2024届一轮复习人教A版 第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及数字特征 课件（42张）

第六节离散型随机变量的分布列及数字特征第十章计数原理、概率、随机变量及其分布考试要求：1．掌握离散型随机变量分布列的性质．2．会利用随机变量的期望方差解决实际问题．必备知识·回顾教材重“四基”01一、教材概念·结论·性质重现1．随机变量的有关概念(1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以_________的随机变量．一一列出(1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．(2)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的____________，简称分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i＝1，2，…，n；②________________＝1．概率分布列p1＋p2＋…＋pn判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．3．离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝

为随机变量X的____或__________，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的_________．

均值数学期望平均水平

标准差偏离程度(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．4．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝_________．(a，b为常数)(2)D(aX＋b)＝_______．(a，b为常数)5．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝________．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝___，D(X)＝________．aE(X)＋ba2D(X)p(1－p)npnp(1－p)

二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1． (

)(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义． (

)34512××(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布． (

)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． (

)(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事． (

)34512X25P0.30.7√××2．随机变量X的分布列如表所示：则P(X≤2)＝(

)A．0.1

B．0.2C．0.3

D．0.4C

解析：由分布列的性质可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3．34512X1234P0.1m0.32m

34512

345124．随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)等于(

)A．16

B．11

C．2.2

D．2.3A

解析：由表格可得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16．34512X024P0.30.20.5

34512X01Pa2a关键能力·研析考点强“四翼”考点1离散型随机变量的分布列及性质——基础性02考点2离散型随机变量的均值与方差——基础性考点3均值与方差在实际问题中的应用——综合性例1

已知随机变量X的分布列如下：若随机变量η＝3X－1，则E(η)为(

)A．4.2B．18.9C．5.3D．随m变化而变化C

解析：因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1．又η＝3X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3．故选C．考点1离散型随机变量的分布列及性质——基础性X123P0.20.5m离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值．(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

ξ－10aP

ξ78910Px0.10.3y例2

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．考点2离散型随机变量的均值与方差——基础性已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；解：由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解：小明应选择先回答B类问题．理由如下：由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为E(Y)＞E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．求离散型随机变量的均值、方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．(2)求X的每个值的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值定义求出E(X)，D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2·D(X)的应用．

ξ04080120160P例3

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．考点3均值与方差在实际问题中的应用——综合性

X2030P

Y2530P利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们比较两个随机变量的差别时，可先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，需要用D(ξ1)，D(ξ2)来进一步比较这两个随机变量的偏离程度，从平均水平和离散程度两个方面进行比较．(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．