2024届一轮复习命题方向精讲系列：15 利用导数研究函数的单调性（原卷附答案）

第第②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，，则（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(

)A． B． C． D．1．（2022·青海·模拟预测（理））若，则（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（

）A． B． C． D．4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．或9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（

）A． B．C．是R上的增函数 D．，则10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数，写出一个同时满足下列两个条件的：___________.①在上单调递减；②曲线存在斜率为的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，，为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数(为实常数).(1)设在区间上的最小值为，求的表达式;(2)设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，方程在上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数.(1)设，讨论函数的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题（理））已知，则（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．4．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.7．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．1．【答案】B【解析】构造函数，令，当，，函数在上单调递减，当，，在上单调递增，所以，从而.故选：B．2．【答案】D【解析】∵，∴∵函数在区间上不是单调函数∴在区间上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．3．【答案】D【解析】的定义域为，因为，所以在上单调递减，所以不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为.故选：D4．【答案】B【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.5．【答案】A【解析】由题可知，恒成立，故，即．故选：A﹒1．【答案】D【解析】对于A,B,令，则，当时，单调递增，且故存在，使得，则当时，递减，当时，递增，由于，此时大小关系不确定，故A,B均不正确；对于C,D,设，则，当时，，故单调递减，所以当时，，即，即，故C错误，D正确，故选：D2．【答案】C【解析】当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，所以，消去，得，令，则，当时，，所以在上是单调增函数，所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，设函数（），则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故选：C.3．【答案】C【解析】令函数，当时，求导得：，则函数在上单调递减，又，，，显然，则有，所以.故选：C4．【答案】D【解析】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，可知函数的减区间为，增区间为，又由，，由，可得．故选：D.5．【答案】B【解析】令，则，则在R上单减，又等价于，即，由单调性得，解得.故选：B.6．【答案】B【解析】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B7．【答案】A【解析】设则所以设,令,得易知函数在单调递减所以,即,即,所以对,所以B错,所以C错,所以错故选：A8．【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上单调递增知，，所以，故选：C9．（多选题）【答案】AD【解析】由，得，即，所以函数为R上的增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如，显然是增函数，但是减函数，所以C不正确；因为函数为增函数，所以时，有，故有成立，所以D正确.故选：AD.10．【答案】（答案不唯一）【解析】若同时满足所给的两个条件，则对恒成立，解得：，即，且在上有解，即在上有解，由函数的单调性可解得：.所以.则（答案不唯一，只要满足（即可）故答案为：11．【解析】(1)，①当时，，在上单调递减．②当时，令，得，当时，单调递增；当时，，单调递减．(2)当时，恒成立，即在时恒成立，令，则，令，则，易知在上单调减函数，∴，∴在上单调递减，∴．①当，即，，∴在上单调递减，此时，符合题意；②当，即时，，时，，∴使得，则时，，单调递增，∴，不符合题意．综上所述，．12．【解析】(1)若，则，该函数在上为减函数，故，若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，故在上为减函数，故，若，则，故在上为减函数，故，若，则在上为减函数，在为增函数，故，若，则，故在上为增函数，故，综上，.(2)，任意的，，因为在区间上是增函数，故对任意恒成立，而，故对任意.若即，因为，故即，故，若即，故，符合；若即，故即，故，综上，.13．【解析】(1)由得，，，所以在处的切线方程为：，即.(2)记，则，显然可得在单调递减.当时，，从而在上恒成立,故在上单调递增，又因为，所以即在上恒成立，所以在区间上单调递减，符合题意；当时，，，所以，使得，又在上单调递减，所以在上恒成立，在上恒成立．所以在上单调递增，在上单调递减．所以，又．令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以．所以存在，使得，所以在上，在上，所以在上，在上．所以在区间上既有减区间，也有增区间，不符合题意．综上可知，实数的取值范围是．14．【解析】(1)函数的定义域是，．当时，令，得；令，得，故在上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，故在上单调递减．(2)当时，方程即为，即．令，则，则“方程在上有且仅有一个实数解”等价于“函数在上有且仅有一个零点”．当时，，所以在上恒成立，所以只需证在上有且仅有一个零点．因为，所以当时，，，所以在上恒成立．所以在上单调递增，又，，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点．故方程在上有且仅有一个实数解．15．【解析】(1)当时，

，故切线方程为：(2)，①当时，，仅有单调递增区间，其为：②当时，，当时，；当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：③当时，，当时；当时的单调递增区间为：，单调递减区间为：综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：(3)当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，∴①当，即时，在上单调递增，，②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，③当，即时，在上单调递减，∴.．16．【解析】(1)，则令，则或在，上单调递增，在上单调递减(2)构建，则∵在单调递增，则即当时恒成立当时，当时恒成立，则在单调递减∴，则∴当时，令，则在单调递减，在单调递增∴，则∴综上所述：17．【解析】(1)由题设，且，则，所以，，故在处的切线方程为.(2)由且，当时，即在定义域上递减；当时，在上，递减，在上，递增，综上，时递减；时在上递减，上递增.(3)由（2），时递减且值域为，显然存在；时，的极小值为，当，即时，在上递减，上递增，只需，可得；当，即时，在上递增，则恒成立，满足题设；综上，a的取值范围为.18．【解析】(1)解：当时，，所以，所以，，故在点处的切线方程是，即；(2)解：因为定义域为，所以，因为，当，即当时，由，解得或，当时，恒成立，当，即当时，由，解得或，综上，当时，的递增区间是，，当时，的递增区间是，当时，的递增区间是，；1．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.2．【答案】A【解析】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A3．【解析】(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.4．【解析】(1)当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.(2)设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.(3)取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.5．【解析】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.6．【解析】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.7．【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.8．【解析】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于，故，则，而，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于，故，则，当时，，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.当时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.9．【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.10．【解析】（1）[方法一]【最优解】：等价于．设，则．当时，，所以在区间内单调递增；当时，，所以在区间内单调递减．故，所以，即，所以c的取值范围是．[方法二]：切线放缩若，即，即当时恒成立，而在点处的切线为，从而有，当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．[方法三]：利用最值求取值范围函数的定义域为：，设，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；所以c的取值范围为．（2）且因此，设，则有，当时，，所以，单调递减，因此有，即，所以单调递减；当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.11．【解析】（1）当时，,令得,当时，,当时，,