等比数列基础知识点+练习

数列专题(三):等比数列知识点等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系等差数列1. 等比数列等差数列定义:公比:a-a定义:公比:a-a—d或a-a—d单调性：通项公式:递增数列：a1>0,递减数列：a>0,ia—aqn-1q-1 (a<0,则反之)0<q<11'①等比中项：若a,A,力成等比数列性质：] 则山—ab②若m+n—p+q,贝Ua-a—a-aI mnpq公差：d[递增数列：d>0i递减数列：d<0a—a+(n-1)d[①等差中项：若a,A,b呈是等差数列则A-四

2②若m+n—p+q,则a+a—a+aTOC\o"1-5"\h\z①定义法：a-a—d(n>2,且ngN*)或。-a—do数列｛a｝为等差数列

n n-1 n+1n n(1)等差数列的判定，②等差中项法：2an=an1+%*>2,且ngN*)o数列｛a」为等差数列③通项公式法：a—kn+b(k,b为常数)o数列｛a｝为等差数列2., n n2.(2)等比数列的判定:定义法:土—q(n>2,且ngN*)或垢—qo数列｛a｝(2)等比数列的判定:a a n等比中项法:a2—a-a(n>2,且ngN*)o数列｛a｝为等比数列n n-1n+1 n注意：①a-a—d(d为常数，ngN*)对任意的ngN*恒成立，不能几项成立就说｛a｝为等差数列。n+1n n②妇—q(q为常数，ngN*)对任意的ngN*恒成立，不能几项成立就说｛a｝为等比数列。ann'①若是两个数呈等差数列，则可设为a-d,a+d;(1)等差数列的假设5②若是三个数呈等差数列，则可设为a-d,a,a+d;③若是四个数呈等差数列，则可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.3.类比3.类比5①若是两个数呈等比数列，则可设为a,aq;q(2)等比数列的假设]②若是三个数呈等比数列，则可设为生,a,aq;q③若是四个数呈等比数列，则可设为a,a,aq,aq3.q3q考点一等比数列的通项公式：利用方程的思想求出等比数列的首项a]和公比qoa广aqn-1例1(1)(2013-北京高考)等比数列｛a｝满足a+a—20，a+a—40，则公比q—TOC\o"1-5"\h\zn 2 4 3 55'aq+aq3—20 ① 'aq2+aq4—20q 'a—2解：51 1 方程①><q>51 1 51Iaq2+aq4—40 ② Iaq2+aq4—40 [q—211 11

a-1，a-a+2a,则a-1，a-a+2a,则解析：①运用解方程的思想，求首项匕和公比q②若求出首项匕和公比q很麻烦，数字很大或很难处理时，有时需要整体代换解：a=a+解：a=a+2anaq7=aq5+2aq3nq4=q2+2nq4-q2-2=0n86 4 1 1 1q2=-1（舍）强化练习：已知等比数列｛a｝的公比为正数，且nB.-3C.a•a=9a1强化练习：已知等比数列｛a｝的公比为正数，且nB.-3C.a•a=9a1——3D.=1,则a1=()13已知等比数列｛aj中，A.8 B：16且a+a=34C.a-a土8=30,则a4=()D.土16已知等比数列｛aj中，A.-2已知等比数列｛aj中，满足a=2，aa=4a21 35 6a3=（）B.1C.2D.且a.+a=324=36,则a已知等比数列｛a已知等比数列｛aj中，且a+a=27a+a=81,则a+a7 8 3 4考点二等比数列的性质J①等比中项：a，G节等比数列，则G2=妆

I②若m+n=p+q,贝Uaa=a•amnpq例2（例2（2014.天津高考）设｛a｝是首项为a，公差为-1的等差数列，S为其前n项和，n*，S2,S成等比数列1则a=()12解析：利用等比中项的性质。•.•S

1S，S成等比数列nS2=S•.•S

1S，S成等比数列nS2=S•S2 4 2 1 4.♦.(2a+d)2=a(4a+6d)，代入d=一1解得a111例3（2014•广东高考）等比数列｛a｝的各项均为正数，且aa=4，则logna+loga+loga+loga+log2 1 2 2 2 3 24 2解析：考察知识点①lgA+lgB=lgAB;lne=1A②lgA-lgB=lg—;③lgAb=BlgA; ④{lg10=1,BIlog1=0a②若m+n=p+q,则aa=a•amnpqloga+loga+loga+loga+loga=logaaaaa,又aa=aa=aa=42 1 2 2 2 3 24 25 212345 15 24 33「.log a+log a+loga +loga +loga =logaaaaa=log 4•2•4=log 32=52 1 2 2 23 24 25 2 12345 2 2强化练习：(1)(2014•全国高考II)等差数列｛a｝公差为2,若a，an2n(n+1A.n(n+1) B.强化练习：(1)(2014•全国高考II)等差数列｛a｝公差为2,若a，an2n(n+1A.n(n+1) B.n(n-1) C. 2~(2)(2013•江西高考)等比数列x,3尤+3,6x+6,...的第四项等于A.-24 B.0 C.12-成等比数列，则｛a｝的前n项和S=（）D.n(n-1)2（3）（2014•安徽高考）数列｛a｝是等差数列，若a+1,a+3,an 1 3 5(D.)24+5构成公比为描等比数列，则q=（4）（2014・山东高考）等差数列｛q｝中，已知公差d=2,若［是［与［的等比中项，则（5）（2014・山东高考）等差数列｛a｝的公差d=2,前n项和为S，且S，S2n1s4成等比数列，（6）（2014.重庆高考）对任意等比数列B.D.且A.a,a,a成等比数列139C.a,a,a成等比数列（7）等比数列｛a｝的各项均为正数n｛a｝，下列说法一定正确的是（6成等比数列:成等比数列则1oga+1oga+1oga23 24 2na,a,aa,a,aaa=2，5+1og2a6+1og（8）等比数列｛a｝的各项均为正数naa=10贝U1ga+1ga+1ga+1ga+1ga+1ga1 3 4 5 6 8（9）等比数列｛a｝的各项均为正数nqa=10则1ga+1ga+1ga+1ga+1ga+1ga1 3 4 5 6 8（10）（2014•广东高考）等比数列｛a｝的各项均为正数n1na.+1na+...+1na=且aa+aa=2e5，则1011 912（11）（2014•全国高考）等比数列｛aj中，已知A.6B.5 C."4a=2,D.3a5=5,则数列｛1gaj的前8项和等于（ ）考点三等比数列的判定等比数列的判定：J定义法：土=q（n>2,且neN*）或£*=qO数列｛a｝为等比数列等比数列的判定：JTOC\o"1-5"\h\za a nn-1 na2=a•an n-1 n+1等比中项法：a2=a•a（n>2,且a2=a•an n-1 n+1n n-1n+1 n注意：在说明一个数列是等比数列的同时，必须交代首项和公比分别是什么。例4（1）已知数列｛a｝中，a=2a（n>2,且neN*）,且a,=1,则通项公式a=（2）已知各项为正数的数列｛a｝中，a-1=3（a-1）,且a=3,则通项公式a=n n+1 n 1 n解析：（1）可用定义法直接判定数列｛a｝为等比数列；n（2）以新数列的视界看待｛a广1｝，数列｛a广1｝是以a1-1=2为首项，公比为3的等比数列。解：（1），.，a=2an"n=2 数列｛a｝是以a=1为首项，2为公比的等比数列，即a=aqn-1=2nn n-1 a n 1 n1

(2)・「a—1=3(a—1)n%二=3.即｛a—1｝是以匕—1=2为首项，公比为3的等比数列a—1=Jva—17^^―n^i——na—1=2-a—1=Jva—17^^―n^i——na—1=2-3n-1na=2-3n-1+1nn,. n , nnn(2)求数列｛a｝的通项公式.n解析：思路由S—S=anc解：(1)证明：：S1=a11 1(2)求数列｛a｝的通项公式.n解析：思路由S—S=anc解：(1)证明：：S1=a11 1a.+a.=1na=^c

n—n-cn—1=qn｛cj是等比数列n｛aj的通项公式①—②得a—a+a=12a=a+1n2(a—1)=a—1,/a+S=n ①a +S=n—1 ②n—1 n—1a—1 1.. n =—a—12n—1.•.{c}是以a—1=—1为首项，公比为1的等比数列n12 2,又c=a—1nc+1=ann n n强化练习：(1)已知数列｛a抑，na=—a (n>2,且ngN*),且a=2,则通项公式a= n2n—1 1 n(2)已知数列｛a｝中，na■=3a(ngN*),且a.=J,则通项公式a=(3)已知各项为正数的数列｛aj中，a+1=2(a+1),且a,=3,则通项公式a=(4)已知各项为正数的数列｛aj中，an+1—22(1、一…一，.2J,且