理学弯曲应力

教学目的与要求：掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念，熟练掌握用截面法求弯曲内力，能熟练绘制剪力图和弯矩图。掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算，理解横力弯曲正应力计算；掌握矩形、圆形、圆环形、工字形截面梁切应力计算；熟练强度条件的建立和相应的计算。了解提高弯曲强度的措施。教学重点：平面弯曲的概念；用截面法求剪力和弯矩，列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图。横力弯曲正应力计算，纯弯曲切应力计算，强度条件。教学难点：剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系，叠加法绘制剪力图和弯矩图。纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；弯曲剪应力推导过程；弯曲的强度计算。§4.1弯曲的概念及计算简图一、工程实例(Exampleproblem)镗刀杆车削工件目录火车轮轴目录铁路桥

二、基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam)

以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.（1）受力特征（2）变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形(Deflection)3.平面弯曲(Planebending)

作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FBF1F2FA（3）支座的类型4.梁的力学模型的简化(Representingarealstructurebyanidealizedmodel)（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷类型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布载荷(distributedload)

可动铰支座(rollersupport)：1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。FAAAAA固定铰支座(pinsupport)：固定端(clampedsupportorfixedend)：AAAFAyAFAxFyFxM2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座、车刀架、木桩下端的支座等。车床主轴示意图简化实例向心推力轴承滚珠轴承5.静定梁的基本形式(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)

悬臂梁(cantileverbeam)

外伸梁(overhangingbeam)

简支梁(simplysupportedbeam)一、内力计算(Calculatinginternalforce)

[举例]已知如图，F，a，l.

求距A端x处截面上内力.解:求支座反力

§4-2剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)

FAyFAxFBABFBAalFxx求内力——截面法

弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩(Bendingmoment)M

构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MFAyFAxFBABFmmxFAyQCFFBQCM2.剪力(Shearforce)Q

构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.QdxmmQ+1.剪力符号(Signconventionforshearforce)

使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定(Signconventionforinternalforce)

使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.dxmmQQ-

当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；2.弯矩符号(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM

当dx微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.mm（受压）MM-解：（1）求梁的支反力FA

和FB例题2图示梁的计算简图.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩.FBBdEDAabclCFF1F2FA

记E截面处的剪力为QE和弯矩ME，且假设QE和弯矩ME的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2FAAEcQEFAME解得取右段为研究对象AEcQEFAMEa-cb-cCDl-cBEQEF1F2MEFB解得++

计算F点横截面处的剪力QF

和弯矩MF.BdEDAabclCFF1F2FAFdBQFMFFB解得：-+三、计算规律(Simplemethodforcalculatingshear-forceandbending-moment)1.剪力(Shearforce)

梁的任意横截面的剪力在数值上等于该截面保留一侧所有的竖向外力（包括斜向外力的竖直分量、支座反力）的代数和；其中与该剪力同方向的外力取负号，反之取正号；亦左侧向上的外力引起的剪力为正，右侧向下的外力引起的剪力为正。（左上右下为正）AEcQEFAME2.弯矩(Bendingmoment)

梁的任意横截面上的弯矩在数值上等于该截面保留一侧（左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。其中与该弯矩同方向的外力偶取负号，反之取正号；亦不论是左侧还是右侧向上的外力引起的弯矩为正。左侧力偶顺时针引起的弯矩为正，右侧力偶逆时针引起的弯矩为正。（左顺右逆为正）利用以上结论在计算某截面上的剪力和弯矩非常简便，此时不需要画隔离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的外力均已知，梁上的内力可以根据梁上的外力可逐项直接写出。下面举例说明。（称之为简便法）AEcQEFAME例题3轴的计例算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.F2=FACDBbacF1=FFAFB

解：（1）求支座反力（2）计算C横截面上的剪力QC和弯矩MC

看左侧F2=FACDBbacF1=FFAFB（3）计算D横截面上的剪力QD和弯矩MD

看左侧解:例题4求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.（1）求支座反力FA=4kNFB=-4kNC12M（2）求1-1截面的内力（3）求2-2截面的内力B1m2.5m10kN·mAC12FAFBQ=Q(x)M=M(x)四、剪力方程和弯矩方程(Shear-force&bending-momentequations)

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.弯矩方程(Bending-momentequation)弯矩图为正值画在x

轴上侧,负值画在x轴下侧五、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentdiagrams)

剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧

以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xQ(x)Q图的坐标系OM图的坐标系xOM(x)例题5如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解:列出梁的剪力方程和弯矩方程QxFFlxM例题6图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）求支反力lqFAFBABx（2）列剪力方程和弯矩方程.剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0

处，x=l

处,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB弯矩图为一条二次抛物线lqFAABxFB令得驻点弯矩的极值绘出弯矩图+l/2

由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上Q=0

两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFAABxFB+ql/2ql/2+l/2解:（1）求梁的支反力例题7图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用(b>a)试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabFAFB

因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFAFB

由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x

轴的直线.xxlFABCabFAFB

由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.+xxlFABCabFAFB++

在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.Qmax=Fb/lMmax=Fba/l

x=0，AC段

x=a

，x=l，

M=0

x=a,CB段解：求梁的支反力例题8图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.将坐标原点取在梁的左端.

因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程lABCabFAFBM

由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x

轴的直线.+AC段CB段AC

段和BC段的弯矩方程不同xxlABCabFAFBMAC，CB

两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.

x=a

，

x=0，AC段CB段

x=a,x=l，M=0+

梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.lABCabFAFBM++

3.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图。

2.取梁的左端点为坐标原点，x轴向右为正建立坐标。6.梁上的Qmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发生在全梁或各梁段的边界截面,或集中力偶作用处及Q=0的截面处。小结4.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值，在此处弯矩图则形成一个尖角。

5.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化。

1.通过平衡方程求约束反力。例题9一简支梁受移动荷载F的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载F的位置.ABFlx解:先设F在距左支座A为x的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.荷载在任意位置时，支反力为当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为令此结果说明，当移动荷载F在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.得最大弯矩值代入式将

设梁上作用有任意分布荷载其集度六、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)q=q(x)规定q(x)向上为正.将x轴的坐标原点取在梁的左端.xyq(x)FM1.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系的推导xyq(x)FMQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)

假想地用坐标为x和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx微段.mmnnq(x)C

x+dx截面处则分别为Q(x)+dQ(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化。m-m截面上内力为Q(x),M(x)nxmmn

dxQ(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段梁的平衡方程得到

略去二阶无穷小量即得对上式求导：公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）弯矩图斜率的变化率等于点处荷载集度的大小。（根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性）.M(x)图为一向上凸的二次抛物线.Q(x)图为一向右下方倾斜的直线.xQ(x)O2.q(x)、Q(x)图、M（x）图三者间的关系Ⅰ.梁上有向下的均布荷载,即q(x)=const<0xOM(x)Ⅱ.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.当Q(x)>0时,向右上方倾斜.当Q(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)xxQ(x)OⅤ.梁上最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上.

梁上最大弯矩Mmax可能发生在Q(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.

Ⅲ.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.Ⅳ.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在Q=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C3.分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在x=x1

和x=x2处两个横截面无集中力（即剪力方程为连续的），则式中，分别为在x=x1

和x=x2处两个横截面上的剪力.等号右边积分的几何意义是x1,x2两横截面间分布荷载图的面积.若横截面x=x1，x=x2

间无集中力偶作用（即弯矩方程为连续的），则得式中M(x1)，M(x2)分别为在x=x1和x=x2处两个横截面上的弯矩.等号右边积分的几何意义是x1,x2两个横截面间剪力图的面积.例题10一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述的微分关系作剪力图和弯矩图.解：（1）求梁的支反力

将梁分为AC、CD、DB

三段.每一段均属无载荷区段.BACD2001151265FFFAFB231（2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段23.61.727+BFBACD2001151265FFFA231DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上CD段AC段4.723.11+BACD2001151265FFFAFB231最大弯矩发生在

C

截面（3）弯矩图

每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.弯矩图是连续的（4）对图形进行校核

在集中力作用的C,D

两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.

在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.BACD2001151265FFFAFB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.

最大弯矩发生在剪力改变正、负号的C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.例题12试用本节所述的微分关系作梁的内力图.解：（1）支座反力为3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN

将梁分为AC、CD、

DB、BE

四段.（2）剪力图AC段向下斜的直线(

)CD段向下斜的直线(

)DB段水平直线(-)EB段水平直线(-)3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNCD段向下斜的直线(

)F点剪力为零,令其距

A截面的距离为x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx1=5mAC段向下斜的直线(

)（3）弯矩图CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFAFBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m（4）校核：201666+20.55m解：支座反力为FA=81kNFB=29kNMA=96.5kN·m例题13用简易法(微积分关系)作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB

五段。(1)剪力图AE段水平直线QA右

=QE左

=FA=81kNED段水平直线DK段向右下方倾斜的直线QK=-FB=-29kNQE右

=FA-F=31kNKB

段水平直线QB左=-FB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

设距K截面为x的截面上剪力Q

=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/mx=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m（2）弯矩图

AE，EC，CD

梁段均为向上倾斜的直线（2）弯矩图

AE，EC，CD

梁段均为向上倾斜的直线96.515.53110.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/mKB

段向下倾斜的直线DK段向上凸的二次抛物线在Q=0的截面上弯矩有极值:96.53115.5x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).++10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFAFBMAq=20kN/m

例题14已知简支梁的剪力图,作梁的荷载图和弯矩图.已知梁上没有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)画荷载图AB

段没有分布荷载，在B处有集中力所以F=20kN

方向向下CABDF=20kNBC

段无分布荷载CD段有均布荷载q(

)abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kN/mCABDF=20kN(2)弯矩图AB段向右上倾斜的直线BC段向右下倾斜的直线.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.48dab54c+例题15已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.AB段因为M(x)=常量,剪力图为水平直线,且Q(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+BC段Q(x)=常量,剪力图为水平直线CD段剪力图为水平直线且Q(x)=0abcd20kN解：(1)作剪力图AB段无荷载Me=40kN·m(

)Me在A处有集中力偶(2)作荷载图40KN·mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN(

)B处有集中力.集中力BC段无荷载C处有集中力集中力F=20kN(

)CD段无荷载FFkN20－QB=左七、用叠加法作梁的内力图Ⅰ.叠加原理(Superpositionprinciple)

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和.Ⅱ.适用条件(Applicationcondition)

所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.剪力图的作法相对简单，这里主要介绍弯矩图的叠加

Ⅲ.步骤(Procedure)

（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图（剪力图叠加比较简单）;

（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）例16悬臂梁受集中荷载F和均布荷载q共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图xF=ql/3qlxF=ql/3ql解:悬臂梁受集中荷载F=ql/3和均布荷载q共同作用，在距左端为x的任一横截面上的弯矩为FxqxF

单独作用q单独作用F,q

作用该截面上的弯矩等于F,q单独作用该截面上的弯矩的代数和FxFqxlqx++-2l/3l/3例题17图示一外伸梁，a=425mm,F1、F2、F3

分别为685kN,575kN,506kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上荷载分开F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaaBCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd291215131acebd291acebd145.5215acebd107.51.平面刚架的内力(Internalforcesforplaneframemembers)

剪力(shearforce);弯矩(bendingmoment);轴力(axialforce).ABC

Ⅰ.平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结(刚节点)而组成的结构。一、平面刚架的内力图八、平面刚架和曲杆的内力图弯矩图(bendingmomentdiagram)画在各杆的受压側,不注明正、负号.剪力图及轴力图(shearforceandaxialforcediagrams)可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在刚架的外側).注明正,负号，符号规定与前相同。2、内力图符号的规定(Signconventionforinternalforcediagrams)例题18图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1和F2作用，作此刚架的内力图。alF1F2ABC解：将刚架分为CB，AB

两段CB段，以C点为坐标原点，x向左为正N(x)=0M(x)=F1x(0

x

a)Q(x)=F1(+)(0<x

<a)M(x)N(x)Q(x)CxF1xalF1F2ABCQ(x)CBaF1F2N(x)M(x)xBA

段N(x)=-F1(0

x

l)M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)Q(x)=F2(+)(0<x<l)CB段N(x)=0

BA段N(x)=-F1N图F1|CalF1F2ABCB段BA段Q(x)=F2(+)Q(x)=F1(+)Q图F1+F2+作N

图作Q图CalF1F2ABM图F1aF1aF1a+F2lCB段M(x)=F1x(0

xa)BA段M(x)=F1a+F2x(0

xl)作M

图Ⅱ、平面曲杆轴力引起拉伸的轴力为正；弯矩使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正，仍画在受压侧。剪力对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺时针转动趋势的剪力为正;1、平面曲杆(Planecurvedbars)轴线为一平面曲线的杆件.内力情况及绘制方法与平面刚架相同.2、内力符号的确定(Signconventionforinternalforce)FOR

+MFRFtnC

NQ

OM例19如图所示的半圆环半径为R,在自由端收到载荷F的作用.试绘制N图、Q图和M图.解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q

表示截面m-m的位置.qmmxOFRABFOQNMqxqF2F1O+Q图ABOM图2FRON图FF–+xOFRqmmABmmQMⅠ、弯曲构件横截面上的应力

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力Q.§4-3梁横截面上的正应力mmQ

mmM

只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩.弯矩M

正应力σ剪力Q

切应力τ内力

只有与切应力有关的切向内力元素dQ=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.Ⅱ、分析方法平面弯曲时横截面纯弯曲梁的正应力(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲正应力(横截面上既有Q又有M的情况)ss

t

简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.

若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.Ⅲ、纯弯曲++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship一、纯弯曲时的正应力Ⅰ、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dxⅡ、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOOⅢ、物理关系(Physicalrelationship)所以胡克定律：MyzOx

直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??yzxOMdAzyσdAⅣ、静力关系(Staticrelationship）

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得（1）（2）（3）将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得中性轴通过横截面形心自然满足yzxOMdAzyσdAMzMy将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.将应力表达式代入(3)式，得讨论

（1）应用公式时，一般将M、y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力（

为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为引用记号—弯曲截面系数Iz和W的求法：圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面（a）对于中性轴是对称轴的横截面

其横截面最大拉压应力相等，发生在离中性轴最远处，截面的IZ

和WZ由下列公式计算zyM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式（b）对于中性轴不是对称轴的横截面

当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.二、横力弯曲时的正应力

横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.Ⅰ、横力弯曲(Nonuniformbending)等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的细长梁（l/h>5），纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力Ⅱ、公式的应用范围1.在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)3.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）Ⅲ、强度条件1.数学表达式（Mathematicalformula)梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（3）确定许可载荷（1）强度校核

对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）

要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力例题

矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度b=20mm，高度h＝30mm；均布载荷集度q＝10kN/m；梁的长度l＝450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。

l/2l/2l/2l/2

解：

1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值

根据静力学平衡方程

MA＝0和

MB＝0，可以求得支座A和B处的约束力分别为

FRAFRB1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为

l/2l/2FRAFRB

2.计算惯性矩

根据矩形截面惯性矩的公式,本例题中，矩形截面对z轴的惯性矩为

l/2l/2FRAFRB3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力

均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(x)就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。1、2两点到中性轴的距离分别为

l/2l/2FRAFRB3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力

FRAFRB于是，在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为

例题

螺栓压板夹紧装置如图所示（B截面有一直径为14mm的圆孔）.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MPa.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a2030φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图,得梁的最大弯矩为Fa；（2）求惯性矩，弯曲截面系数ACBFa2a2030φ14FRAFRB+Fa（3）求许可载荷80y1y22020120z例题T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为[

t]=30MPa，抗压许用应力为[

c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kNm2.5kNm解：最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z一、梁横截面上的切应力（Shearstressesinbeams）1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)

§4-3弯曲切应力（1）两个假设(Twoassumptions)（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2（2）分析方法(Analysismethod)（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等；（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在纵截面上必有沿x

方向的切向内力dQ′.故在此面上就有切应力τ.

根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dQ’ḿABB1A1mnxzyym’FN1FN2dQ’（3）公式推导(Derivationoftheformula)

假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1

处的正应力为

1

和

2.A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.式中：为面积A1对中性轴的静矩.A1化简后得由平衡方程A1ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dQ’b矩型截面上y点的宽度.yz整个横截面对中性轴的惯性矩.距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.（4）切应力沿截面高度的变化规律(Theshear-stressistributionontherectangularcrosssection)

沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.1.矩形截面梁y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）τ=0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，A=bh为矩形截面的面积.截面静矩的计算方法A1为距离中性轴为y以下截面面积为A1截面的形心坐标2.工字形截面梁（工-sectionbeam)假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同，腹板上切应力的计算公式亦为HoyBxbzhzA1b—腹板的厚度Ozydxy—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上.这也是