2021年中考数学真题分类汇编之锐角三角函数

2021年中考数学真题分类汇编之锐角三角函数

一、选择题（共6小题）

1.（2021•天津）tan30。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

3

2.（2021•云南）在AABC中，ZABC=900.若AC=100,sinA=-,则钻的长是（）

A.—B.—C.60D.80

35

3.（2021•玉林）如图，AABC底边3c上的高为4,APQR底边QR上的高为〃?，贝4有（）

D.以上都有可能

4.（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距

离BC为15m,AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

.4产工_____________D

B'-------------------------------1。

A.（15>/34-1）OTB.5#1mC.15舟D.（5^+|）m

5.（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米，NA=a,

则缆车从A点到达3点，上升的高度（BC的长）为（）

A.30sina米B.米C.30cosa米D.心-米

sinacosa

6.（2021•桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角a的

正弦值是（）

二、填空题（共4小题）

7.（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，

测得NA=83。，则大桥3c的长度是米.（结果精确到1米）（参考数据：$出83。20.99,8$83。=0.12,

8.（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图

是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯4?的坡度i=5:12（i为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯

底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端5,则王老师上升的铅直高度3c为米.

9.（2021•黄石）如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,

测得3c=5米，8=4米，N3C£>=150。，在。处测得电线杆顶端A的仰角为45。，则电线杆他的高度

约为米.

（参考数据：夜。1.414,6*1.732,结果按四舍五入保留一位小数）

10.（2021•海南）如图，AABC的顶点3、C的坐标分别是（1,0）、（0,6）,且Z4fiC=9O。，ZA=3O°,则

顶点A的坐标是—.

11.（2021•通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处

测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60。方向，他以1.5m/5的速度沿着河岸向东步行4O.v后到达C处，此

时测得大树位于北偏东45。方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：6=1.732）

4

12.(2021•上海)如图，已知AA3D中，AC工BD,8c=8,CD=4,cosZABC=-,3F为边上的

5

中线.

(1)求AC的长；

(2)求tanN用£＞的值.

13.（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60夜海里到达3处，然后改变航向，向

正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离.

B

东

14.(2021•广东)如图，在RtAABC中，ZA=90。，作3c的垂直平分线交AC于点£),延长AC至点£,

使CE=AB.

(1)若AE=1,求AA5D的周长；

(2)若求tanZABC的值.

3

15.(2021•鄂尔多斯)图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②

是其侧面结构示意图，托板长A8=115加〃，支撑板长＜7)=70,即，板A3固定在支撑板顶点C处，且

CB=35mm,托板43可绕点C转动，支撑板CD可绕点。转动，ZCD£=60°.

(1)若N"B=70。时，求点A到直线的距离(计算结果精确到个位)；

(2)为了观看舒适，把(1)中NDCB=70。调整为90。，再将C£＞绕点。逆时针旋转，使点3落在直线£)E

上即可，求CD旋转的角度.

(参考数据：sin50°«0.8,cos50O»0.6,tan500»1.2,sin26.6°»0.4,cos26.6°»0.9＞tan26.60®0.5,

73*1.7)

图①图②备用图

2021年中考数学真题分类汇编之锐角三角函数

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题）

1.（2021•天津）tan3O。的值等于（）

A.—B.—C.1D.2

32

【答案】A

【考点】特殊角的三角函数值

【专题】实数；符号意识

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.

【解答】解：tan3（T=巫.

3

故选：A.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

3

2.（2021•云南）在AABC中，ZABC=90°.若AC=100,sinA=-,则他的长是（）

A.—B.—C.60D.80

35

【答案】D

【考点】锐角三角函数的定义

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】利用三角函数定义计算出8C的长，然后再利用勾股定理计算出他长即可.

【解答】解：•.•AC=100,sinA=-，

5

.-.BC=60,

AB=yjAC2-BC2=80,

故选：D.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义.

3.（2021•玉林）如图，AABC底边8C上的高为4，APQR底边QR上的高为均，则有（）

D.以上都有可能

【答案】A

【考点】解直角三角形

【专题】运算能力；推理能力；解直角三角形及其应用

【分析】分别作出AA8C底边8c上的高为即4,APQR底边0?上的高为PE即为，再利用锐角三角

函数分别表示出％和为即可选出正确答案.

【解答】解：如图，分别作出AA8C底边8c上的高为AD即4，APQ/?底边QR上的高为正即生，

在RtAADC中，\=AD=5xsin55°,

在RtAPER中，生=PE=5xsin55。,

../2]=hy,

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形相关知识，本题理解题意构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在直角

三角形中的应用是解题的关键.

4.（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测操场旗杆的高度，己知他与旗杆之间的水平距

离BC为15m,AB为15m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

.4产'加"_____________D

B'---------------------------'C

A.（15\/3+—）/nB.5®*C.15x/3znD.（5\/3+—）m

22

【答案】D

【考点】含30度角的直角三角形：解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】先根据题意得出的长，在RtAADE中利用锐角三角函数的定义求出止的长，由CE=CD+DE

即可得出结论.

【解答】解：由题意可得，四边形是矩形，BC=15m,AB=1.5m,

:.BC=AD=\5m,AB=CD=].5m,

在RtAADE中，ZE4£>=30°,AD=l5m,

:.DE=ADtanZEAD=\5x—=5y/3（m）,

3

CE=CD+DE=（573+1.5）（，〃）.

故选：D.

【点评】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，含30。的直角三角形等，熟知锐角三角函数的定

义是解答此题的关键.

5.（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、3两点间的距离为30米，NA=c,

则缆车从A点到达5点，上升的高度（8C的长）为（）

B.3_米D.工

A.30sina米C.30cosc米

sinacosa

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】根据sina=.求解.

AB

【解答】解：由图可知，在A4BC中，ACLBC,

BCBC

二.sina=----=-----

AB30

3C=30sinor米.

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义.

6.（2021•桂林）如图,在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接OP,则O尸与轴正方向所夹锐角a的

正弦值是（）

c

B-iD.-

4-15

【答案】D

【考点】解直角三角形;坐标与图形性质

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】如图作轴于A,利用勾股定理求出OP,根据正弦定义计算即可.

【解答】解：作R4_Lx轴于A,如右图.

•••P(3,4),

;Q=3,AP=4,

.-.OP=V32+42=5,

AP4

sina=——=—

OP5

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义.

二、填空题（共4小题）

7.（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，

测得NA=83。，则大桥BC的长度是326米.（结果精确到1米）（参考数据：5皿83。=0.99,8$83。^0.12,

【考点】解直角三角形的应用

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】直接利用直角三角形的边角间关系求解即可.

【解答】解：由题意，在RtAABC中，

nr

・.・AC=40米，ZA=83°,tanA=—,

AC

BC=tan/I-AC

«8.14x40

=325.6

*326（米）.

故答案为：326.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

8.（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图

是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯4?的坡度i=5:12（i为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯

底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为_分_米.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【专题】运算能力；推理能力：应用意识；解直角三角形及其应用；等腰三角形与直角三角形

【分析】由坡度的定义，可设3C=5a米，则47=12。米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解.

【解答】解：由题意得：ZACB=90°,/W=0.5x40=20（米），

•.•扶梯Afi的坡度1=5:12=生，

AC

.•.设8c=5。米，则AC=12。米，

由勾股定理得：（5q）2+（12a）2=2（）2,

解得：a=—（负值已舍去），

13

BC=—（米），

13

故答案为：――-

13

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾

股定理是解题的关键.

9.（2021•黄石）如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,

测得8C=5米，8=4米，ZBC£>=150°,在。处测得电线杆顶端A的仰角为45。，则电线杆四的高度

约为为.5米.

（参考数据：3=1.414,73=1.732,结果按四舍五入保留一位小数）

【答案】10.5.

【考点】平行投影；解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】延长AD交BC的延长线于E,作DFLBE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出。「、CF

的长，根据等腰三角形所=叱，得到跖的长，由旗=破得到结果.

【解答】解：延长4）交BC的延长线于E,作小，5E于F,

vZBCD=150°.

.-.ZDCF=30°,又8=4米，

,止二2米，CF=4CD--DF2=2^3（米），

由题意得NE=45。，

:.EF=DF=2米

:.BE=BC+CF+EF=5+243+2=（l+2y/3）^,

AB=B£=7+2>73«10.5（米），

故答案为10.5.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

10.（2021•海南）如图，AA8C的顶点3、C的坐标分别是（1,0）、（0,6）,且NABC=90。，ZA=30°,则

顶点A的坐标是—（4,75）—.

【答案】（4,g）.

【考点】坐标与图形性质；解直角三角形

【专题】运算能力；解直角三角形及其应用

【分析】过点A作AG_Lx轴，交x轴于点G.只要求出AG、OG,则可求出顶点A的坐标.

【解答】解：过点A作轴，交x轴于点G.

:.OC=6,OB=\,

.,.3C=JF+（百＞=2.

・.・ZABC=90。，ABAC=30°,

BC2

...AB==2V5.

tan30。一耳

3

vZABG+ZCBO=90°,ZBCO+NCBO=90。，

...ZABG=/BCO.

...sinZABG=^="=Lc°9BG=^=处且

ABBC2ABBC2

二AG=6,BG=3.

OG=1+3=4，

顶点A的坐标是（4,6）.

故答案为：（4,6）.

【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、C心的长是解决此题关键.

三、解答题（共5小题）

11.（2021•通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处

测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60。方向，他以15〃/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此

时测得大树位于北偏东45。方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：1.732）

【答案】此段河面的宽度约82m.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】应用意识；解直角三角形及其应用

【分析】如图，作于。.由题意得到BC=1.5x40=60(〃?)，ZABD=30°,NACE>=45。，在RtAACD

中，由三角函数的定义得到AO=CD,在RtAABD中，由三角函数的定义得到80=*AH—,根据

tan30°

BC=3。-C£>即可求出4).

【解答】解：如图，作AO_L8C于。.

由题意可知：3c=1.5x40=60(m),ZABD=90°-60°=30°,ZAC。=90。-45。=45。,

An

在RtAACD中，・・・tanZAC£>=tan450=—=1,

CD

:.AD=CD,

An

在RtAABD中，•/tanZA^D=tan30°=——，

BD

・皿备

AH

・・・BC=BD-CD=-^-AD=60(m)

3f

T

AD=30(百+1)«82(m),

答：此段河面的宽度约82〃?.

【点评】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直

角三角形解决问题.

,4

12.(2021•上海)如图，已知AABZ)中，ACA.BD,3c=8,CD=4,cosZABC=-,成为4D边上的

中线.

（1）求AC的长；

（2）求tanNFBD的值.

C

3

【答案】（1）6；（2）—.

10

【考点】解直角三角形

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】（1）解锐角三角函数可得解；

（2）连接C尸，过F作中的垂线，垂足为E,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF=&D,

由勾股定理可得AO=2g,EF=2,即可求tanNFBD.

RC4

【解答】解：（1）:ACA-BD,cosZABC=-=BC=8,

AB5

.­.AB=10,

在RtAACB中，由勾股定理得，

AC^ylAB2-BC2=7102-82=6,

即AC的长为6；

（2）如图，

连接C尸，过F点作班）的垂线，垂足E,

•.•班1为4）边上的中线，

即尸为A。的中点，

:.CF=-AD=FD,

2

在RlAACD中，由勾股定理得，

AD=<AC?+CD?=^62+42=2万，

•三角形C/刀为等腰三角形，FELCD,

:.CE=-CD=2,

2

在RtAEFC中，EF=\ICF2-CE2=V13-4=3,

3_

tanZFBD=——

BEBC+CF_10

解法二：防直接用三角形中位线定理求解即可.

【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等

基本知识点.

13.（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60匹海里到达5处，然后改变航向，向

正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离.

【答案】100海里.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识；运算能力

【分析】延长CB交4T）于点。，在RtAABD中，根据三角函数的定义求出AZ）,BD,进而求出。C,在

RtAADC中，由勾股定理得即可求出AC.

【解答】解：延长C3交AD于点。，则NAZ）8=90。，

由题意可知NDAB=45°,

ZABD=90°-ZZMB=45°,

：.ZABD=ZDAB,

:.AD=BD,

在RtAABD中，

•.,AB=60夜海里，sinZDAB=—,

AB

AO=8O=AB-sin45o=60&x义=60（海里），

2

•.•BC=2O海里，

.•.DC=60+20=80（海里）,

在RtAADC中，

由勾股定理得，AC=yjAD-+DC-=7602+802=100（海里）,

答：AC的距离为100海里.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出宜角三角形是解决问题的关键.

14.（2021•广东）如图，在RtAABC中，ZA=9O°,作8c的垂直平分线交AC于点O,延长AC至点E,

使CE=AB.

（1）若AE=1,求的周长；

（2）若求tanNABC的值.

3

【答案】（1）1;

（2）四.

【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力：应用意识；等腰三角形与直角三角形

【分析】（1）连接应），设8c垂直平分线交8c于点F,再根据线段垂直平分线的性质求解即可；

（2）设AO=x,则BE>=CD=3x,AC=4x,由勾股定理可表示出48=2&x,从而可计算出

tanZ.ABC=——=—="s/2.

AB2五x

【解答】解：（1）如图，连接身>设3c垂直平分线交BC于点尸，

/.BD=CD，

C^BD=AB+AD+BD

=AB^-AD^-DC

=A8+AC,

•・・AB=CE，

C.=AC+CE—AE=1,

故A，曲)的周长为1.

(2)设A£)=x,

BD=3x,

又1BDuCD,

AC=AD+CD=4x,

在RtAABD中，AB=\lBD2—AD2=J(3x)‘-x?=2\[2x.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关

键.

15.（2021•鄂尔多斯）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②

是其侧面结构示意图，托板长AB=115M〃，支撑板长CD=7O〃7/n,板4?固定在支撑板顶点C处，且

CB=35mm,托板AB可绕点C转动，支撑板8可绕点。转动，ZCDE=60°.

（1）若"C8=70。时，求点A到直线上的距离（计算结果精确到个位）；

（2）为了观看舒适，把（1）中NDCB=70。调整为90。，再将CD绕点。逆时针旋转，使点5落在直线

上即可，求CD旋转的角度.

（参考数据：sin50°=0.8,cos50°®0.6.tan50°«1.2,sin26.6°«0.4.cos26.6°®0.9,tan26.6°»0.5,

V3»1.7）

图①图②备用图

【答案】（I）124，打"；（2）33.4°.

【考点】解直角三角形的应用

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力

【分析】（1）过点C作CG//ZJE,过点A作AHLCG于“，过点C作于点尸，则点A到直线£>E

的距离为：AH+CF,在RQCDF中，解直角三角形可得CF的长，在RtAACH中，解直角三角形可得A”

的长.

（2）画出符合题意的图形，在M△aCD中，解直角三角形可得N37）。的度数，则C£>旋转的角度等于

NCDE-MDC.

【解答】解：（1）过点C作CG//DE,过点A作于〃，过点。作于点尸,

则点A到直线DE的距离为：AH+CF.

在RtA8F中，

CF

,/sinZCDE=---,

CD

:.CF=CD-sin60°=70x—=3573工59.5（加帆）.

2

•/ZZXB=70°,

ZACD=180O-ZDCB=110°,

.•CGIIDE,

:ZGCD=ZCDE=60°.

ZACH=ZACD-ZDCG=50°.

在RtAACH中，

AI-l

•/sinZACH=——,

AC

AH=AC-sinZACH=(115-35)xsin50°«80x0.8=64(//?m).

.•.点A到直线DE的距离为AH+CF=59.5+64=123.5工124(僧m).

(2)如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为。的对应点为C,

tanAB'DC==—=0.5,tan26.6°。0.5,

DC70

.•.4DC=26.6°.

r.CD旋转的角度为ZCDC=ZCDE-ZBDC=60°-26.6°=33.4°.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角

关系.正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解题的关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题

的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

2.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距

离相等.一③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离

相等.

3.含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用

来求边的长度和角的度数.

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

4.锐角三角函数的定义

在RtZSABC中，ZC=90°.

（1）正弦：我们把锐角A的对边”与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA.

即sinA=ZA的对边除以斜边=里.

（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做NA的余弦，记作cosA.

即cosA=ZA的邻边除以斜边=上.

（3）正切：锐角A的对边&与邻边人的比叫做NA的正切，记作tanA.

即tanA=NA的对边除以/A的邻边=包.

b

（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做N