2021年中考人教版数学一轮复习 第6章 圆

第六章圆

第一节圆的基本性质

考点

易错自纠

易错点1未准确掌握圆的相关概念而出错

1.下列说法中，正确的个数是（A）

①直径是弦;②经过圆内一定点可以作无数条直径;③平分弦的直径垂直于弦;④过三点可以作一个圆;⑤两条弧

长度相等,它们所对的圆心角也相等;⑥到圆心距离相等的弦（非直径）有两条.

A.1个B.2个C.3个D.4个

易错点2忽略非直径的弦对应的圆周角的度数有两个而漏解

2.在半径为2的中，弦AB=2,则弦AB所对的圆周角的度数为30或150。.

方法

命题角度圆周角定理及其推论

0提分特训

1.如图,A是。0上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D是前的中点，则DC的长为（D）

A.2yf2B.V5C.2V5D.V1O

2.[2019安徽]如图,Z\ABC内接于0O,NCAB=3O°,/CBA=45-£D_LAB于点D.若00的半径为2,则CD的长

真题

考法速览

考法1垂径定理及其推论（10年6考）

考法2与圆周角有关的计算（10年4考）

考法1垂径定理及其推论

1.[2012河北,5]如图,CD是00的直径,AB是弦（不是直径）,AB,CD于点E,则下列结论正确的是(D)

C

D

A.AE>BE

B.AD=BC

C.ZD^ZAEC

2

D.AADE^ACBE

考法2与圆周角有关的计算

2.[2020河北14]有一题目：“已知:点0为aABC的外心NB0C=130°,求NA.”嘉嘉的解答为:画△ABC以

及它的外接圆。连接0BQC如图，由/BOC=2NA=13O1得/A=65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全,NA还应有

另一个不同的值.”下列判断正确的是（A）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115。

B.淇淇说的不对,NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对,NA应得50°

D.两人都不对,NA应有3个不同值

3.[2011河北16]如图，点0为优弧ACB所在圆的圆心,NA0C=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则ND=

第二节与圆有关的位置关系

考点

易错自纠

易错点1对圆的相关概念掌握不准确而出错

1.有下列说法:①圆的切线垂直于圆的半径;②三角形的外心到三边的距离相等;③垂直于半径的直线是圆的切

线;④若直线1与。0有公共点，则点0到直线1的距离小于或等于半径.其中正确的是④（填序号）.

易错点2混淆三角形的外心与内心的定义而出错

2.已知在AABC中,NC=90°,AC=4,BC=3,点0为aABC的内心很！）点O,C之间的距离为_V5_.

易错点3因考虑问题不全面而出错

3.已知00的直径为8cm,直线1上一点P到圆心0的距离0P=6cm,则直线1与00的位置关系是相切、相

交或相离.

方法

命题角度1与切线有关的证明与计算

叫分特训

1.[2020黑龙江哈尔滨]如图,AB为O0的切线点A为切点,OB交O0于点C,点D在O0上，连接AD,CD,OA,若

NADC=35°,则NAB0的度数为（B）

A.25°B.20°C.30°D.35°

2.[2020福建]如图,AB与OO相切于点B,AO交于点C,AO的延长线交O()于点l),E是RB上不与B,D重合的

点,sinA=-.

(1)求NBED的大小;

⑵若0。的半径为3,点F在AB的延长线上，且BF=3A/5,求证:DF与00相切.

⑴解:如图，连接0B.

AB与。0相切于点B,J.OB1AB.

VsinA=i.\ZA=30°ZA0B=60"ZB0D=120°.

•••点E在俞上，

ZBED--ZB01)=60°.

2

⑵证明如图，连接OF.

由⑴得0B_LAB,NB0D=I20。.

3宿

tanNBOF岩V5,二ZB0F=60",ZD0F=60°.

rOB=OD,

在△BOF与△DOF中,]/BOF=zDOF,

(OF=OF,

ABOF^ADOF,Z0DF=Z0BF=90°.

又点I)在O0上,DF与O0相切.

命题角度2三角形的内心与外心

G提分特训

3.[2020承德二模]如图，在RtAABC中,NBCA=90°,将RtAABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到RtAAB,C,

点B'在直线AC上，若BC=1,则点C和AAB'C'的外心之间的距离是

A.1B.V3-1C.2-V3D.V3

4.[2020山东济宁]如图，在AABC中，点D为AABC的内心,NA=60°,CD=2,BD=4,则ADBC的面积是(B)

A.4gB.25/3C.2D.4

5.如图，点A,B,C的横、纵坐标均是整数厕AABC外心的坐标是（5⑵.

真题

考法速览

考法1三角形的内心与外心（10年6考）

考法2切线的性质与判定（必考）

考法1三角形的内心与外心

1.[2016河北,9]如图为4X4的网格图,A,B,C,D,0均在格点上，点0是（B）

A.AACD的外心

B.AABC的外心

C.AACD的内心

2.[2015河北,6]如图,AC,BE是的直径，弦AD与BE交于点F,下列三角形中，外心不是点（）的是（B）

A.AABEB.AACFC.AABDD.AADE

A

3.[2018河北15]如图，点I为4ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将NACB平移,使其顶点与点I重合,则图中阴影部

分的周长为（B）

A.4.5B.4C.3D.2

AB

考法2切线的性质与判定

4.[2020河北22]如图，点0为AB的中点，分别延长0A到点C,0B到点D,使0C=0D.以点0为圆心，分别以0A,0C为

半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点（不与点A,B重合），连接OP并延长交大半圆于点E,连接

AE,CP.

⑴①求证:△AOE/APOC；

②写出Z1,Z2和NC三者间的数量关系,并说明理由.

⑵若OC=2OA=2,当ZC最大时直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形皿（答案保留”）.

Rn

(OA=OP,

⑴①证明:在△，、()「：和△POC中"AOE=zPOC,

(OE=OC,

/.△AOE^APOC.

②N2=N1+NC.

理由:由①知aAOE名△POC,

JZC=ZE,

.'.Z2=Z1+ZE=Z1+ZC.

(2)如图，当NC最大时与小半圆相切.

AOR

VOC=2OA=2f.'.OP=OA=L

•・・CP是小半圆的切线，

.'.OP±CP,

rosZP0C=-AZP0C=60°,

OC2

.,.ZE0D=180°-60°=120°,

5.[2017河北,23]如图,AB=16,0为AB的中点，点C在线段0B上（不与点0,B重合），将0C绕点。逆时针旋转270°

后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧，连接0P.

⑴求证:AP=BQ;

⑵当BQ=4百时，求近的长（结果保留”）;

⑶若aAPO的外心在扇形COD的内部，求0C的取值范围.

⑴证明:连接0Q.

：AP,BQ分别与电相切，

.,.0P±AP,0Q±BQ,BPZAP0=Z0QB=90o.

又OA=OB,OP=OQ,

ARtAAPO^RiABQO,

AAP=BQ.

(2)VBQ=lV3,0B=i\B=8,/OQB=90°,

.♦.sin/BOQ咨

，NB0Q=60°.

V0Q=8Xcos600=4,

・・.而的长为华黑吧等

⑶设点M为RtAAPO的外心，

则点M为0A的中点，

.\0M=4.

当点M在扇形COD的内部时,OM〈OC,

.,.4<0C<8.

6.[2013河北24]如图,ZXOAB中仆=(»=10,/人08=80°,以点0为圆心,6为半径的优弧\1N分别交OA,OB于点M,N.

⑴点P在右半弧上(NBOP是锐角)，将0P绕点0逆时针旋转80°得0P'.求证:AP=BP'.

⑵点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到0A的距离.

⑶设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出ZB0Q的度数

⑴证明:'."NA0P=NA0B+NB0P=80°+NBOP/BOP'=/POP'+NB0P=80°+ZBOP,

.,.ZA0P=ZB0P'.

XVOA=OB,OP=OP，,

•,.△AOP^ABOP".

.,.AP=BP'.

⑵如图，连接OT,过T作TII10A于点H.

•••AT与弧相切，

.../AT0=90°.

v|xOAXTH=ixz\TXOT,

BP|X1OXT1I=1X8X6,

•••TH号即为所求距离.

⑶10°,170°.

提示:当0Q10A时,aAOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点.

高分突破•微专项三角形的内心与外心

1.如图，在4ABC中,BC=6,NB=90°,/A=60",点0为AABC的外心，则点0到BC边的距离是（C）

2.如图，点F是4ABC的内心,/A=50°,连接BF.CF并延长，分别交AC,AB于点E,D,则NBFC=

A.100°B.115°C,130°D.135°

3.如图,已知点。是AABC的外心，连接A0并延长交BC于点D,若NBAD=22°,则NC的度数为

A.44°B.58°C.62°D.68°

4.如图所示是由九个相同的等边三角形拼成的图形，已知点0是一个三角形的外心，则这个三角形是

A.AABCB.AABEC.AABDD.AACE

5.如图,在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是（3,0）,（0,4）,则RtAABO的内心的坐标是

6.若一个锐角三角形ABC的三边两两不等,D是BC边上的一点,NBAD+NC=90°,则直线AD一定过4ABC的（C）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

7.AABC的顶点B,C者联直线1上,且其内心为点I.如图,固定点C,将aABC绕点C顺时针旋转,使得新三角形

A'B'C的顶点A’落在1上,且其内心为点I,.若NAVNABCXNACB,则下列说法正确的是（C）

A.IC和I'A平行,11'和1平彳丁

B.IC和I'A'平行,ir和1不平行

C.IC和人'不平行,11'和1平行

D.ic和rA*不平彳丁,11'和1不平彳了

8.如图#1/\八1^^n/^口口乃二6力08,/8=90°,点D在AC上，且AD=2,若ADEF可以绕点D自由旋转，则AABC的

外心与4DEF的外心之间的距离可以为

A.-B.5

9.如图，点I为AABC的内心，点0为aABC的外心，若NBIC=140。，则NBOC二⑹)°.

10.如图，在RtAABC中,NACB=90°,在斜边AB上分别截取AD=AC,BE=BC.若DE=6,点0是4CDE的外心，则点0到

△ABC的三边的距离之和是9.

11.如图,。是AABC的外心」是AABC的内心，连接AT并延长，分别交BC,00于点D,E,连接BE.

⑴求证:EB二EI；

⑵若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的长.

⑴证明:连接BI/ZI是△ABC的内心，

・・・AE平分/CAB,B1平分/ABC,

・,.ZBAE=ZCAE,ZABI=ZCBT.

丁ZBTE=ZBAE+ZABLZTBE=ZIBD+ZEBD,ZCBE=ZCAEr

・•・ZBTE=ZEBI,

AEB=EI.

⑵连接EC.

•・・ZBAE=ZCAE,

:.BE=EC,

AEC=BE=2.

ZADB=ZCDE,ZBAD=ZDCE,

.'.△ADB^ACDE,

.BDADAB4

*,DEDCEC2

设DE二m£D=n,则BD=2m,AD=2n.

同理可证△ADCs^BDE,

.ADAC

•■BDBE'

.2n_3

**2m2'

An:m=3:2.

设n=3k,m=2k,

•・,ZCED=ZAECrZECD=ZBAE=ZCAE,

AAECD^AEAC,/.^黑

AEC2=ED•EA,

4=m•(m+2n),

・・・4=2k・(2k+6k),

解得上;或片M舍去)，

.,.DE=1,AD=3,

.,.AE=4.

又,；EI=BE=2,

/.AI=AE-EI=2.

12.在AABC中,NBAC=90。，NB=60。，AB=2.AD±BC于点D.E为边BC上一点(不与点B,C重合)，且

AE_LEF,NEAF=NB,如图.

⑴填空:AC=2旧，NF=30。.

⑵若BD=DE,求证:Z\ABC峪aEAF.

⑶当4EAF的内心在AABC的外部时直接写出AE的范围.

A

⑴2b30"

解法提示:；/BAC=90°,/B=60°,AB=2,；.AC=2VJ.

•.•AE_LEF,/EAF=NB=6(T,

.,.ZF=90°-ZEAF=90°-60°=30°.

⑵证明：：AD_LBC,BD=DE,

.,.AB=AE.

又NEAF=NB,NAEF=90°=ZBAC,

.,.△ABC^AEAF.

(3)2<AE<2V3.

解法提示:设aEAF的内心为点连接EN.

当点N恰好落在AC上时,如图.

•••点N是4EAF的内心，

AAN平分/EAF,EN平分NAEF,

/.ZEAC=iZEAF=ix60°=30°.

22

VZBAC=90o,

ZBAE=ZBAC-ZEAC=90°-30°=60°,

又.：/B=60。，

.,.△ABE是等边三角形，

.\AE=AB=2.

XVE为BC上的一点,不与点B,C重合,AC=2V5,

.,.当AEAF的内心在△”(,的外部时,2<AE〈2V5.

第三节弧长、扇形面积的相关计算

考点

易错自纠

易错点混淆弧长公式和扇形面积公式而出错

L已知一个扇形的半径为6,弧长为2n，则这个扇形的圆心角的度数为32^.

2.已知。0的半径0A=6,点B在。0上,且扇形0AB的面积为12B，则a所对的圆周角的度数是60。.

方法

命题角度1弧长的计算

G提分特训

1.如图，在边长为6的菱形ABCD中,分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径,在菱形内作四条圆弧，则图中阴

影部分的周长是」•（结果保留”）

2.如图，在7X7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过格点（网格线的交点）A,B,C,则弧AC的

长为_V5Jt.

命题角度2与扇形面积有关的计算

口提分特训

3.[2019四川南充]如图，在半径为6的00中，点A,B,C都在00上,四边形0ABC是平行四边形，则图中阴影部分

的面积为（A）

A.6"B.3V3nC.2V3nD.2n

4.[2019吉林]如图,在扇形OAB中,NA0B=90°.D,E分别是半径OA,OB上的点，以OD,OE为邻边的。ODCE的顶点C

在如上.若0D=8,0E=6,则阴影部分图形的面积是（结果保留n）.

B,

真题

考法弧长、扇形面积的计算（10年7考）

1.[2013河北14]如图,AB是00的直径，弦CD_LAB,NC=30°,CD=2g.贝！|S阴影=(D)

A..nBn.2cnC.—2^3DC.—2n

33

2.[2014河北19]如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S扇形=4c£

高分突破•微专项10阴影部分面积的计算

口强化训练

1.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心、边长为半径画弧彳导到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,则

莱洛三角形的面积（即阴影部分的面积）为（D）

A.n+V3B.it-^/3

C.2n-V3D.2n-2^3

2.如图是一张扇形纸片OAC,NA0C=120。，0A=8,连接AB,BC,A。若0A=AB,则图中阴影部分的面积为—詈

3.如图，在RtAABC中,NACB=90°,AC=BC=2,将RtAABC绕点A逆时针旋转30°后得到RtZXADE,点B经过的路

径为弧BD,则图中阴影部分的面积为

4.如图,已知点B,E是以AD为直径的半圆0的三等分点，弧BE的长为gn，过点B作BCLAE,交AE的延长线于点

C,则图中阴影部分的面积为一曝g_.

5.如图,在扇形AOB中,/A0B=120。，连接AB以0A为直径作半圆C交AB于点D,若0A=6,则图中阻影部分的面积

6.如图，在正方形ABCD中,AD=3,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段EB,将线段AC绕点C逆时针旋转90°

得到线段FC',连接EF,BF,则图中阴影部分的面积是土.

7.如图⑴，扇形纸片的圆心角为90°泮径为6.将这张扇形纸片折叠，如图⑵所示“点A的对应点A'与点()恰好

重合寸斤痕为CD,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为6n竽.

-------2--

8.如图,正方形ABCD内接于。0,。0的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的

延长线于点F,则图中阴影部分的面积是4n-4.

9.如图,在扇形A0D中,OA=6,NAOD=90°.分别以点A,D为圆心、OD的长为半径画弧，分别交弧AD于点C,B,则图

中阻影部分的面积是15.

10.如图,正方形ABCD的边AB=2,分别以A,B为圆心、AB的长为半径画弧，则图中两个阴影部分的面积之差的绝

对值是2n-4.

11.[2019湖北武汉]已知AB是。。的直径,AM和BN是。0的两条切线,DC与00相切于点E,分别交AM,BN于D,C

两点

⑴如图⑴,求证:ABJAD•BC.

⑵如图⑵，连接0E并延长，交AM于点F,连接CI'.若/ADE=2N0FC,AD=l,求图中阴影部分的面积.

⑴方法一：

证明:如图⑴，过点D作DH±BC,1I为垂足.

•.,AD,BC,CI)是CO的切线

0A±AD,OB±BC,AD=ED,BC=EC,

四边形ABHD是矩形，

,,.DH=AB,

在RtACDHtf.DH^CD-CH2,

.,.Atf=(AD+BC)：-(BC-ADy,；.AB2=4AD•BC.

方法二：

证明:如图⑴，连接OD,OC,OE.

•••AD,BC£D是Q0的切线，

.'.0A±AD,OB±BC,OE±CD,AD=ED,BC=EC,/ODE=|ZADC,ZOCE=|ZBCD,

AD//BC,/.ZODE+ZOCE|(NADONBCD)=90°.

又/ODE+ND0E=90",/DOE=/OCE.

又,.•/0ED=/CE0=90°/.△ODEsacOE,

,,DE5E,A()EDE'lr，-'-40E2=4AD*BC,

.-.AB2=4AD•BC.

⑵方法一：如图⑵，连接OC,OD,易知NADE=NBOE.

N

图⑵

,/ZADE=2Z0FC,ZB0E=2ZC0F,AZCOF=ZOFC,

OC=FC,ACOF是等腰三角形.

；OE_LCD,.*.直线Cl)垂直平分OF,.\DO=DF,

ZA0D=ZD0F=Z0FD=300,

.,.ZB0E=120o,ZB0C=60°,OA=^^=V3,ABC=OB•tan600=3,

/.S阴影」2s「““-S扇形，一2X2X3XV3-120n^)2"3V3”.

2360

方法二:如图(2),连接OC,OD,VZADE=2ZOFC,

:.ZODE=ZOFC,

又/OED=/CEF,，AODE^ACFE,

.•播”,.\0E•EI-DE•EC.

OEEC

由(1)知OE:=DE•EC,.\OE=EF,

二直线CD垂直平分OF,DO=DF,；.ZAOD=ZD0F=Z0FD=30°,

AZB0E=120,ZB0C=607,0A=-^-=V3,

tan300

ABC=OB-tan60°=3,

S阻影=2S；山-S扇形，，一2X：X3XV3-120^2-3V3n.

参考答案

第一节圆的基本性质

Q考点帮

【易错自纠】

1.A经过圆心的弦叫做直径，故①中说法正确;经过圆心可以作无数条直径，经过圆内除圆心外的其他点只能作

一条直径，故②中说法错误;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故③中说法错误;过不在同一条直线上的三点可

以作一个圆，故④中说法错误;在同圆或等圆中，两条弧相等，它们所对的圆心角也相等，故⑤中说法错误;到圆心

距离相等的弦(非直径)有无数条，故⑥中说法错误.故选A.

2.30°或150°如图，连接OAQB厕OA=OB=AB,.\A0AB是等边三角形,，NA0B=60°.分两种情况讨论:①弦AB

在其左侧所对的圆周角的度数为30°；②弦AB在其右侧所对的圆周角的度数为150。.

方法

例B

VAB=CD,ZA0B=40°,AZC0D=ZA0B=40°.VZA0B+ZB0C+ZC0D=180o,AZB0C=100°ZBPC=|ZB0C=50

°.故选B.

提分特训

1.DYBC是OO的直径,.•.NBAC=ND=90°.VAC=2,AB=4,/.BC=VAB24-AC2=V42+22=2>/5.fi^S55]DC=Bb,

2.ADC=BD,DC=E|=^=V10.

3.V2如图，连接OB,OC,贝!|NB0C=2NA=60°.又•.•0B=0C,，aB0C是等边三角形,，BC=0B=2.又：NCDB=90。,

NCBD=45",；.CD=BC•sin45°=2X^=V2.

真题

1.D♦.七口是直径,,也不是直径,且。口_1人13,；.八£=1^,故人中的结论不正确;连接A0出0（如图）,可知/人（》〉90°,

ZB0E<90°ZAOD>ZBOE,.,.AD>BC,KB中的结论不正确;易知NA0E=2ND,：ZAEC是△AEO的外角，

二ZAEOZAOE,；.NDK^NAEC,故C中的结论不正确;：ZBAD=ZC,ZD=ZABC,.,.ZkADEs/XCBE,故D中的结论

正确.

2.A如图,当外心0在AABC的外部，即点A在劣弧BC上时,在优弧BC上取一点D（异于点B,C）,连接BD,CD,则

N吟NB0C=65°,所以NA=180--ND=115°.故选A.

3.27°因为NA0C=108°,所以NABC=54°.因为NABC是4BCD的外角，所以NABC=ZD+ZBCD.因为BC=BD,

所以/D=NBCD,所以NDW/ABC=1X54°=27°.

第二节与圆有关的位置关系

考点

【易错自纠】

1.@圆的切线垂直于过切点的半径，故①中说法错误;三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故②中说法

错误;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故③中说法错误;若直线1与。（）有公共点,则直线

1与。0相交或相切，故点0到直线1的距离小于或等于半径故④中说法正确.

2.V2如图，根据勾股定理可得AB=VF不孕=5.过点0分别作AC,BC,AB的垂线，垂足分别为点D,E,F,连接

OA,OB,OC.：点0jfcjAABC的内心,.•.OD=OE=OF.易得AD=AF,CD=CE,BE=BF,四边形ODCE是正方形.设OD=x,JI!!!

AF=AD=4-x,BF=BE=3-x,.14-x+3-x=5,解得x=l,.,.0C=V2.

3.相切、相交或相离直线1与。0的位置关系分三种情况，如图所示.

方法

例1略例2略

例：3B连接OA,OB,OD.。是△ABC的外心,；.OA=OB=OC.四边形OCDE是正方形,OA=OB=OC=OE,0是

△ABE的外心.,.•OA=OE#OD,...O不是△不D的外心，故选B.

■一提分特训

1.BVZADC=35°.AZ0=2ZADC=70°.TAB是0()的切线,N0AB=90°ZAB0=90°-Z0=20°.

2.略

3.B由题意知NBAC=30。，BC=1,...AC=VXAB'=AB=2.设AB'的中点是D.：•直角三角形的外心是其斜边的中

点,.•.点D是△AB'C'的外心.：AD=DB'=|AB'=1,CD=AC-AD=V3-1.故选B.

4.B如图，过点B作BE_LCD,垂足为点E.•.•点D是AABC的内心,，BD,CD分别平分NABC,NACB,，NBDC=

180°-i(ZABC+ZACB)=180<>-1(180°-ZA)=180<>-60°=120°.在RtZ\BDE中,NBDE=60°,BD=4,，BEqBD=

2W.SA°一2XCDXBE』2X2X2仔2Vs.

5.(5,2)如图，分别作线段BC,AB的垂直平分线，两线交于点D,则点D是AABC外接圆的圆心，其坐标为(5,2).

l.B连接OA,OB,OC,01),设每个小正方形边长为1.由勾股定理彳导0A=0B=0C=VP10=V5,OD=扬*夺=2或，故

点。到AABC三个顶点的距离相等，则点0是AABC的外心.

2.B•••点F不在O0上,O0不是△ACF的外接圆，即点0不是△ACF的外》

3.B如图，连接AI,BI.•.•点I是AABC的内心,,ZCAI=ZIAD.根据平移的性质，可知DI〃AC,:.ZAID=ZCAI,

.­.ZA1D=Z1AD,.,.ID=AD.同理可得IE=BE,故阴影部分的周长为［D+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.

4'6.略

高分突破•微专项9

1.C在△ABC中,BC=6,NB=90。，NA=60。，.\NC=30。，AC=4次.过点0作OD_LBC于点D,则N0DC=90。.•点0

为AABC的外心,.•.OCWACMZVI•••NC=30°,；.0D=V5,即点。到BC边的距离是国.

2.BZA=50"/ABC+NACB=130°.I,点F是△ABC的内心,；.FB,FC分别是NABC,NACB的平分线，

ZFBC=iZABC,ZFCB=|ZACB,.\ZBFC=180°-(ZFBC+ZFCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=115°.古嫡B.

3.D以点0为圆心、0A长为半径画圆，如图,点0是4ABC的外心,.•.点B,C均在00上.延长AD交。。于点

E,连接CE厕NACE=90°,ZBCE=ZBAD=22"ZACB=ZACE-ZBCE=90°-22°=68°.故选1).

4.C由外心的定义及等边三角形的性质，易知点0是aABD的外心，故选C.

5.C设aOAB的内切圆的半径为R.VA(3,0),B(0,4),A0A=3,0B=4.在RtAOAB中，由勾股定理，得

AB=VOA2+OB2=5,，RK(OA+OB-AB)=1,故RtAOAB的内心的坐标为(1,1),故选C.

6.C如图，过点B作AB的垂线，交AD的延长线于点E,则NBAD+NE=90°.I,NC+NBAD=90°,二NC=NE,...点E

在AABC的夕展圆上.I,NABE=90°,AE是AABC的外接圆的直径直线AD一定过△ABC的外心.故选C.

7.C如图，过点1作IDLBA'于点D,过点I'作I'FLBA'于点F,则ID〃I'F.VAABC的内心为点1,旋转后得至I」

的AA'B'C的内心为点I'ID=『F/ICD^NACBZI'A'C=|ZB'A'C,：.四边形IDFI'是矩

形,...11'〃1.YZA<ZABC<ZACB,/.NB'A'C<NCB'A'<NA'CB',，NICD>NI'A'C,IC和1'A'不平行.古姆C.

8.B由勾股定理，可得AC=VAB2+BC2=1O.设点P,Q分别为△ABC,4FDE的外心，则点P为AC的中点，点Q为EF

的中点，连接PQ.-/Rt△ABC^RtAFDE,AD=2,PD=3,DQ=1EF=5.如图⑴，当点Q在线段CA的延长线上时,PQ取得

最大值，为PD+DQ=8.如图⑵，当点Q在线段AC上时,PQ取得最小值，为l)Q-PD=2.故2WPQW8.故选B.

9.160I,点I为AABC的内心,.•.NICB+NIBC=1(NABC+NACB)a：NBIC=140°,ZICB+ZIBC+ZBIC=180°,

.,.1(ZABC+ZACB)=180°-140°=40°ZABC+ZACB=80°ZA=180°-(ZABC+ZACB)=100°.作AABC的外

接圆如图所示，在BC下方的上取一点D,连接BD£D,则ND=180°-NA=80°.I.点0为aABC的外心，

/.ZB0C=2ZD=160o.

1o.9由题意彳导点0是EC,CD的垂直平分线的交点.•••AD=AC,BE=BC,EC的垂直平分线经过点B且平分

ZABC.CD的垂直平分线经过点A且平分NBAC,...点0是AABC的内心.设△ABC内切圆的半径为r,则

rg(AC+BC-AB)g(AD+BE-AB)gDE=3,...点0到aABC的三边的距离之和是3r=9.

11.略12.略

第三节弧长、扇形面积的相关计算

考点

【易错自纠】

1.60°设这个扇形的圆心角的度数为n。，根据弧长公式可得端=2or，解得n=60.

2.60°设姮所对的圆心角的度数为n。，根据扇形面积公式可得嗤生二12“，解得n=120,所以“所对的圆周

角的度数是60°.

方法

例1C在AABC中,NACB=90°,NA=30°,AB=4,.\BCgxAB=2,NB=60°•.比的长为黑X2n.故选C.

例2DZC=45",；.ZA0B=90".；0B=0A=2,S阴断S扇形，xS口X2X2=n-2.搬D.

丽特训

1.6”图中阴影部分的周长是企优圆用的长度之和，易得这四条弧所在的扇形刚好围成T半径为3的

圆,所以图中阴影部分的周长是2X3n=6”.

2.V5n如图，连接BC,0N,易得0M垂直平分AB,0N垂直平分BC,则点0为弧AC所在圆的圆心.连接AC,A0,0C.

3.VAC2=62+22=40,0A2+0C2=42+22+42+22=40,:.AC2=OA2+OC2,AZA0C=90°.又V0A=0C=2>/5,：.弧AC的长为

3.A连接OB.,/四边形OABC为平行四边形,OA=OC,.I四边形OABC为菱形，:.OA=AB,OC//AB,/.SAC/SaatB,:.S阴

影=S弓形.\B+SACM=S引/B+SA0AB=S扇形MB.•••OA=OB=AB,...Z\OAB是等边三角形,...NAOtMiO。，；.S阴影=S扇形

笔生=6”,故选A.

4.25”-48四边形ODCE是平行四边形,NA0B=90°四边形ODCE是女,.,.CD=0E=6.连接0&在RtAOCD

22902

4',OC=VOD+CD=10,S阴影=S扇形做-S^B（TO=^0-6X8=25n-48.

360

真题

1.D如图，设AB与CD相交于点E.•.•CDJ_AB,CD=2V5,；.NAEC=N0ED=90°,CE=DE=V3.VZC=30°,AZAOD=

60°.在RtAODEcp,OD=-^—=^2,.,.S扇形”“A。7rx在^ACE和aODE中,NAEC=NOED,CE=DE,NC

sinZ.EODXz3603

二NODE二

300i*•△ACE^△ODE,S阴影二S扇形A3）一§.

2.4根据题意，可知扇形的弧长为8-2-2=4(而,所以S扇形二今r=jX4X2=4(cm2).

高分突破-微专项10

例13--过点D作D1I1AB于点II.在RtAADIl中,NA=30°用D=2,，加=为口上X2=1.•.•AB=4,.\BE=AB-AE=2,

--------322

SOAB（：I）=AB•DH=4X1-4,SACEB=~EB•DH^X2X1=1,S扇形网厂，北:‘一'•'SABC（»-S△CEB_S扇形DRE=4-1-^=3-三.

例2:-等连接AC,OC「・•点C是秘勺三等分点NAOB=90°,・,・NB0C=30°,NAOC=60°.,・・0C=3,

SAACI）=1X|X易知△OAC是等边三角形,/.SAAOC=^Xf><3'=^^,S阴影:SAAU）+（S扇形OAC-

,60XITX3；973.3IT_9V3

4,28

例3C如图，连接OA,OB,OC,则OA-OB-OC,AS弓形°产S弓形（由二S弓形1・S阴膨部分二$乙0乂+5/\«铝.作点0关于直线AB

的对称点0',连接00',交AB于点D,则

22

0A=00'=2,0D=100'=1,00'±AB,AAD-JoA-OD=V3,/.AB=2AD=2V3,.,.SAMB=|xABX0D=|x2V3X1=V3.同理，

SAOAC=V3.故S阴影部分:2代，故选C.

例4子-12如图，用Si,&分别表示两个阴影部分的面积，点0为AI）的中点分析题意可知,S半圆计S扇形近

Si+S产S赚厕即攻22页+殁二Si+Sz=3X4,整理可得S2-S尸12-".:12〈生,06=--12.

2360444

■一强化训练

1.D根据莱洛三角形的定义，可知S阴影=3S扇形配-2SA*3乂等<2xfx2-2“-2百，故选D.

36U4

2.等连接OB,：OA=AB,OA=OB,.\OA=OB=AB".Z\AOB是等边三角形,...NA0B=NAB0=60°.•.•NA0C=12（T,

ZBOC=120°-600=60°,ZAB0=ZB0C,；.AB//0C,AS&K=S△幽,二S阴影部分=$扇形<“广60：：y37.

3603

3.—；NACB=90°,AC=BC=2,；.AB=2VXNCAB=NCBA=45°,；.S扇形,丽=^^^=