5m,ZAOE^ZABF^ZCDG=

90°,ZBAF^ZOAE,ZDCG^ZOCE.

•/8A尸=/OAE,/A8F=NAOE,

.XBAFsXOAE,

FBOE「L5OE

.--=---,即—=---,

ABOA1OA

.(TE=\.50A,

•4DCG=40CE,NCDG=NCOE,

.△GDCS^EOC,

GDOE„1.5'OE

--=---,即---=------,

CDOC1.5O/+4

*

：.OE=OA+4,

：.OE=\.5OA,

・・・1.5OA=OA+4,

・・・0A=8〃z,0E=\2m,

答：,教学楼的高度0E为12m..

【点评】本题考查匕相似三角舷的应用.应用等面反射的.基本性质，得出子角形相做再运用相似学

形对应边成比例年可解答.

9.如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示.根

据实际情况画出平面图形如图②，CDLDF,AB1.DF,EFLDF,甲从点C可以看到点G处，乙从点E

恰巧可以看到点。处，点8是。F的中点，路灯A8高8米，DF=120X.tanZAGB=1,求甲、乙两

人的观测点到地面的愧离的差：

Ci)、②

【分析】先用锐角当函就求出BG,再由相似三角短的性质得出比例式求出.CD

【解答】解：由题意可知：80=60米，。尸三1'20米,J

.•.t>G=60米，EF=2AB=16,,,

•.FB=8,vanZAGB=~,

.•.8G=3A8=24米；

VCD1DF,ABIDF,EFLDF,

：.AB//CD//EF,-

:;△ABGsj\CDG,,

>ABBG

VCD~DG

・・.,D=28米，，

:.CD-EF=28-16=12米，

所以两人的观测点到地面的距离的差为12-米.

【点评】此题是相似三角形的应用，I：要考查了锐角三角幅数，相似三角形的性质，,解本题的关键是求

出CD.

一.L"i.I»一,■11,.l»-

10.如图，灯杆A8与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的。处测得其影长。尸为3,“，设

小丽身高为1.6，〃.

（I）求灯杆AB的高度；

（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？,若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的

【分析】（1）由NA£B=/CF。、N48F=4CQF可得出△ABFS^CDR根据相似三角形的性质网求

■、'--、•一

出A8的长度，此题得解：

⑵将CD往墙移动‘7米到C'。，作射线北'交MN于点P“延长4P登地面BN于点0,由NAJB

=NC'QD',.^ABQ=ZCD'0=90：可得出△ABQsac'D'Q,根据相似三角形的性质回求出

）‘。的长度，进而可求出80的长，.由B。的号大于18咪可得出小丽的影子不能完全落在地面上，,同

理可得出△PQNj^AQB,再利用相似三角弦的性质可求出PN的长度，此题得解.

,to.•..

【解答】解：（1卢：/A^B=/CTO,NAB』NCDF,

：./XABF^^CDF,・

.ABBF

••"=,

CDDF.

.*BF9+3-一：

・・AJ3=而*CD=-x1.6—6.4.

:灯杆45的高度为6.4米.，・,.J、,.・：、

Q）将CO往墙移动7米到C£>',作射线AC'交MN于点P,延长AP交地面8N于点Q,如图所

示.

VZAQB=ZCrQDr,ZABQ=ZC,D'Q=90°,

/.△AB2^AC,D'Q,.

DrQCrDfOllDrQ1.6

----=-----,艮1=,

BQABD/Q+16--6.4

：.D'Q=竽，〜

8Q=9+7+竽=空\8,

:小丽的影子不能竟全落咨地面上.

同理，可得出△尸QN夕△AQ8,,

16

.PNQNPNL+7

ABBQ6.4募+9+7

.:.PN=\.--

・・・小丽落在堵上的影长为1，米..•：

【点评】本题考古了相似三角薛的应用以及中心投影，解题的关键感（1）由△"/心△.）尸我用相似

三治形的性质求出A8的长度；（2）由△PQNs△408利用相似三角形的性质求出乐的长度.

11.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=12c〃z,高A£）=8cm把它加工成正方形零件，使

正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在48,AC上，这个正方形零件的边长是多少？

【分析】根据矩形的对边平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一边的宜线截其他两边或其他两边

的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可.

【解答】解：・・,苏CG是正方形，

：.EF//BCf

・・・△AEFSABC,

,EFAK

••BC-AD'

又ADLBC,

EF=EG=KD.

.设芷方形边长为X,则4K=8建，

X8-x

••~~=»

128

解得：x=4.8,..

答：这个正方形零件的边长为4.8。九.

【点评】本题考杳了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

12.如'图，为了估算河的宽度，我们可以在河对年选定一个自标点P,在近岸取点。粕S,使点P、Q、S

共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线。上选择适当的点7,确定PT与过点。且

垂直PS的直线％的交点R.如果测得QS=45m,S7=90，“，0?=60加，求河的宽度尸。.

【分析】根据相似三角形的性质得出=三，进而代入求出即可•力,'if'"

【解答】解：根据题意得出：。/?〃ST,

则APQRS/\PST,

+PQQR--.

I仗=~,

PQ+QSST

V25=45/77,Sr=90m,QR=60m,

.PQ_60/.••

•・pQ+45-90，

解得：尸0-90(“)

，河的宽度为90米.

【点评】此题主界考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△尸QHS/^PST是解题关键.

13.如图所不，A£)、8c为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯朴之间，两人相距6.5〃?，小明站在P

处，小亮站在。处，小明在路灯8c下的影长为2根，已知小明身、高1.8根，路灯8C高9"?.小明在路灯

BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯A。下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方.

①计算小亮在路灯AD下的影长；

②计算AO的高.

D

■,C1:~:..一

»•••/•/

E..1*''、、F

'L-T4」2一二产

月PQB

【分析】解此题的关键是找到相似三用形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解.

【解答】解：@'：EPLAB,CBA.AB,

.\2EPA=ZCBA=90a

"：ZEAP=ZCAB,

,-A*、•卜「・▲••.・▲•

：./\EAP^/\CAB

a="

"BCAB

.1.82

••9一AB

’.•.48=10

8。=10-2-'凝第5;

@'：FQ1.AB,DAIAB,

尸。8=NA4B=90°

♦</i♦<J1Ja♦

■:NFBQ=NDBA,.二..二.

1△BFQs△4DA

•丝=££

DA~AB，，，

_.•aQ

,1.81.5

DA10

：.DA^\2.

・一

D

C

E,•

QB

【点评】本题只要她把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比；列出方程，体现了昉

程的思想.

14.张红武和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因

此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试，如图1,

垂直于地面放置的正方形框架ABCQ,在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，当边长为30c7力，正

方形框架的横向影子A'B,DC俯长度和为6cm.根据以上信息，他们计算出灯泡离地面的高度为180an.

J.'Mr*.Mr'W

（1）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放,请求出此时横向影子AB,

O'C的长度和为多少？

•«

（2）有〃个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为h,求灯泡离地面的高

度.（结果用含mb,〃的代数式表示）

【分析】⑴设灯泡的位鲁为点P,易得△以成-△附D',设出所求的味知金，利用相似三角形的性

质可得到横向影主4'B,的长度和

（2）按照相应的三用形相似；利用相似三角形明对应边的比等于对/高的户，用字母表示出其他线多

即可得到灯泡离地面的距离.

【解答】解:.浚灯泡的位置为点P,横向密子A'B,D'C的长度和为xcm,

♦«4>♦W»?♦<J,♦

U：AD//Af£>'，.一'.ww.・

：.ZPAD=ZPA,D：：ZPDA=ZPD'A，..，S»1、

•••△BAQs△%'D'.

・60_150

**60+x—180’

I

解得元=12c〃z,即横向影子A'B,D'。的:长度和为12cm；

0—iTi>,g,4<e^Tr.

>7ri'J•卜.

心）记灯泡为点p,如图：

^AD//A'D',

：.Z.PAD=APA'D’,/PDA=/PD'A'.

J△%Qs△必’o'.

AnPN

根据相似三角形/应高的比等于相似比的性漩，可得"=777'

AfDfPM

设灯泡离地面距离为x,由题意，得PM=x,PN=x~chAD—nchAD'=iia+b,

.-ax-aa

na+bxx

.na・

-na+fo-T.':'.："

［点评】本题主要考查相似三角形的应用，注意运用相似三角形制应高的比等于相似比这个性质.

15.如图，平台AB上有一棵直立的大树C。平台的边缘B处有一棵直立的小树8E,平台边缘B外有一

个向下的斜坡8G.小明想利用"数学课上学习的知识测量大树CQ的高度.丁天，他发现大树的影子;部

分落在平台圆上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端。与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜

，I.力,，.J.

坡上的尸处，经测量，CB长5百米，3F长2米，小树BE高1.8米，斜坡8G与平台AB所成的/A2G

=150。.请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）.

【分析】延长CB交E尸于点〃，过点£作尸例上加的延长线于点M,在直角三角形M8尸中,.利用30’

角的性质求出8M和M凡再利用相似求出8H长度；最后由△H8Es△〃(?£>,求出CD即大树的高度即

可.♦

【解答】解：延长小交EF于点H,过点尸箱;£3的延长线于点

：.ZMBF=\50°-90°=60°

.".ZMFB=300*■

・二B/的长为2启、

・・・8M=1米，M尸=4米

•：BE2CB,MFA.BE

:.BH//MF

•••△EBHS'AEMF.

BHEB

：------二-------

•・MFEM

又・・・£；3=1.8米

BH1.8

k1.8+1Qr

•BH"

'：BE//CD

:•△HBEsXHCD

♦«jjwjiJ♦

^一

'"CH~CD

'：CB=5如'',^•'

,9VI

•"IT_型

,,573+^2=FF

14

，8=.15.8米

三•.大树CO的高度为•ns来.*V-.-

【点评】本题考杳了相似三角形在解决实际问题中的应用，明确相似都形的判定定理及其性质；;是解

题的关键.^.

16.如图，小华在晚上由路灯4走向路灯8.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A

的底部；当他向前再步行12机到达点。时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小华

的算高是16”，两个路灯的高座都是96”，且AP=Q8.，

（1）求两个路灯之间的距离.

（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【分析】（1）’如图1,先证明△APA/SA45D,利用相似比可得AP=，B,再证明△80Ns/\BAC,利

•.用疝似比可得8Q="3,则18+12+48=4?,葬得43匾8（M；

BN16

，（2）如图2,他在路灯4下的影子为3M证明△M?McZ\M4C,利用相似三角形的性质得嬴==藐，

然后利用比例性质求出BN即可.

【解答】解：（1）如图1,

■:PM〃BD,

：.XAPMsXABD,

APPMAP1.6

—=----,即—=—,

ABBDAB9.6

：.AP="B,

，.,<_k~

'JNQ//AC,.-'

:.△BNQs/\BCA,、

.拦="即丝=竺，」

BAACAB9.6

/.BQ=^AB,

而AP+PQ+BQ=AB<

w

，•'•

・・・46=18.

答：两路灯的距离为18〃?；

（2）如图2,他在路灯A下的影子为8N,

■：BM//AC,

:.△NBMS^NAC,

:BNBMnnBN1.6，3

•.嬴=就‘即嬴不=彳解得8*36>

答：当他走到路灯8衽他在路灯A卜的影长鼠36”.

B

【点评】本题考查了相似二角形的应用：通米利用相似三角形的性质即诵似二角形的对应边的比痈等和

“在同二时刻物高与影长的比相等”的、原理解^,

17.一块直角三角形木板，它的一条直角边4B长15”，面积为15*2.甲、乙两位木匠分别按图①、②把

【分析】结合相似与角形的1进而得出两个年方形的面积进而比较得出落深.

【解答】解：由AB=15”，SAABC=1.5m2,可得8c=2〃?，

由图①，过点B作RtAABC斜边AC上的高，BH交DE于P,交AC于H’

由AB=15%,BC=2tn,

.得AC=NAB?+8c2=".524.22=2.5(m),

/»-/*,/ar^r，＞

由AC・8”=AB・8C可得：BH=网投=1.2人m),

AC

设.甲设计的桌面的边长为X”.

•:DE//AC,

.,.RtABDE^RtABAC,

BPDE1.2-xx・

\--=---,即-----=---,

BHAC1.22.5

解得％=tv(m)J，

.由图②，若设乙设计的正方形桌面边长为冲1,.「，’..

由DE//AB,得RtACDE^RtACBA,

.££,££即

••—，IA|J■—,

ABBC工52,

解得y=?(m),

=—=

.'xWy,即/〈y2,

；.S,1"般①<S,E7JM(2)，

:•.第二个正方形面翻大.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键.

18.如图，一条东西走向的笔直公路，点4、8表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电

视域所在的位置.小王在公路P。南侧直线行走，当他到达点P的位置时,.观察树4恰好挡住电视塔，

即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点。的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B

也恰好挡住电视塔.假设公路两侧4B〃PQ,且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧尸。的距离.

【分析】作CEUQ务A8于。点，利用相似盘形对应边上的高的比等芋相似比，即可求得电视塔会

公路南侧所在直线的距离.

【解答】解：如图所不，作CELP。于E,交居于。点:

设CD为x,则CE=60+x,

..Q

•J；・

・：AB〃PQ、

:AABS4PQC,■

—=—，BP：—=-----，

ABPQ150180

解拜x=300,

.”+60=360米，

答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米.

pQE

【点评】本题考查了押似三角舷的应用，解题咚关键是由角的识别相似三方形.「解感时注意：相似印

形的对应线段（对应中线、对应角平分线、两应边上.的高）的比尊于相似比.

♦wt>.•,•T>♦»!>

19.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同•物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，

他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.

图1图2图3

.（I；如图I,垂直壬地面放置的正方形框架A8C。，边长A8为30（汕，在其正上方有一灯泡，在灯泡的

照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'C的长度和为6ca那么灯泡离地面的高度为180cm.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A'

B,D'C的长度和为多少？

（3）有〃个边长为。的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为从求灯泡离地面的

距离.（写出解题过程，结果用含“，6,〃的代数式表示）.

【分析】（1）设灯泡的位置为点P,易得△抬Ds△以'D',设出所求的未知数，利用相似三角形的对

,1',,*»-

，应边的比等于对4盥高的比，可得灯泡离地标的高度；

（2）同法可得到横向影子A'B,D''的长度和：

A

⑶按照相应的三角形相似，利用相似三扇形的对应边的比等于对应耨的比，用字母表示出其他线段,

^wjL^*,•<W^>rq<-jKic.（CT*y

即可得到灯泡离戒面的距离.

【葡答】解：（1）设灯泡离施面的高度为必〃7,'

*t*

^AD//A'D',

：.^PAD=ZPAfDf,/PDA=/PD'A'.