工程结构抗震第三章

3.1概述一、建筑结构抗震设计步骤1、计算结构的地震作用—地震荷载2、计算结构、构件的地震作用效应—M、Q、N及位移3、地震作用效应与其他荷载效应进行组合、验算结构和构件的抗震承载力及变形（确保结构、构件的内力<材料抗力）。3结构地震反应分析与抗震验算二、结构抗震设计理论发展过程的三个阶段1.静力理论阶段---静力法1920年，日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。地震作用---地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应2、反应谱理论阶段：1940年美国皮奥特教授提出的“弹性反应谱理论”目前我国采用：底部剪力法或震型分解反应谱法（用于小震或中震的计算）计算时：单自由度多质点体系（多个等效单质点体系），如糖葫芦目前，世界上普遍采用的方法。3、动态分析阶段：时程分析法—用于大震分析计算，借助于计算机。三、与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过40m的规则结构：底部剪力法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法

质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考虑竖向地震作用

特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算补充：单自由度体系动力学分析回顾单自由度体系自由振动（1）无阻尼时时（2）有阻尼时阻尼：振动过程中的阻力。无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程将无限地进行下去。有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消耗振动的能量，使振幅不断减小。强迫振动：在外加剂激振力作用下的振动称为强迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析1、单自由度弹性体系的计算简图把结构的所有质量集中在屋盖处，墙、柱视为一个无质量的弹性杆，形成一个单质点体系。当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由度体系。3结构地震反应分析与抗震验算

工程结构抗震2、运动方程

：地面（基础）的水平位移：质点对地面的的相对位移：质点的总位移：质点的绝对加速度动荷载取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的力：惯性力：弹性恢复力：阻尼力：（粘滞阻尼理论）根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用下的运动方程为：

上式进一步简化为：式（3.5）为一个二阶常系数非齐次微分方程。令方程式左边=0，得该方程的齐次解，即方程的通解。则方程式（3.5）的解由有上述的齐次解和特解两部分组成。t=0时，体系的初始位移t=0时，体系的初始速度

由上图可知，无阻尼自由振动时的振幅不变，而有阻尼体系自由振动的振幅随时间的增加而减小，且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。4、强迫振动瞬时冲量及其引起的自由振动杜哈默积分可视为作用于单位质量上的动力荷载上式即为处于静止状态的单自由度体系地震位移反应计算公式。

3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱1、单自由度弹性体系的水平地震作用对于单自由度弹性体系，通常把惯性力看作一种反映地震对结构体系影响的等效力，可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。（把动荷载转化为静荷载解决计算问题。）下式为质点的绝对最大加速度计算公式，取决于地震时地面运动加速度、结构的自振周期T及结构的阻尼比3结构地震反应分析与抗震验算

2、地震反应谱地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质点相对于地面的相对位移、相对速度、绝对加速度均为时间t的函数，从工程观点看，在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有实际意义，此最大值随质点自振周期变化的曲线称为反应谱。

下图即为在给定的地震作用下质点绝对最大加速度与体系自振周期的关系曲线。特点：结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa中频结构主要取决于地面的最大速度Sv低频结构主要取决于地面的最大位移Sd

2、标准反应谱把水平地震作用的基本公式（3.31）变换为式（3.32）将Sa的表达式（3.30）代入式（3.34）得：β与T的关系曲线称为β谱曲线：（1）β谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。（2）曲线峰值对应的结构自振周期T=Tg，Tg为场地的特征周期（过去也称作卓越周期）

标准反应谱曲线：根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线。下图为β谱曲线及加速度谱曲线

2、设计反应谱

《规范》把α与T的关系作为设计反应谱。---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影响烈度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和0.30g地区的地震影响系数

特征周期值（s）0.900.650.450.35第三组0.750.550.400.30第二组0.650.450.350.25第一组ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：（1）求结构体系的自振周期（2）求水平地震影响系数查表确定地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影响烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。h=5m查表确定解：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。（1）求结构体系的自振周期（2）求水平地震影响系数h=5m查表确定地震特征周期分组的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三组0.750.550.400.30第二组0.650.450.350.25第一组ⅣⅢⅡⅠ场地类别解：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚度,阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。（1）求结构体系的自振周期（2）求水平地震影响系数h=5m（3）计算结构水平地震作用

例1、P79习题1解：查表3.2(P35)抗震术语自由振动：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情况下结构体系所进行的振动。自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间。（1）自振频率：当外力不复存在时，结构体系每秒振动的次数，又称固有频率。（2）基本周期：结构按基本振型完成一次自由振动所需的时间。又称第一自振周期。振型：结构按某一自振周期振动时的变形模式。（1）基本振型：多自由度体系和连续体自由振动时，最小自振频率所对应的振动变形模式，又称第一振型。（2）高阶振型：多自由度体系和连续体自由振动时，对应于二阶频率以上（含二阶）的振动变形模式。共振：当干扰频率与结构自振频率接近时，振幅急剧增大的现象。3.4多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法1、计算简图3结构地震反应分析与抗震验算

体系只作单向振动时，

n个质点

n个自由度体系

n个独立等效单自由度弹性体系的最大地震反应

n个振型作用效应（M、V、N）组合n个振型效应验算截面抗震通常第一振型周期最长，影响最大，振型愈高，影响愈小。

2、运动方程先考虑两个自由度体系的运动方程，图3.11所示

3、自由振动(1)自振频率(2)主振型

因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点的位移值定为1。一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型，他们是体系的固有属性。主振型的正交性

P31,由式（3.27）知：结构在任一瞬时的位移等于惯性力产生的静位移。因此上述的主振型曲线可看作体系按某一频率振动式时，其上相应的惯性荷载所引起的静力变形曲线。对于二自由度体系，其两个振型的变形曲线及相应的惯性力如图3.13所示解:例.求图示体系的频率、振型.

已知:m1m211.61810.618

4、、振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。先以二自由度体系为例，如图3.21所示。3.5多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法

多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是质点的地震作用。质点上的地震作用为：3结构地震反应分析与抗震验算

一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加而迅速减少，所以频率最低的几个振型控制结构的最大地震反应。实际计算中，一般采用前2—3个振型即可。《规范》规定：在进行结构抗震验算时，结构任一楼层的水平地震剪力应符合下式要求二、底部剪力法

《规范》5.2.1：对于高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可以采用底部剪力法。1、底部剪力计算符合规定的结构，根据底部剪力相等的原则，把多质点体系用一个与其基本周期相等的单质点体系代替。底部剪力用式（3.37）进行计算：

式中——相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数，按图3.9确定，对于多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，可取水平地震影响系数最大值；

——结构等效总重力荷载:式中——集中于质点i的重力荷载代表值；

c——等效系数。《规范》规定取c=0.85注意：因为标准值，则结构总水平地震作用为标准值。2、各质点的水平地震作用标准值的计算因符合规范要求的结构，其地震反应以基本振型为主，而且基本振型接近于直线，呈倒三角形，如图3.22所示。在地震作用下，高层建筑或其他建（构）筑物顶部细长突出部分振幅剧烈增大的现象。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影响烈度地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）查表得地震特征周期分组的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三组0.750.550.400.30第二组0.650.450.350.25第一组ⅣⅢⅡⅠ场地类别例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数查表得第一振型第二振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数第一振型第二振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第一振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第二振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）第一振型1振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）1振型第二振型2振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）1振型2振型第三振型3振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应1振型2振型3振型（6）计算地震作用效应（层间剪力）组合后各层地震剪力例：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s,抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组。解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数（3）计算结构总的水平地震作用标准值（4）顶部附加水平地震作用顶部附加地震作用系数（5）计算各层的水平地震作用标准值例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s,抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组。解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数（3）计算结构总的水平地震作用标准值（4）顶部附加水平地震作用（5）计算各层的水平地震作用标准值例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s,抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组。解：（1）计算结构等效总重力荷载代表值10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数（3）计算结构总的水平地震作用标准值（4）顶部附加水平地震作用（5）计算各层的水平地震作用标准值（6）计算各层的层间剪力振型分解反应谱法结果3.6结构自振周期和振型计算3结构地震反应分析与抗震验算

按振型分解法计算多质点体系的地震作用时，需要确定体系的基频和高频以及相应的振型；用反应谱底部剪力法计算时，需要知道基本周期。从理论上讲，他们可通过解频率方程得到，但质点多于三个时，计算很困难。本节将介绍一些经常采用的近似计算方法，可根据其使用条件及计算需要选用。一、能量法二、等效质量法（折算质量法）三、顶点位移法四、矩阵迭代法

一、能量法

能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求结构的基本频率（第一振型的频率）。本方法常用于求解以剪切型为主的框架结构。由于框架结构可以用D值法直接求得层间变形，所以这一方法应用十分方便。解:例.已知：求结构的基本周期。G2G1（1）计算各层层间剪力（2）计算各楼层处的水平位移（3）计算基本周期解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（b）（a）（b）

二、等效质量法

在求多自由度体系的基本频率时，为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称为等效质量。

如图3.18所示的悬臂体系，有两单自由度体系频率相等，则：

三、顶点位移法

用“换算体系”方法可以把一多质点体系用一等效的单质点体系来代替，从而将多自由度体系求周期问题简化为相应的单自由度问题。顶点位移法是根据在重力荷载水平作用时算得的顶点位移来求解基本频率的一种方法。悬臂型剪切型弯剪型抗震墙结构可视为弯曲型杆，即悬臂型结构。框架结构可近似视为剪切型杆。框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。

结构变形的三种形式

框架结构在水平力作用下的受力特点如下图所示。其侧移有两部分组成：第一部分侧移由柱和梁的弯曲变形产生。梁、柱都有反弯点，形成侧向变形。框架下部的梁、柱内力大，层间变形也大，愈到上部层间变形愈小，使整个结构呈剪切型变形，如图（a）。第二部分侧移由柱的轴向变形产生，在水平荷载作用下，柱的拉伸和压缩使结构出现侧移。这种侧移在上部各层较大，愈到底部层间变形愈小，使整个结构呈弯曲型变形，如图（b)所示。

框架结构中第一部分侧移是主要的，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但合成以后框架仍然呈剪切型变形特征，如图（c）。（a）（b）（c）框架结构的侧向变形

自振周期的经验公式

根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算（1）高度低于25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期（2）高度低于50m的钢筋混凝土框架-抗震墙结构的基本周期H---房屋总高度；B---所考虑方向房屋总宽度。（3）高度低于50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期（4）高度低于35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期

在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，有下列更粗略的公式（1）钢筋混凝土框架结构（2）钢筋混凝土框架-抗震墙或钢筋混凝土框架-筒体结构N---结构总层数。（3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构（4）钢-钢筋混凝土混合结构（5）高层钢结构

四、矩阵迭代法可求出多质点体系多个频率及相应的振型。

产生扭转地震反应的原因3.6结构的地震扭转效应1.建筑自身的原因（结构的偏心）两方面：建筑自身的原因和地震地面运动的原因。质心刚心产生偏心的原因：a.建筑物的柱体与墙体等抗侧力构件布置不对称。b.建筑物的平面不对称。

抗震结构设计c.建筑物的立面不对称。d.建筑物的平面、立面均不对称。e.建筑物各层质心与刚心重合，但上下层不在同一垂直线上。f.偶然偏心。2.地面运动的云因（存在扭转分量）

地震波在地面上各点的波速、周期和相位不同。建筑结构基底将产生绕竖直轴的转动，结构便会产生扭转振动。

无论结构是否有偏心，地震地面运动产生的结构扭转振动均是存在的。

但二者有区别，无偏心结构的平动与扭转振动不是耦合的，而有偏心结构的平动与扭转振动是耦合的。3.7地基与结构的相互作用3结构地震反应分析与抗震验算

抗震结构设计

在对建筑结构进行地震反应分析时，通常假定地基是刚性的。实际一般地基并非刚性，故当上部结构的地震作用通过基础反馈给地基时，地基将产生一定的局部变形，从而引起结构的移动或摆动，这种现象称为地基与结构的相互作用。3.7.1地基与上部结构相互作用的影响大震实记表明：结构与支承他的地基之间存在着相互作用，主要表现在：结构对地基的反馈作用：改变了地基运动的频谱组成，使得接近结构自振频率的分量获得加强。T（结构的基本周期）接近与Tg（场地的特征周期），易共振，相差大则地震作用减弱。地基变形对结构的影响：地基愈柔，结构的基本周期延长；结构的振动衰减愈大（阻尼、位移愈大）。当地基刚度比上部结构刚度大得多时，这两种作用趋于消失。3.7.2考虑地基结构相互作用的抗震设计结构的抗震计算在一般情况下可不考虑地基与结构的相互作用。但①对于建造在8度和9度、Ⅲ或Ⅳ类场地上，②采用箱基、刚性较好的筏基或桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑，③当结构的基本周期处于特征周期的1.2～5倍范围内时，可考虑地基与结构动力相互作用的影响。对采用刚性地基假定计算的水平地震剪力按下列规定予以折减，并且其层间变形也应按折减后的楼层剪力计算。（1）、高宽比小于3的结构，各楼层地震剪力的折减系数可按下式计算：（2）高宽比大于3的结构，底部的地震剪力按上述规定折减，但顶部不折减。中间按线性插入。

目前，国外抗震设计规定中要求考虑竖向地震作用的结构或构件有：1.长悬臂结构；

2.大跨度结构；

3.高耸结构和较高的高层建筑；

4.以轴向力为主的结构构件（柱或悬挂结构）；

5.砌体结构；

6.突出于建筑顶部的小构件。

我国抗震设计《规范》规定：8度和9度的大跨度结构、长悬臂结构；烟囱和类似的高耸结构；9度时的高层建筑。应考虑竖向地震作用的不利影响。3.8竖向地震作用分析结果表明：高耸结构和高层建筑竖向第一振型的地震内力与竖向前5个振型按平方和开方组合的地震内力相比较，误差仅在5%--15%。

此外，竖向第一振型的数值大致呈倒三角形式，基本周期小于场地特征周期。

因此，高耸结构和高层建筑竖向地震作用可按与底部剪力法类似的方法计算。3.8.1高耸结构和高层建筑竖向地震作用基本计算公式---结构总竖向地震作用标准值；---竖向、水平地震影响系数最大值。H1G1Hi---质点i的竖向地震作用标准值。

规范要求：9度时，高层建筑楼层的竖向地震作用效应应乘以1.5的增大系数。

3.10建筑结构抗震验算3结构地震反应分析与抗震验算

抗震结构设计结构抗震承载力验算结构抗震变形验算抗震设计方法的步骤

3.10.1结构抗震承载力验算1、地震作用方向水平方向——地面运动水平方向的分量较大时考虑垂直方向——高烈度、大跨、长悬臂、高耸及高层才考虑扭转方向——质量和刚度重合时不考虑一般，仅考虑水平地震作用。2、重力荷载代表值在计算结构时，水平、竖向地震作用标准值都要用到：集中到质点处的重力荷载代表值。3、结构构件截面的抗震验算在抗震设计的第一阶段要做到“小震不坏”，即多遇地震的水平地震作用标准值，用线弹性理论的方法求出结构构件