2021年中考数学复习学案 一次函数之找规律

一次函数之找规律

可知识点精讲

找规律在考试试卷中经常出现一类题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，

分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。

规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数

字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等

方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力

规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往

给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体

现了“特殊到一般”的数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及

探究能力和创新能力，题型主要是填空题

技巧与方法：

用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，下面研究解决这

类题目所用到的主要数学思想和思考方法

主要思路:观察f类比f归纳f猜想f验证

知识要点支撑

常见数例规律数列知识点

1.数列的概念

⑴数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列

数列中的每个数都叫这个数列的项，记作a,,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置

的叫第2项,……，序号为〃的项叫第n项(也叫通项)记作:数列的一般形式：

简记作｛。“｝

(2)通项公式的定义:如果数列｛4｝的第"项与〃之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

叫这个数列的通项公式

(一)等差数列:相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减

1、等差数列定义:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么

这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，用递推公式表示为

an—an-i=d(n^2)

2、等差数列的通项公式“=0+(〃-l)d

3、等差数列的前〃和的求和公式:$=位切=〃4=也二11〃（高斯算法）

22

（二）等比数列:相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减

1.等比数列定义:一般地，如果一个数列从第一项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比:公比通常用字母q表示

%+*”=q（q*0）

2.等比数列通项公式为：（%4关0）

3.等比数列前"项和公式

一般地，设等比数列4，a2,a},―,an,…的前〃项和是S,=4+%+/,当时，Sn

————岂1或S“=3——；当q=l时，Sn—nat（错位相减法）.

\-q\-q

（三）二阶等差数列的定义及其通项公式：

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，成为一个等差数

列，则称数列（★）为二阶等差数列.

相应地，d=（a3—a2）—（a2—a1）=%+q—2a2称为二阶等差数列的二阶公差.

n1

2

此即为二阶等差数列的通项.

例2]^^38173047

68,…

依次相差|H5913172A

依次相差|n/44444[

公差d

总结一阶数列（等差数列）二阶数列

一阶等差数列第〃项的规律：%=%+（〃-D(1

二阶等差数列第〃项的规律：%+（n-1）4+

2'’

1,3

a.+(n~1)b.+(一〃-——〃+l)d,(•)

'22

一阶数列符合一次函数关系式，二阶数列符合二次函数关系式.

练(1)1,2,4,7,11,16,22,…

(2)1,3,6,10,15,21,28,…

(3)1,3,7,13,21,31,43,…

(4)2,2,5,11,20,32,47,…

(三)常见的数字变化规律：

自然数数列12345.................n

偶数数列24681012................2n

奇数数列13579.................2/?-1

3579................2〃+1

2481632................2"

13715312«-1

35917332"+1

392781................3"

完全平方数.............................n

一个数的平方加一个数等于第二个数25101726.....n2+l

一个数的平方减一个数等于第二个数03815263548...n2-l

加法数列11235813213455斐波那契数列

符合规律

-+-+-+..............(—1)"

+-+-+-+..............(-1)/1

010n+\

010111(-1)

2+2

典型例题

例1如图，直线y=x+l分别与x轴、y轴相交于点A、B,以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点

A，再过点4作x轴的垂线交直线于点q以点A为圆心，A长为半径画弧交x轴于点儿，…，按此

做法进行下去，则点义的坐标是()

A.(15,0)B.(16,0)C.(872,0)D.(8&-1,0)

【答案】A.

根据题意，利用勾股定理求出44,A4,A&的长，得到各点坐标，找到规律即可解答.

【详解】

解：当x=0时，y=1；当>,=0时，x=-1；可得A(—1,0),8(0,1),4A1=AB=\JOA2+OB2=JF+T

—5/2；AA,—Afl,—(V2j—2；AAj—AB-,—\J2~+2-—25/2；

A(5/2-1,0),A2(2-1,0),A(2>/2-1,0),即A(正一1,0),4(4一1,0),A3(Vs

—1,0)；可得4=5/?—1=16—1=15.故选A.

例2如图，直线/1_Lx轴于点(1,0),直线轴于点(2,0),直线轴于点(3,0),……

直线/“_Lx轴于点("，0),函数y=x的图象与直线4、4、匕、…、/“分别交于点A,、A2、&、…、An；

函数y=2x的图象与直线《、4、4、…、/“分别交于点片、B2,鸟、…、纥.如果△。人用的面积记

作S,,四边形AAB2S,的面积记作52,四边形A,&aB2的面积记作S3，…，四边形4rA„B„B,i的

面积记作5.，那么S刈8=()

A.2017.5B.2018C.2018.5D.2019

【答案】A.

【分析】根据直线解析式求出4_,纥T,A,8“的值，再根据直线/,I与直线/“互相平行并判断出四边形A,I

A,,£纥一是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S,,的表达式，然后把“=2013代入表达式进行计算即可

得解.

【详解】

解：根据题意，An_{=2(n—1)—(n—1)=2n—1—n+\=n—1,AnBn=2n—n=n,

•.•直线轴于点(〃-1,0),直线/轴于点(小0),A,-，且加与间的距离

为1,...四边形A,-A“纥瓦一是梯形，S“=g(n-l+n)Xl=l(2〃-1),当〃=2018时，S20l8=

(2X2018-1)=2017.5,故选：A.

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，读懂题意，根据直线解析式求出A,-纥A"纥的值是解题

的关键.

例3如图，在平面直角坐标系中，函数)，=2犬和丫=一》的图象分别为直线/-12,过点(1,0)作x轴

的垂线交/］于点4，过A1点作y轴的垂线交4于点42，过42点作X轴的垂线交4于点A・3，过点43作》轴

的垂线交4于点…依次进行下去，则点人019的坐标为.

【答案】(-22009,-22010).

【解析】

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点4、4、4、A,、4、4、4、4等的坐标，根

据坐标的变化找出变化规律“4用㈠"，22〃"),A应(-22B+,,22""),七(-22n+l,-22n+2),4M

(2""2,-22nt2)("为自然数)”，依此规律结合2019=504X4+3即可找出点&oi9的坐标.

【详解】

当x=l时，y=2,点4的坐标为(1,2)；当y=-x=2时，元=-2,...点&的坐标为(-2,2)；同

—-

理可得：&(—2,—4),A4(4,4),A5(4,8),A(—8,8),A7(—8,16),4(16,

—16),Ag(16132),,,,,

2n+12n+l2n+12n+l2n+22n+221,+2

(2?"，2),4„+2(-2,2),4什3(-2,-2),4,I+4(2,-2)(n

04

为自然数)，V2019=504X4+3,AA2()l9的坐标为(一2，4*〜)，即(—，—2刈°),故

答案为(-2皿，-22010).

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标

2n+l2n+l2n+l2n+,2n+22n+

的变化找出变化规律"44"+13,2),44n+2(-2,2),A4“+3(-2,-2),A4n+4(2

2,—22"+2)(〃为自然数)”是解题的关键.

例5.正方形4B1G。，A2B2C2C1,&&C3c2…按如图所示放置，点4、A2、4…在直线)，=x+l上，点C

|、C2、C3…在X轴上，则A5的坐标是.

【答案】（15,16）

【解析】

【分析】

根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出4、4、4的坐标，找出规律，即可解答.

【详解】

•.•直线y=x+l和y轴交于4

二4的坐标（0,1）

即。4=1

•.•四边形GO48是正方形

OC\=OA\=\,把x=l代入y=x+l得：y=2,

，A2的坐标为（1，2）,同理A3的坐标为（3,4）

二4的坐标为（2"-|-1,2。,

的坐标是（25-1-1,25-1）,即（15,16）

故答案为：（15,16）

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第

三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键

例6.如图，己知点4的坐标为（0,1）,直线/为），=x.过点Ai作4囱_1_、轴交直线/于点Bi,过点囱

作AzB」/交y轴于点A2；过点A2作4%，丫轴交直线/于点6，过点比作A382，/交y轴于点4，…,

则AnBn的长是.

【答案】2"-'

【解析】

【分析】

由点4的坐标可得出点8的坐标，进而可得出48的长，由A28，/交y轴于点4结合直线/为y=x可

得出△4A2s为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点A2的坐标，利用一次函数图象上点

的坐标可得出点民的坐标，进而可得出的长，同理，可得出A/4,….的长，再根据各线段

长度的变化可找出变化规律"A,B,=2"-”'，此题得解

【详解】

解：：点4的坐标为（0,1）

.,.点81的坐标为（1,1）,A\B\—\

交y轴于点4，直线/为y=x

：./\AXA2B\为等腰直角三角形，

.•.点4的坐标为（0,2）,点B2的坐标为（2,2）,

：.A2B2=2

同理，可得：A3%=4,A4&=8,…，

二AnBn=2n~x

故答案为：2广1

本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，解题的关键是根据线段

长度的变化找出变化规律"A〃B"=2"

相似题

1.如图所示，直线y=x+l与y轴相交于点Ai，以OA为边作正方形O4SG，记作第一个正方形；然

后延长GBi与直线y=x+l相交于点心，再以GA2为边作正方形GA282c2,记作第二个正方形；同样延

长C2&与直线y=x+l相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2482c3,记作第三个正方形；…依此类推，

则第n个正方形的边长为.

【答案】2片|

【解析】

【分析】

解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算〃=1,〃=2…总结出规律.

【详解】

解：根据题意不难得出第一个正方体的边长=1,

那么：〃=1时，第1个正方形的边长为：1=2°

〃=2时，第2个正方形的边长为：2=2]

〃=3时，第3个正方形的边长为：4=22

第"个正方形的边长为：2«-'

故答案为：2广1

2.如图放置的△OABi，△8|4瓦，△82A2B3…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O,S，

B2,当…都在直线/上，则点42019的坐标是.

【解析】

【分析】

根据题意得出直线8田的解析式为：y=Gx进而得出B,Bi，Be，&坐标，进而得出坐标变化规律，进

而得出答案.

【详解】

过Bi向x轴作垂线BiC垂足为C,

由题意可得：A(l,0),AO//AiBi，NOBC=30°,；.。8]=工~,

2

.•・81的横坐标为：1,则囱的纵坐标为：1,・••点S，%,

…都在直线y=6x上,

22

同理可得出：A2(2,G)(1+-,—n).

22

亚1,邺5,故答案为：(型，期6)

2222

此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出4点横纵坐标变化规律是解题关键.

4.如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0,2),Oi为正方形4OB。2的中心；以正方形4OBOz的对

角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABChA，。2为正方形AB。3Al的中心：再以正方形A3。3Al的对角

线A|B为边，在A|B的右侧作正方形488104,。3为正方形A1B8O4的中心；再以正方形4加8。4的对角

线AIBI为边，在45的右侧作正方形AiBOsA?，。4为正方形4BI0SA2的中心：…；按照此规律继续下去，

则点02018的坐标为.

【答案】⑵3°—2,21009).

【解析】

【分析】

由题意。|(1，1)，O2(2,2),。3(4,2),。4(6,4),05(10,4),06(14,8)…观察可知，下标为偶数的点

的纵坐标为下标为偶数的点在直线)，=gx+l上，点O20I8的纵坐标为级009,可得2@9=gx+l,同

侧x=2皿°-2,可得点0018的坐标为⑵3°—2,2'009).

【详解】

由题意Oi(l，1),02(2,2),5(4,2),。4(6,4),05(10,4),4(14,8)…

n

观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为”

下标为偶数的点在直线y=gx+l上，

•.•点。2。18的纵坐标为2I009,

2

：.x=2'mo-2,

.•.点。2。18的坐标为⑵21009)

故答案为⑵°1°一2,21009).

4.如图，Al,Ai,A3…，An,4"+1是直线/1：丫=出》上的点，且。A1=4A2=AM3=…A"A"+1=2,

分别过点4,A2,A3…，4,4+1作/i的垂线与直线L：>----尢相交于点Bi,Bi,胡…，B〃,

3

Bn+l,连接432,31A2,A2&,B2A3…，AnBn+l,BnAn+],交点依次为Pl,P2,23…，Pn,设4

P1A1A2,△P2A2A3,△尸3A344,…，△P/AAi+l的面积分别为Si,S2,S3…,Sn，则

=.(用含有正整数«的式子表示)

n2+n2\/3

【答案】

In+13

【分析】设△OA1B1的面积为S.由O4=AIA2=A2A3=3A,AHI,A\B\//A2B2//A3B3//-//AltB,„

推出AiBi：A2B2：A3B3：•••：A,B,=1：2：3：…：n,推出5A=S,S.ARA=2S,…，

S,.=nS,探究规律，利用规律即可解决问题；

4%Al簿iA八十1

【解答】解：设△0451的面积为S.

由题意可知OA]=AlA2=A2A3=---AflAn+l,A\B\//A2B2//A3B3//•••//AnBn,

AA1S1：A2B2：A3B3：AnBn=1：2：3：•••：n,

=5,S

•，•SAABAAABA=2S,…，S=〃S,

,234n+1

・・Si=-SiS2=-*2S,53=—，3S,…，Sn=----------•nS,

3572n+1

•直线/1：产出x上的点，直线©y=—x，

3

.••两条直线与工轴的夹角分别为60°和30°,

AZAiOBi=30°,

V0/11=2,

,2A/3

••AiBi=------,

3

2_273

.•.S=2X2X

2也3

n2+n2A/3

•**Sn=

2n+1~3~

本题考查两条直线相交或平行问题，规律问题等知识，解题的关键是学会探究规律，寻找规律解决

问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.在直角坐标系中，直线/：4与x轴交于点81,以05为边长作等边△AiOBi,过点

-33

4作A182平行于x轴，交直线/于点心，以A1a为边长作等边△A2A182,过点A2作AI32平行于

X轴，交直线/于点期,以A2B3为边长作等边3A2&,…，则等边△/!2017A2018及018的边长

是.

【答案】22017.

【分析】从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可;

【解答】解：•.•直线/：y=g，”立与X轴交于点

33

：.B\(1,0),OB]=1,△OA181的边长为1；

•.•直线——与x轴的夹角为30°,NAI3IO=60°,

33

ZAIBIB2=90°

*/ZAIB2BI=30

.•.AI&=2AI5I=2,Z\A283A3的边长是2,

同法可得：42&=4,283A3的边长是22；

由此可得，△4,B"+iA”+i的边长是2",

AA20I7B20I8A2018的边长是Z?。”.

故答案为22017.

6.如图，一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟内从原点运动到(1,0),第二分钟

从(1,0)运动到(1,1),而后它接着按图中箭头所示的与x轴，y轴平行的方向来回运动，且

每分钟移动1个长度单位，那么，第2019分钟时，这个粒子所在位置的坐标是()

A.(44,5)B.(5,44)C.(44,6)D.(6,44)

【答案】A

【分析】要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：(0,0),粒子运动了0分钟;

(1,1)就是运动了2=1X2分钟，将向左运动；

(2,2)粒子运动了6=2X3分钟，将向下运动；

(3,3),粒子运动了12=3X4分钟.将向左运动…；

(44,44)点处粒子运动了44X45=1980分钟，此时粒子会将向下移动，进而得出答案.

【解答】解：(2)(0,0)表示粒子运动了0分钟；

(1,1)表示粒子运动了2=1X2分钟，将向左运动；

(2,2)表示粒子运动了6=2X3分钟，将向下运动；

(3,3)表示粒子运动了12=3X4分钟，将向左运动…

于是会出现：(44,44)点处粒子运动了44X45=1980分钟，此时粒子会将向下移动.

从而在运动了2019分钟后，粒子又向下移动了2019-1980=39个单位长度，44-39=5,

故粒子所在位置为(44,5).

故选：A.

本题是考查了点的坐标的确定，是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首

先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标.

7.如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OA8,ZOAB=90°,直角边OA在x轴正半轴上，

且。4=1,将Rt^OAB绕原点顺时针旋转90°,同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形。4以

(即40=2A0).同理，将RraOAiBi顺时针旋转90°,同时扩大边长1倍，得到等腰直角三

角形。A2B2……依此规律，得到等腰直角三角形OA20I482014,则A20I4点的坐标为()

A.(0,22014)B.(0,-22014)C.(22014,0)D.(-22014,0)

【答案】D

【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点A2014的坐标位置，进而得出答案.

【解答】解：♦.•将用ZVIOB绕原点。顺时针旋转90°得到等腰直角三角形4081,且40=2A。，

再将绕原点。顺时针旋转90°得到等腰三角形A2O62,且A2O=2AI。…，依此规律，

.•.每4次循环一周，4(0,-2),A2(-4,0),A3(0,8),A4(16,0),

V20144-4=503-2,

.,.点42014与A2同在X轴负半轴,

V-4=-22,8=23,16=24,

.•.点A2014(-22014,0).

故选：D.

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会从特殊到一般的

探究规律的方法，属于中考常考题型.

8.如图，弹性小球从点P((),1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形O43C的边时反弹，

反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P(2,0),第2次碰到正方

形的边时的点为P2,…，第〃次碰到正方形的边时的点为P,”则点P2018的坐标是()

A.(1,4)B.(4,3)C.(2,4)D.(4,1)

【答案】D

【分析】先根据反射角等于入射角先找出几个点，直至发现规律，然后再根据规律进行求解.

【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3(0,3),再反射到

P4(2,4),再反射到尸5(4,3),再反射到P点(0,1)之后，再循环反射，每6次一循环，

2018+6=336…2,即点P2018的坐标是(4,1).

故选：D.

【点评】本题是规律探究题，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律.

4.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列

数为半径作90°圆弧笆］，募：右记，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结PP2,P2P3,

14CiOJ4

P3P4,…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线

上的点尸9的坐标为()

C.(-5,24)D.(-5,25)

【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题.

【解答】解：由题意，P5在尸2的正上方，推出尸9在尸6的正上方，且到P6的距离=21+5=26,

所以P9的坐标为（-6,25）,

故选：B.

【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置.

课后追踪

1.如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（（），1）f（1,0）f（1,1）f（1,

2）一（2,1）则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）

7。

6

5

4

3

2

O234567%

A.886B.903C.946D.990

【答案】D

【解析】分析：解决本题的关键就是要对平面直角坐标系的点按照横坐标分行，找到行与点个数的

关系，利用不等式的夹逼原则，求出2015点的横坐标.

详解：♦.•一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0,1）-（1,0）-（1,1）-（1,

2）f（2,1）-*•••,

第1行：x=02个点（共2个点）

第2行：x=l3个点x=21个点（共4个点）

第3行：x=34个点x=41个点x=51个点（共6个点）

第4行：x=65个点x—11个点X—81个点x—91个点（共8个点）

第5行：x=106个点x=l11个点x=121个点x=131个点x=141个点（共

10个点）

第6行：x=157个点x=161个点x=171个点x=181个点

x=191个点x=201个点(共12个点)

第"行：x=——"+1个点(共In个点)

2

2+4+6+8+10+…+2〃W2()15

(2+2〃)X〃+2W2015且"为正整数

得"=44,

当〃=44时：2+4+6+8+10+…+88=1980

且当〃=45时,：2+4+6+8+10+-+90=2070

1980<2015<2027

...2015在45行，

第45行：x=二"=99()46个点

"*"25

1980<2015<1980+46

.•.第2015个粒子横坐标为990

故选：D.

【点评】题目考查了数字的变化规律，题目整体较难，对于此类问题一方面要理清已知量的关系，

另一方面为了简便计算，可以适当掌握一些数列计算公式.例如等差数列的通项公式：a“=m+(n

-1)d、等差数列求和公式：5=里上3等.

2

2.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),(2,

0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0).根据这个规律探索可得，第100个

点的坐标为()

A.(14,8)B.(13,0)C.(10(),99)D.(15,14)

【答案】A

【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由1+2+3+-

+13=91,1+2+3+…+14=105,可得第91个点的坐标为(13,0),第100个点横坐标为14,继

而求得答案.

【解答】解：由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，

•.T+2+3+…+13=91,1+2+3+…+14=105,

.•.第91个点的坐标为(13,0),第100个点横坐标为14.

:在第14行点的走向为向上，

纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8；

.•.第100个点的坐标为(14,8).

故选:A.

【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目

比较典型，但是一道比较容易出借的题目.

3.赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,

如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点明、

17

。、。2、。3、…、Q在直线X+—上，顶点。1、£>2、。3、…、。〃在/轴上，则第〃个阴影

22

小正方形的面积为.

7

【答案】（§）».

【分析】设第〃个大正方形的边长为z,则第〃个阴影小正方形的边长为一■〃“，根据一次函数图

17

象上点的坐标特征即可求出直线y=-与y轴的交点坐标，进而即可求出m的值，再根据

n1

相似三角形的性质即可得出an=（|）-'«i=V5（I）"-,结合正方形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：设第"个大正方形的边长为如，则第〃个阴影小正方形的边长为手所,

177

当x=0时，y=—-AH———，

222

.7_V5V5

>•----------------Cl1H--------Cl1,

255

♦♦41=.

V«1=6Z2+—6Z2,

2

同理可得：43=—42,44=—43，。5=—44,…，

333

.•.斯=(2)"[=有(2尸，

33

.♦.第n个阴影小正方形的面积为"。，＞=[(＞了=(|产-2.

故答案为:(")2"-2.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积,

找出第"个大正方形的边长为a,,=(|)"Tm=石(|)x是解题的关键.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：y=x,作Ai(1,0)关于y=x的对称点乱，将点81向右

水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y=x的对称点82,将点Bi向右水平平移2个单位得到

点43；….请继续操作并探究：点A3的坐标是，点82014的坐标是.

【分析】根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案.

【解答】解：如图所示：点A3的坐标是：(3,2),

VB1(0,1),①(1,2),&(2,3),

•••8点横坐标比纵坐标小1,

.•.点82014的坐标是：(2013,2014).

故答案为：(3,2),(2013,2014).

5.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),我们把点P'(―y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知

点Ai的伴随点为A2,点4的伴随点为小,点A3的伴随点为4,…，这样依次得到点4,A2,A3,...A„

若点Ai的坐标为(3,1),点A2的坐标为,若点4()19的坐标为,则点Ai的坐标为(a,

h),对于任意的正整数〃，点4均在x轴上方，则a,b应满足的条件为.

【答案】(0,4),(-3,1)T<a<l且0<bV2

(分析】根据伴随点的定义，计算出A2的坐标，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律

即可求出4()19的

坐标；根据X轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可。

【详解】

的坐标为(3,1)

A>(0,4),As(-3,1),Ai(0,-2),As(3,1),

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

.,.20194-4=504.......3

AzoS的坐标为(—3,1)»

(3)•点A的坐标为(a,b)

(一匕+1,a+1),Ai(.—a,—h+2),Ai(h—1,—a+1),As(a,b),

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

•••对于任意的正整数〃，点4均在x轴上方，

.Ja+1>0J-b+2>0

•・[-4+1>0力"0

解得一0<b<2.

故答案为：(0,4)；(-3,1)；-且0V6V2

本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组

依次循环是解题的关键。

6o如图，在平面直角坐标系中，点A（0,小）、B（-1,0）,过点A作4B的垂线交x轴于点A,

过点A作的垂线交y轴于点4,过点A,作44的垂线交x轴于点As…按此规律继续作下去，直

至得到点4ns为止，则点Aans坐标为。

【答案】（-31008,0）

【解析】VA（0,小）、B（-1,0）

J.ABVAAy,

的坐标为：（3,0）,

同理可得：4的坐标为：（0,-3^3）,

A：；的坐标为：（-9,0）,

•.,2015+4=503…3

，点盘前坐标为（-31008,0）

7.如图，动点尸从（0,3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入

射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点