平面运动刚体旋轮线轨迹的轨迹

平面运动刚体旋轮线轨迹的轨迹

如图1所示，将薄膜沿坐标面xoy进行平面平行运动，并将质心c作为与ox轴平行的直线运动，并以vi的均匀速度运动。角速度恒定。m是第一个点，l是m和c之间的距离。m和c是纵向轴，并且m和c是纵向坐标。当m和c同时旋转时，角速度为，m的运动方程为。令,上式变为此式表示一个旋轮线.对式(1)求时间的导数,得到M的速度投影uf8fc若刚体逆时针转动,则式(1),(2)变为众所周知,旋轮线可以认为是由沿一条直线做纯滚动的圆轮上(或拓展部分)的一点刻画而成,但是式(1),(3)表示的旋轮线具体形状显然随V,ω,l的不同而不同.因此,以下讨论平面运动刚体上的质点在不同情况下的旋轮线轨迹是由怎样的圆轮作怎样的纯滚动形成的,以期对质点的运动有更直观的理解.1de作街边下的匀角速纯滚动轴承中,m点的轨迹方程首先讨论式(1)所示的情形,并且只研究ωyC>V,即yC>R的情形.第1种情况:运动的初始条件有lω>V,以致l>R.此时,旋轮线形成过程如图2所示:圆轮半径为R,圆轮拓展部分上与轮心距离为l处有一点M,起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R,圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向匀角速纯滚动时,M点的轨迹方程即为式(1);N是圆轮的瞬心,由R=V/ω可知,N也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的,曲线上没有“折点”,是处处滑顺的曲线;当ωt=(2n-1)π(n=1,2,···)时,vx<0,vy=0,曲线斜率k=vy/vx=0,表示质点在这些位置处作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动,运动方向与圆轮质心运动方向相反.第2种情况:lω=V,以致l=R.此时,旋轮线形成过程如图3所示:圆轮半径为R,圆轮边缘上有一点M,起初在Oy轴上且在轮的最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R,圆轮在DE直线的上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时,M点的轨迹方程即为式(1);N是圆轮的瞬心,也是刚体的瞬心.这种情况下,vx≥0;但是,当ωt=(2n-1)π(n=1,2,···)时,vx=0,vy=0,故曲线的斜率不存在且带电粒子的运动方向突变,表示质点的运动轨迹在这些位置出现“拐点”.第3种情况:lω<V,以致l<R.此时,旋轮线形成过程如图4所示:圆轮半径为R,圆轮内部与轮心距离为l处有一点M,起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴上方有DE直线y=yC-R,圆轮在DE直线上方沿着DE作顺时针方向的匀角速纯滚动时,M点的轨迹方程即为式(1);N是圆轮的瞬心,也是刚体的瞬心.此时:曲线的斜率总是存在的,质点轨迹没有“折点”,处处光滑,且恒有vx>0;当ωt=nπ(n=0,1,2,···)时,曲线斜率k=0,表示质点在此处作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.对于ωyC<V,即yC<R的情形,上述圆轮滚动的直线在横轴的下方,但各旋轮线的形状是相同的.再讨论式(3)所示情形,并且也只研究ωyC>V,即yC>R的情形.第1种情况:lω>V,以致l>R.此时,旋轮线形成过程如图5所示:圆轮半径为R,其拓展部分上与轮心距离为l(l>R)处有一点M,起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R,圆轮在DE下方沿DE作逆时针方向的匀角速纯滚动时,M点轨迹的方程即为式(3);N是圆轮的瞬心,也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线斜率总是存在,曲线无“拐点”,处处光滑;但是,当ωt=2nπ(n=0,1,2,···)时,恒有vx<0,曲线斜率k=0,表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴负向一致的水平运动,运动方向与轮心的运动方向相反.第2种情况:lω=V,以致l=R.形成这种旋轮线的过程如图6所示:圆轮的半径为R,边缘上与轮心距离为l(=R)处有一点M,起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R,圆轮在DE下方沿DE轴逆时针匀角速纯滚动时,M点的轨迹即为式(3),M点的轨迹是普通旋轮线;N是圆轮的瞬心,也是刚体的瞬心.这种情况下恒有vx≥0;但是,当ωt=2nπ(n=0,1,2,···)时,vx=0,vy=0,曲线斜率不存在且运动方向突变,质点轨迹在此处出现“折点”.第3种情况:lω<V,以致l<R.此时,旋轮线形成过程如图7所示:圆轮半径为R,其内部与轮心距离为l(l<R)处有一点M,起初在Oy轴上且在最高点;Ox轴的上方有DE直线y=yC+R,圆轮在DE下方沿DE逆时针匀角速纯滚动时,M点轨迹的方程即为式(3);N是圆轮的瞬心,也是刚体的瞬心.这种情况下:曲线的斜率总是存在的,带电粒子的轨迹没有“折点”,是处处光滑的曲线,且恒有vx>0;当ωt=2nπ(n=0,1,2,···)时,曲线的斜率k=0,表示质点在这些位置作运动方向与Ox轴正向一致的水平运动.2初定位系统的建立如图8所示,光滑水平面上静置质量为M,长度为2L的均质细直杆,质量为m的质点以速度v0沿水平面垂直射入直杆一端.求:碰撞后质点的绝对运动方程.研究整个系统.以质点的碰前速度方向为速度的正方向,竖直向下为动量矩的正方向.碰撞过程中,系统的水平方向动量守恒,其质心C的水平速度不变,有并且,质点与C之间和C与直杆质心C2(如图9所示)之间的距离均不变,分别为碰撞前:质点绕C点的动量矩为L1=lm(v0-V),直杆绕C点的动量矩为L2=-aM(0-V).碰撞之后:设系统绕通过质心C且垂直于细杆的轴的转动惯量为IC,则系统绕C点的动量矩为L3=ICω.由动量守恒定律,有即将-代入,式(5),(6)代入上式消去a,l,得到以光滑水平面上与直杆中心C2的初位置重合的固定点O为原点建立定系Oxy,如图9,图10所示,