希尔伯特几何公理

-.z.希尔伯特几何公理石门中学高二〔2〕邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D……来表示；直线用a,b,c,d……来表示；平面用α,β,γ,δ……来表示。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素则点，几何元素之间又有一定的相互关系点A在直线a上：点A在平面α上：直线a在平面α上：QUOTE〔直线的每一点都在平面上〕点B在点A与点C之间：〔我自己规定的符号〕线段AB与CD相等：QUOTE〔原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号〕QUOTE与QUOTE相等：QUOTE等等……〔线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在表达公理的时候再说〕在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最根本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’〞。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(*,y)，定义线是QUOTE，其实在这个定义下，“几何〞已经失去了“直观〞的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号，QUOTE，QUOTE并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言〔欧氏几何〕抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。〔其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何〕公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：〔为了方便论述，以后说二、三……点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面〕I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得QUOTE〔存在性〕；I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得QUOTE〔唯一性〕；〔对于1,2，我们可以说两点确定一直线〕I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面α，使得QUOTE；〔存在性〕对于任一平面QUOTE，恒有一点A，使得；I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面α，使得QUOTE；〔唯一性〕〔对于4,5，我们可以说三点确定一平面〕I6：假设QUOTE且QUOTE，则QUOTE；I7：假设两平面QUOTE有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；I8：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了“在……之间〞这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。II1：对于点A,B,C，如果，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，也成立；〔如图〕II2:对于点QUOTE恒有一点，使得；〔如上图〕II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；根据上面，我们就可以定义线段了：对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对{A,B}称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，假设a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点〔如图〕以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，则A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。则射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比方与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB〔虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆〕公理III合同公理本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等〞的关系。III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义一样：III2：假设QUOTE且QUOTE，则QUOTE；〔根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到QUOTE与QUOTE等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等〞。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性〞，“对称性〞，和“传递性〞，这才说明这是一个等价关系。〕III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同一直线a’上，且也无公共点。如果QUOTE,则这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC〔其中A,B,C共线〕相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念：对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为QUOTE。O称为QUOTE的顶点，射线OA，和射线OB称为QUOTE的边。同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角〔大于平角的角〕都不在考虑的围。III4：对于QUOTE，和一条射线O’A’，在射线O’A’所在的一个平面，有且只有一条射线O’B，使得QUOTE与QUOTE相等，记为QUOTE。而且有QUOTE。如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为。III5：假设与，有以下等式则有QUOTE这条公理可以理解为三角形全等〔SAS〕，事实上SAS这个公理的直接推论。公理IV平行公理这条公理显得很苍白，但在历史上很重要……先定义平行：对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为.IV〔欧几里得平行公理〕：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得且。根据这个公理，我们可以得到平行线错角，同位角相等；反之也成立。公理V连续公理V1〔阿基米德原理〕：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,bQUOTE，必存在正整数n，使na>bV2〔直线完备公理〕：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的A∈a，B∈b，则总存在一个点C，C∈AB。也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理I~IV的〔书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了〕要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事情〔而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这是根据哥德尔不完全定理得到的〕，则我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数〞。我们只说明平面几何〔因为好说明〕，立体几何类似。。我们考虑的是实数域R。点我们用实数对QUOTE来表示：QUOTE；直线我们用QUOTE来表示：QUOTE。两条直线QUOTE，QUOTE平行，当且仅当QUOTE点QUOTE在直线QUOTE上：点QUOTE在点QUOTE与点QUOTE之间：QUOTE；对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：QUOTE，其中然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。〔PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了〕则用以上规定几何对象公理I〔关联公理〕显然都是成立的，只需要用到①②③规定。公理II〔顺序公理〕显然也都是成立的，再加上④规定。公理III〔合同公理〕也是成立的，加上规定⑤。需要一点点论述，就是点与直线在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象〔也就是说*’,y’都还是实数，其实就是要说明QUOTE形的数还是实数，这是显然的〕公理IV〔平行公理〕在直线的这种规定下是成立的。公理V〔连续公理〕根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接得到。也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何〞的性质的，我们便可以将这些实数，实数对作为几何对象。则这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。则只需要证明算术的相容性就可以了。关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自身证明〔这是个完备的公理系统〕。但是按照希尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容性，不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理是无法自证的，只能根据另外一个跟更强的公理系统〔比方说集合论ZFC公理〕来证明，可是这“另外一个公理系统〞的相容性，又不能用自身证明了==〔根茨〔G.Gentaen，1909-1945〕1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性〕。简短提一下的是，这个几何公理系统不仅是相容的，而且是完备的〔就是这个公理的任一语句都能在这个公理系统证明，即确定其真值〕三、平行公理的独立性〔非欧几何〕我们知道了公理的相容性之后，其实还有一个有趣的问题是公理的独立性，虽然这并不影响论证〔多些方便的公理还方便于论证呢〕，但是数学家们总喜欢简洁的东西……额不说了。什么是独立性？就是一个公理不能是其他公理的逻辑推论。如何证明这里*个公理独立性？一个方法就是剔除掉这个公理，然后根据其它公理构建一个新的模型，使得被剔除掉的公理不满足于这个模型。历史上最令人争议的就是平行公理了，也就是用欧几里得提出的公理来证明平行公设……当然都失败了。之后，人们就发现了非欧几何。什么是非欧几何学？其实就是满足以上除了平行公理的所有公理的几何模型。既然有了非欧几何，则平行公里的独立性就不证自明了。现在主要是分成两种，一个是黎曼几何，一个是罗氏几何。然而黎曼几何我不清楚〔手头的书也没有〕，所以我不提……对于罗氏几何，来代替原来平行公理的公理描述如下：如果b是任一直线，且A是不在b上，则过点A有不在同一直线的两条射线a1，a2，它们与b都不相交，而且在a1，a2所成角的任一射线都与b都相交。则a1，a2所在的直线称为与b平行然后非欧几何学最简单的一个特例就是球面几何，连高中选修都会讲到只需要定义“直线〞为大圆便好……我就不深入了。四、合同公理的独立性相对平行公理来说，合同公理的独立性并没有在历史上并没有引起太大的争议。因为合同公理1~4并没有什么卵用，所以我们只需要说明公理III5(可以说是三角形全等的SAS)具有独立性就好。一般来说，我们定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比方对QUOTE,QUOTE，QUOTE，这个可以在前面在规定坐标变换中得到。接下来我们便抛弃这个“长度〞的设定〔就是抛弃上面规定⑥中线段相等的定义〕，噢，要保存原来角相等的设定。我们新定义一个长度：对于QUOTE,QUOTE，QUOTE规定线段相等就是长度相等。在这个规定下验算公理I,II,III1~4,IV,V都是成立的。只不过唯独对于III5就不一定成立了。举一个反例：显然QUOTE，OA=OC=OB。按照公理III5，但是在这种规定下显然QUOTE。从而证明了公理III5的独立性。五、连续公理的独立性这是我们要表达独立性的最后一组公理〔其他的没必要〕。同上面的方法一样，我们又得找一个数学对象只满足公理I~IV了。我们又是要把研究的方向转向了数。其实在说明五组公理的相容性的时候我们是用了实数域R来构建几何，其实域有许许多多，而实数恰好又满足众多域不满足的性质：完备性，阿基米德原理。则其实我们只要找一个域不满足这两个性质的就好，然而这样的域又有许许多多。〔域通俗来说就是满足加减乘除的东西的集合，当然还要满足乘法交换率〕首先我们很容易就构建一个域F，从1开场，其加减乘除，还有QUOTE〔QUOTE是经过这五种运算的结果〕的得到的所有结果都放在F里。则这个域的数字构造的几何对象满足公理I~IV，但是因为其自身并不满足完备性〔也就是画出来的数轴有“洞〞〕，比方说，也就从而说明了完备性的独立性。题外话，这个域F其实挺重要的，在证明尺规作图的可行性就是基于这个域。然后是非阿基米德域，也就是不满足阿基米德原理的数域，举个最简单的例子，一个集合，可以验证其加减乘除都在QUOTE里，所以这是一个域。这是实数的一个子集，我们一般描述这个集合里这些数的序关系是最简单的大小关系，比方说QUOTE。然后我们要构建一个新的描述这些数的序关系，在这个序关系下QUOTE是一个非阿基米德域。定义序关系QUOTE举个例子QUOTE；QUOTE等等。也就是优先比拟QUOTE的大小.则在这个顺序关系下，QUOTE并不满足阿基米德原理〔由读者自己验证〕，所以这是一个非阿基米德域。当然非阿基米德域还有好多好多，比方说上面的域F，也可以找一个类似的序关系来代替掉大小关系〔这种序关系〕，使得F是一个非阿基米德域。再构造几何对象，那就是一个除了连续公理〔完备性和阿基米德原理两个个都不满足〕的几何体系了。不过值得注意的是同时满足阿基米德原理和完备性的就只有实数R了。这点也说明了希尔伯特几何的唯一性。六、一些补充皮亚诺算术公理QUOTE0不是任何数的后继数QUOTE*与y的后继数相等，则*与y相等QUOTE，QUOTE为算术公理的任一公式这个就是数学归纳法QUOTE存在零元和幺元QUOTE加法的定义QUOTE乘法的定义这里QUOTE就是后继数，比方1的后继数就是2.这里的公理3,5,6决定了皮亚诺公理的不完备性，具体怎样就不说了，哥德尔不完备定理的证明用的是递归函数，然后递归函数又是以公理3,5,6所定义的。实数公理约定，所有实数记为QUOTE，一局部实数*，记为QUOTE;*中存在实数*，则记为加法公理QUOTE零元存在性QUOTE存在相反数QUOTE加法结合律QUOTE加法交换律乘法公理QUOTE幺元存在性QUOTE存在倒数QUOTE乘法结合律QUOTE乘法交换律乘法对加法的分配率序公理QUOTE反身性QUOTE反对称性QUOTE传递性QUOTE任意两个实数都能比拟大小加法和乘法与序的关系QUOTE不等式两端同时加上一个实数，不等号方向不改变QUOTE正数之积为正数完备公理QUOTE对于任意的两局部实数*,Y，满足对于任意实数,，有，则存在一个实数c，使得。对于完备公理，要说明一下，这里用的是二阶逻辑来写的。还有只有QUOTE才满足。举个例子。如果自然数QUOTE，满足完备公理，我把自然数分成两局部：QUOTE，QUOTE，则不存在一个数〔QUOTE,QUOTE〕,这个数就是QUOTE.这里对应的就是直线的完备公理。关于公理系统什么是公理系统？一个公理系统可以这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表〔比方几何公理中用A，a，α表示的点线面〕，形成规则〔逻辑公理，就是推理的规则，还有非逻辑公理，就是我们给出的公理，比方说完备公理〕，还有公式〔按照形成规则构成的字符串〕组成。他们没有任何含义，就像一部按规则摆弄拼凑字符的机器罢了，它们给出的只是