2021年中考人教版数学二轮复习 题型5 函数的实际应用

题型五函数的实际应用

®类型1一次函数的实际应用

1.[2020石家庄四区联考]甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品，在同一促销期间，两

家商场都让利酬宾，让利方式如下:甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购

物中超过200元的部分按原价的7.5折出售.某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家

购物,设该顾客在一次购物中所购商品的原价为x(x>0)元，在甲商场购物所花费用为八元，在乙

商场购物所花费用为丫2元.

⑴分别写出外又关于x的函数解析式.

⑵该顾客应如何选择这两家商场购物会更省钱?并说明理由.

解:⑴1关于X的函数解析式为y.=O.85x.

当x>200时,y2=200+(x-200)XO.75=0.75x+50,

当0〈xW200时,y?=x.

,,f0.75x+50(x>200),

故y，(x(0<x<200).

⑵①当0<xW200时,0.85x<x,所以去甲商场购物更省钱.

②当x>200时，由y。外,得0.85x>0.75x+50,解得x>500,

故当x>500时，到乙商场购物会更省钱；

由yi=y彳导o.85x=0.75X+50,解得x=500,

故当x=500时,到两家商场购物花费一样；

由y£y%得o.85x<0,75X+50,解得x<500,

故当200<x<500时，到甲商场购物会更省钱.

综上所述，当x>500时，到乙商场购物会更省钱;当x=500时,到两家商场购物花费一样;当

x<500时，到甲商场购物会更省钱.

2.如图⑴，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水,28s时注满

水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图⑵所示.

(1)正方体铁块的棱长为10cm；

⑵求线段AB的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

⑶如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满，请直接写出t的值.

解:⑴10

⑵设直线AB的函数解析式为y=kx+b.

•••直线AB经过A(12,10),8(28,20),

k=

,C12k+b=10,^a(i-

Wfe

,,(28k+b=20,|b=5

故线段AB的解析式为y4x+](12WxW28).

oN

⑶t=4.

解法提示:：28T2=16(s),

•••水面超过正方体铁块后，水面上升10cm,所用时间为16s.

...前12s由于正方体铁块的存在，水面上升速度加快，时间减少了4s,

..•将正方体铁块取出,再经过4s恰好将此水槽注满.

3.[2020湖北咸宁]5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课.为切实做好疫情际空工作，

开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生.已知每盒口罩

有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元.用1200

元购买口罩数量(单位:盒)与用300元购买水银体温计数量(单位:盒)相同.

⑴求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元.

⑵若给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买，设购买口

罩m盒(m为正整数)，则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套?请用含m的代数式表示.

⑶在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按⑵

中的配套方案购买,共支付w元，求w关于m的函数关系式.若该校九年级有900名学生，需要

购买口罩和水银体温计各多少盒?所需总费用为多少元？

解：(1)设每盒口罩x元，则每盒水银体温计(x-150)元，

根据题意得詈=瑞，

解得x=200.

经检验,x=200是原方程的解.

；.xT50=200-150=50.

答:每盒口罩200元，每盒水银体温计50元.

⑵设购买n盒水银体温计刚好与m盒口罩配套，

则100m=10nX2,

解得n=5m.

答:购买水银体温计5nl盒能和口罩刚好配套.

⑶若wW1800,则w=200m+50X5m=450m,

即450mWl80(),解得mW4.

当m>4时，则w=l800+0.8(450m-l800)=360m+360.

份,f450m(0<m<4),

»上'(360m+360(m>4).

900名学生需口罩900X2=1800(只)，

900名学生需水银体温计900X1=900(支)，

则m=18004-100=18,n=5m=90.

,.,18>4,

.*360X18+360=6840.

答:需要购买口罩18盒，水银体温计90盒,所需总费用为6840元.

4.[2020张家口桥东区一模]在同f笔直的马路上依次有甲、乙、丙三个小区，经公交公司

调查发现，三个小区之间的距离及小区平均每天的乘车人数如图所示.公交公司计划在三个

小区之间设置一个公交站点，让三个小区的全部乘客到公交站点的路程总和最小.若公交站

离甲小区xm(0WxWl000),三个小区的全部乘客到公交站点的路程总和为ym.

⑴若公交站点设在甲、乙两小区之间(包含甲、乙)，求y与x的函数关系式(不写x的取值范

围).

⑵根据公交公司的调查数据，请你运用数学知识帮助公交公司进行决策，公交站点应设置在

什么位置.

⑶甲小区二期建成后，每天乘车人数将有所增加，若增加的人数使公交公司决定把公交站点

设置在甲、乙两小区之间，请直接写出甲小区平均每天乘车人数至少增加多少人.

甲400in乙MX)in丙

•-----------•-----------------•

平均每天的乘车平均每天的乘车平均每天的乘车

人数为20人人数为70人人数为60人

解：(l)y=20Xx+70X(400-x)+60X(1000-x)

=-110x+88000.

(2)①当0〈xW400时,y=-110x+88000.

V-110<0,

，y随x的增大而减小，

.,.当x=400时,y有最小值，最小值为T10X400+88000=44000.

②当400<x〈l000时，

y=20Xx+70X(x-400)+60X(1000-x)

=30x+32000.

V30>0,

；.y随x的增大而增大，

此时y的值大于44000.

综上所述，当xMOO时，三个小区的全部乘客到公交站点路程总和最小，即公交站点应设置在乙

小区.

⑶甲小区平均每天乘车人数至少增加no人.

解法提示:设甲小区平均每天乘车人数增加m人.

根据题意得,y=(20+m)x+70X(400x)+60X(1OOO-x)=(m-110)x+88000.

当m=l1()时，无论x取何值,y的值始终为88000.

当m>l10时,mT10>0,

；.y随x的增大而增大，当x=()时,y取最小值.

当m<110时,随x的增大而减小，与题意不符.

综上所述,甲小区平均每天乘车人数至少增加110人.

⑥类型2二次函数的实际应用

5.[2020山东滨州]某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克,

则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10

千克.

⑴当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

⑵当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元？

⑶当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大？

解：(1)当售价为55元/千克时,每月销售量为500-10X(55-50)=500-50=450(千克).

⑵设每千克水果售价为x元，由题意，

得(x-40)[500T0(x-50)]=8750,

即-10x41400X-40000=8750,

整理彳导xJ140x=-4875,

配方彳导(X-70)2=4900-4875,

解得xi=65,xz=75.

当月利润为8750元时，每千克水果售价为65元或75元.

⑶设月利润为y元，每千克水果售价为x元，

由题意彳导y=(x-40)[500-10(x-50)],

BPy=-10x2+l400x-40000(40^x^100),

配方彳导y=-10(x-70)2+9000,

v-l0<0,.\当x=70时,y有最大值，

.•.当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大.

6.[2020石家庄十八县大联考]某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元,若销售

价为60元，每天可售出20件.经市场调查发现,如果每件童装每降价1元，那么平均可多售出2

件.设当每件童装降价x(x>0)元时，平均每天可盈利y元.

⑴写出y与x的函数关系式.

⑵当该专卖店每件童装降价多少元时,平均每天盈利400元？

⑶该专卖店想要平均每天盈利600元，可能吗?请说明理由.

解:⑴根据题意得,y与x的函数关系式为y=(20+2x)(60-40-x)=-2x3+20x+400.

(2)当y=400时,400=-2X2+20X+400,

解得Xi=10,X2=0(不合题意，舍去)，

故当该专卖店每件童装降价10元时,平均每天盈利400元.

(3)该专卖店不可能平均每天盈利600元.

理由:当y=600时,600=-2X2+20X+400,

整理彳导x?T0x+100=0.

A=(-10)2-4XIX100=-300<0,

该方程没有实数根，

即该专卖店不可能平均每天盈利600元.

7.[2019广西梧州]我市某超市销售一种文具,进价为5元/件，售价为6元/件时,当天的销售量

为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天售价统一

为x元/件(x26,且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元.

⑴求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

⑵要使当天销售利润不低于240元，求当天售价所在的范围；

⑶已知每件文具的利润不超过进价的80%要想当天获得的利润最大，每件文具的售价应定为

多少元?并求出这个最大利润.

解：(1)厂(x-5)(100-—X5)—10x"+21Ox-800,

故y与x之间的函数关系式为y=-10xJ+210x-800.

⑵要使当天销售利润不低于240元厕需y2240.

令y-240,^#-10X2+210x-800=240,

解得XI=8,X2=13.

..抛物线开口向下，

又y2240,

故当天售价所在的范围为8WxW13.

⑶♦.•每件文具的利润不超过进价的80%,

解得xW9,

•\6WxW9.

由⑴得y=-10X2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.

••・抛物线的对称轴为直线x=10.5,且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大，

.•.当x=9时,y取最大值，此时y=-10(9-10.5)2+302.5=280.

故每件文具的售价定为9元时,当天获得的利润最大，最大利润为280元.

8J2020唐山路北区二模]某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷

水头，喷出的水柱为抛物线形,在距水池中心3米处达到最高，高度为5米,且各方向喷出的水柱

恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平线为x轴,喷水池中心为原点建立平面

直角坐标系.

⑴求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.

⑵王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水,为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站

立时必须在离水池中心多少米以内？

⑶经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池

的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请

探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.

解:⑴设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3『+5(aW0).

将(8,0)代入y=a(x-3)」+回得25a+5=0,解得a=-1.

故水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为yj5(x-3)'+5(0〈X〈8).

⑵当y=1.8时,q(x-3)-+5=l.8,

解得X尸-](不合题意,舍去)出尸7,

故为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.

⑶当x=0B^,y-1(x-3)-'+5=y.

设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为方学+bx

•••该函数图象过点(16,0),

,0.X6+16b+?

解得b=3,

•.•改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-ix2+3x+^.

•.?=_9+3*+胃小与嚼

扩建改造后喷水池水柱的最大高度为鬻米.

9」2020湖北黄冈］网络销售已经成为一种热门的销售方式.为了减少农产品的库存，我市市长

亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性，直播时,板栗公

司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售

量y(kg)与销售价x(元/kg)满足关系式:y=T00x+5000.经销售发现，销售价不低于成本价格且

不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元.设板栗公司销售

该板栗的日获利为北(元).

⑴请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式.

⑵当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元？

⑶当000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a〈4)的相关费用，若此时日获利的

最大值为42100元，求a的值

解:⑴当y24000,BP-100x+500024000时,xW10,

.•.当6WxW10时押=(x-6+l)(T00x+5000)-2000=-100x2+5500x-27000.

当10<xW30时,W=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-32000,

.J-lOOx2+5500x-27000(6<x<10),

••A

1-100x2+56()ox-32000(10<x<30).

⑵当6WxW10时,W=T00X45500x-27000,

550055

..•对称轴为直线x=-

2x(-100)2

.,.当x=10时用最大=5X4000-2000=18000(元).

当10<xW30时押=-100x2+5600x-32000,

对称轴为直线x-

：.当x=28时,W最大=22X2200-2000=46400阮).

V46400>18000,

.•.当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，且最大利润为46400元.

(3)740000>18000,

二10〈xW30,贝[]W=-100X2+5600x-32000.

令4=40000,则-100x2+5600X-32000=40000,

解得xi=20,x?=36(舍去).

.•.当W240000时,20WxW30.

设在网络平台收取相关费用后，日获利为W'(元)，则w=(x-6-a)(-100x+5000)-2000=-100x2+(5

600+100a)x-32000-5000a.

•••对称轴为直线5600+100a_2g+la

Va<4,

,

..28+ia<30/

2，

.••当x=28+：a时,『最大-42100元，

(28+ia-6-a)[-100(28+ia)+5000]-2000=42100,

整理得a-88a+172=0,

解得ai=2,a2=86.

又：a〈4,

.,.a=2.

10.[2020浙江绍兴]如图(1》排球场长为18m,宽为9m,网高为2.24m.队员站在底线0点处

发球,球从点0的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A

处时,高度为2.88m,即BA=2.88m.这时水平距离OB=7叫以直线OB为x轴，直线0C为y轴，

建立平面直角坐标系，如图(2).

⑴若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关

系式(不必写出x的取值范围)，并判断这次发球能否过网，是否出界.

⑵若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图⑴，点P距底线1m、左边线0.5m),

问发球点0在底线上的哪个位置.(参考数据:迎取1.4)

解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-7)2+2.88,

将x=0,y=l.9代入，解得a=总，

故抛物线的表达式为y=-^(x7),i2.88.

当x=9时，尸卷(9-7)，+2.88=2.8>2.24,

当x=18时,y=-*8-7)+2.88=0.46>0,

故这次发球能过网，但会出界.

⑵如图，过点P作底线的平行线，过点()作边线的平行线，两平行线交于点Q.

在RtZ\OPQ中,0Q=18T=17,

当y=0时，抵（x-7f+2.88=0,

解得Xi=19,xz=-5（舍去），

.\OP=19.

又0Q=17,

Z.PQ=J192-172—6企-8.4.

V9-8.4-0.5=0.1,

..•发球点（）在底线上且距右边线0.1米处.

11.[2020贵州贵阳]2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门

为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累

计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9~15表示9<x^l5）

时间

01234567899~15

X/分钟

人数

0170320450560650720770800810810

y/人

⑴根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求

出y与x之间的函数关系式.

⑵如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生

排队测量体温，求排队人数最多时有多少人.全部考生都完成体温检测需要多少时间？

⑶在⑵的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几

个检测点？

解：（1）根据表中数据的变化趋势可知，

①当04W9时,y是关于x的二次函数.

•••当x=0时,y=0,

二次函数的关系式可设为y=ax;:+bx.

当x=l时,y=170;当x=3时,y=450.

将它们分别代入关系式相喘二羽.解得1：二款

，二次函数的关系式为y=-10x2+180x.

将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足.

②当9cxW15时,y=810.

二y与x之间的函数关系式为空j*-9），

⑵设第x分钟时的排队人数是W,

①当0WxW9时,W=y-40x=T0x2+140x=T0（x-7『+490,

当x=7时用有最大值，最大值为490.

②当9<xW15时,W=jr-40x=810-40x,

V-40<0（

AW随x的增大而减小，

.•.210WW<450,

故排队人数最多时有490人.

要全部考生都完成体温检测，即排队人数为0,

；.W=810-40x=0,解得x=20.25,

综上所述，排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.

⑶设从一开始就应该增加m个检测点，

根据题意彳导12X20（m+2）>810,

解得m2]

O

Vn)是整数，

，一开始就应该至少增加2个检测点.

12.[2020浙江台州]用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图(1)).

科学原理:如图⑵，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在与水面竖

直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔

的水平距离)s(单位:cm)关于h的关系式为s2=4h(H-h).

应用思考:现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶作相关研究,水瓶直立地面，通过连续注水保证

它始终盛满水，在与水面竖直距离hcm处开一个小孔.

⑴写出一与h的关系式，并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少.

⑵在侧面开两个小孔，这两个小孔与水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,

求a,b之间的关系式.

⑶如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求垫高的高度及取最大射程时

小孔与水面的竖直距离.

解:⑴s：'=4h(H-h),当H=200^,s2=4h(2O-h)=-4(h-lO)2+4OO,

...当h=10时,s：'最大，最大值为400,即s的最大值为20.

故当h=10时，射程s有最大值，最大射程是20cm.

⑵根据题意得4a(20-a)=4b(20-b),

20a-a=20b-b2,a2-b2=20a-20b,

(a+b)(a-b)=20(a-b),

:.(a_b)(a+b_20)=0,

a-b=0或a+b-20=0,

,*.a=b或a+b=20.

2

⑶设垫高的高度为叫贝！1s=4h(20+m-h)=-4(h-M)-+(20+ni)；

...当晨誓时,s“,=20+m=20+16,

，“尸16,此时11汽218.

故垫高的高度为16cm,取最大射程时小孑一水面的竖直距离为18cm.

@类型3两种函数相结合的实际应用

13.[2020四川成都]在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一

个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件才以采取

线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/

件12Wx<24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：

x/阮/

1213141516

件)

y/件2；0WOoio900800

⑴求y与x的函数关系式.

⑵若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,

线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.

解：(1)设y与X的函数关系式为y=kx+b,

将(12,1200),(16,800)分别代入，

,日［12k+b=1200,

fell6k+b=800,

解得忆揣

故y与x的函数关系式为y-100x+2400.

⑵设商家线上和线下的月利润总和为w元，

则w=400(x-2-10)+y(xT0)=-100x、3800x-28800=-100(x-19)2+7300,

V-100<0,

..•当线下售价定为19元/件时月利润总和达到最大，最大利润是7300元.

14.［2020四川南充］某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为

10万元/件.

⑴如图，设第x(0〈xW20)个生产周期设备售价z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象

表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围).

⑵设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x<20).在⑴

的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入-成本)

解:⑴由题图可知当0〈xW12时,z=16.

当12<xW20时,z是x的一次函数，设z=kx+b,

12k+b=16解彳日k=总

则

20k+b=14,,b=19,

即z=」x+19,

4

16(0<x<12),

•••z关于x的函数解析式为z=.-；x+19(12<x<20).

⑵设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.

①当0<xW12时,W=(16T0)X(5x+40)=30x+240,

V30>0,

...当x=12时,W取最大值最大值=30X12+240=600.

②当12〈xW20fi^,W=(-ix+19-10)X(5X+40)=-JX2+35X+360=-J(X-14)~+605,

V--<0,12<14<20,

当x=14时〃取最大值尸最大值=605.

V605>600,

，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大为605万元.

15.[2020江苏无锡]有一块矩形地块ABCD,AB=20米,BC=30米.为美观拟种植不同的花卉，如图

所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等

腰梯形AEHD、BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE、CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH

中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米：40元/米：

设三种花卉的种植总成本为y元.

⑴当x=5时，求y的值；

⑵求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

⑶若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米；求三种花卉的最低?中植总成本

解:⑴当x=5解EF=20-2x=10(米),EH=30-2x=20(米),

故

y=2Xi(EH+AI))xX20+2Xi(EF+AB)xX60+EFXEHX40-(20+30)X5X20+(10+20)X5X60+10X2

0X40=22000.

(2)EF=20-2x>0,EH=30-2x>0,故x<10.

由题意，结合⑴得y=(30+30-2x)xX20+(20+20-2x)xX60+(30-2x)(20-2x)X40,

即y=-400x+24000(0<x<10).

(3)S^=2xl(EH+AD)x-(30-2x+30)x-2x'+60x,

Sz,-2xi(EF+AB)x=(20-2x+20)x-2X2+40X.

•••甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米;，

/.-2x2+60x-(-2x2+40x)<120,

解得xW6,故0<xW6.

又,对于函数y=-400x+24000,y随x的增大而减小，

.♦•当x=6时,y取最小值，最小值为21600,

即三种花卉的最低种植总成本为21600元.

16.[2020石家庄长安区质量检测]某公司计划生产甲、乙两种产品,公司市场部根据调查得出:

甲种产品所获年利润W(万元)与投入资金n(万元)成正比例;乙种产品所获年利润y乂万元)与

投入资金n(万元)的平方成正比例,并得到如下表格中的数据.设公司计划共投入资金m(万

元)(m为常数目m>0)生产甲、乙两种产品,其中投入乙种产品的资金为x(万元)(其中OWxWm),

全年所获总利润W(万元)为弘与方之和.

⑴分别求出yiM关于n的函数解析式.

⑵求w关于X的函数解析式（用含m的式子表示）.

⑶当m=50时，

①公司市场部预判公司全年总利润W的最大值与最小值恰好相差40万元，请你通过计算说明

该预判是否正确.

②公司从全年总利润中扣除投入乙种产品的资金的k倍（0<kW3）用于其他产品的生产后，

得到剩余利润剩余（万元）若W剩余随x的增大而减小，请直接写出k的取值范围.

解:⑴由题意，设yi=an,

将n-2,y-1代入得l-2a,解得好今

关于n的函数解析式为yI=1n.

设Y2=bn2,

将n=2,y：：=0.1代入，得0.l=4b,解得b。，

••.y；关于n的函数解析式为加W厂

40

⑵由题意可知，投入乙种产品的资金为X万元，则投入甲种产品的资金为（mX）万元，

W=yi+y^（m-x）+^x2,BP[x+扣.

⑶①由m=5仇得W磊xf+25磊（x-10）若.

•••0WxW50抛物线开口向上,对称轴为直线x=10,

.".当x=10时,W取最小值,W最小值个，

当x=50时）取最大值,W最大值吟X（50T0『+衿融值T最小值=学-子=40，

402222

故该预判正确.

②2WkW3.

解法提示:由题意可得W乘j^=L+25-kx磊x2-g+k）x+25,

对称轴为直线x=殳2-20k+10.

2X«

..抛物线开口向上.

40

若要满足全年剩余利润随X的增大而减小，则50W20k+l（）,解得k22.

又kW3,，2WkW3.

17.[2020迁安二模]某专卖店开始销售一款5G产品，若该产品第x个月（x为正整数）的销售价

格为y元/台,y与x满足如图所示的一次函数关系且第x个月的销售数量p（台）与x之间的

函数关系式为P=x+1.

⑴该产品第6个月每台的销售价格为4500元.

⑵该产品第几个月的销售额最大?该月此产品每台的销售价格是多少？

⑶若要使该产品的月销售额不低于27500元很！I预计符合销售要求的是哪几个月？

解:⑴4500

⑵设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

将(2,6500),(4,5500)分别代入,

zf2k+b=6500解但(k=-500,

tBe

l4k+b=5500™lb=7500.

故y=-500x+7500.

设该产品月销售额为w元，

根据题意彳导w=py=(x+l)(-500x+7500)=-500x'+7000x+7500=-500(x-7)2+32000,

当x=7时,w最大，

该月此产品每台的销售价格是-500X7+7500=4000(元).

答:该产品第7个月的销售额最大，该月此产品每台的销售价格是4000元.

⑶根据题意彳导-500(x-7)，32000=27500,

解得xi=4,Xz=10,

；-500<0,

预计符合销售要求的是第4,5,6,7,8,9,10个月.

18.[2020唐山路南区二模]某大学生利用暑假40天参与了一家网店的经营，了解到一种产品

的成本为20元/件，第x天的销售量为p件，销售单价为q元，前20天(包括第20天),q与x之

间满足关系式q=30+ax；从第21天到第40天中,q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不

变，浮动价与x成反比.得到了下表中的数据.

X102135

q354535

⑴请求出a的值.

⑵从第21天到第40天中，求q与x之间满足的关系式.

⑶若该网店第x天获得的利润为y元，并且已知这40天里前20天中y与x之间的函数关系

式为y=-1(x-50)(x+20).

①经跟踪调查发现，这40天中p与x之间的关系保持不变，求这40天中p与x之间的关系式;

②求这40天里该网店第几天获得的利润最大.

解:⑴将(10,35)代入q=30+a%得35=30+10a,解得a《.

⑵根据题意,设从第21天到第40天中,q与x之间满足的关系式为q=b+*

将⑵,45)和(35,35)分别代入q=b+§

,.k

bH——==525,

得2135Mb

b+-==20,

35

，q与x之间满足的关系式为q=20+詈.

⑶①前20天(包括第20天)中,y=f(x-50)(x+20)=p(q-20),

-：(x-50)(x+20)=p(30*x-20),

/.(x-50)(x+20)=p(-x-20),

p=50-x.

•••这40天中p与x之间的关系保持不变，

p=50-x.

②当1WxW20时,y=T(x-50)(x+20)=-#+15x+500—斜15)：+612.5.

.•.当x=15时,y取最大值，为612.5.

因此前20天中，第15天利润最大，为612.5元.

当21WxW40时,y=(50-x)(20+第-20)-签运-525.

V26250>0,

，y随x的增大而减小，

.•.当x=21时,y取最大值，为725.

因此，从第21天到第40天中，第21天利润最大，为725元.

综上所述，这40天里，第21天该网店获得的利润最大.

19.[2018河北,26]轮滑场地的截面示意图如图所示，平台AB距x轴(水平)18米，与y轴交于点

B,与滑道y=1(x》l)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后，从A

处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:点M,点A的竖直距离

h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比，且t=l时,h=5；点M,点A的水平距离是vt米.

⑴求k,并用t表示h.

⑵设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x之间的函数关系式(不写x的取值

范围)及当y=13时,运动员与正下方滑道的竖直距离.

⑶若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒,当甲距x轴1.8米，且乙

位于甲右侧超过4.5米的位置时直接写出t的值及v乙的取值范围.

解:⑴由题意得A(l,8),代入厂£得k=18.

设h=at：将(1,5)代入，得a=5,即h=5t".

⑵易得x=l+5t,y=18-5t；

.,.t-gxT),代入y=18-5t；!,

得y=18-i（x-l）J=-1xA+Y，

令y=13,即18*x-1）-13,解得XL6,XL4（不合题意，舍去），

x=6.

对于y常，令x=6彳导y=3,

故当y=13时,运动员与正下方滑道的竖直距离为13-3=10（米）.

（3）t=l.8,v乙〉7.5.

解法提示:易得运动员甲的横坐标为l+5t,纵坐标为18-5t2,

令18-5t'=L8,解得t=l.8（负值已舍去）