2021年新初三数学北师大复习《因式分解》

2021年新初三数学北师大新版专题复习《因式分解》

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式9+6的，+9町2与/y-gx/的公因式是（）

A.x（x+3y）2B.x（x+3y）C.xy（x+3y）D.x（x-3y）

2.（2021春•高州市月考）己知：a=2020x+2019,8=2020r+2020,c=2020x+2021,贝M弋

数式a1+tr+c1-ab-ac-be的值为（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2020秋•梁平区期末）己知a=2018x+2018,6=2018尤+2019,c=2018x+2020,则«2+/,2+c2

-ab-ac-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（机表示实数），在实数范围内一

定能分解因式的是（）

A.x2-2x+2B.2X2-mx+1C.x2-2x+mD.x2-mx-\

5.（2018秋•海珠区校级期中）已知a,h,c是△ABC的三条边长，且（a+〃+c）（a-b）=

0,则4ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不对

6.（2021春•西湖区校级期中）多项式/+ax+12分解因式为Cx+m）（x+n）,其中a,机，n

为整数，则a的取值有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16a〃，它两邻边长分别为xcm,ya”，且满

足（x-y）2-2x+2y+l=0,则该长方形的面积为（）cm2.

A.皿B.9C.15D.16

42

8.对任意一个两位数〃，如果”满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称

这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得

到一个新两位数:把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为产（〃）.例如〃=23.互

换十位与个位上的数字得到32,所得的新两位数与原两位数的和为23+32=55,554-11

=5,所以尸（23）=5.若s,f都是“相异数"，其中s=10x+3,f=50+），（1WXW9,1

WyW9.x,y都是正整数），当F（s）+F（t）=15时，则孽-的最大值为（）

F（t）

A.2B.3C.11D.4

24

9.设a为实数,且a3+a2-〃+2=0,则(a+1)20"+(a+l)2012+(4+1)2013=()

A.3B.-3C.1D.-1

10.（2019秋•乐清市期末）如果x和y是非零实数，使得团+），=3和国）+?=0,那么尤+y的

值是（）

A.3B.V13C.IzZHD.4-713

2

二.填空题（共10小题）

11.（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法

产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式J/*,因式分解的结果是（x-y）（x+y）

（f+y2）,若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：（x-y）=0,（x+y）=18,（/+y2）

=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4/-孙2,取》=

11,y=12时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）.

12.（2021春•江北区校级期中）已知“+匕=4,ab=-2,则.

13.（2021春•西湖区校级期中）已知多项式d+加r+〃能分解为（f+px+q）（/+2x-3）,则

p=，q=•

14.（2018春•成都期末）已知f-2x-3=0,则/-5x+12=.

15.（2018春•成都期中）若a=2009x+2007,8=2009x+2008,c=2009x+2009,贝U/+入2

-ab-be-ca的值为.

16.（2017秋•虎林市期末）多项式Ax2-9xy-10y2可分解因式得（妙+2）,）（3x-5y）,则左

=,m=.

17.（2017春•大邑县期末）己知f+x=3,则2015+右+/-2/-_?=

3

18.（2015春•青羊区校级月考）若/+3/+。=（）,求__o这----=.

63.1

a+6a+1

19.（2019春•西湖区校级月考）已知/-2x-l=0,则3/-6x=；WlJ2x3-7x2+4x-

2019=.

20.（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解

法，，产生的密码，方便记忆，原理是对于多项/-J,因式分解的结果是（x-y）（x+y）

（7+/），若取无=9,y=9时，则各个因式的值是：（x+y）=18,（x-y）=0,（/+）?）

=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式94-孙2,取工=

10,y=10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）.

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释,

例如：图（1）可以用来解释cr+lab+b1=（a+b）2,实际上利用一些卡片拼成的图形面

积也可以对某些二次三项式进行因式分解.

如图（2）,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为，”的大正

方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为〃的全等小长方形，且m>nX以

上长度单位：cm）

（1）观察图形，可以发现代数式2机2+5〃〃2+2/可以分解因式为；

（2）若每块小长方形的面积为IOC,次,四个正方形的面积和为58cw?,试求图中所有裁

剪线（虚线部分）长之和.

图（1）

22.（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称

这个正整数为"奇特数"，例如：8=32-I2,16=52-32,24=72-52；贝（］8、16、24这

三个数都是奇特数.

（D填空：32奇特数，2018奇特数.（填“是”或者“不是”）

（2）设两个连续奇数是2〃-1和2〃+1（其中”取正整数），由这两个连续奇数构造的奇

特数是8的倍数吗？为什么？

（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形

ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.

AD

23.（2021春•龙华区期中）（1）分解因式：-a/+6办-94.

’2x-l_5x+l4

（2）解不等式组《三厂''A并把其解集在数轴上表示出来.

5xT<3（x+l）

24.（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践

下面是某同学对多项式（/-4x）（？-4x-10）+25进行因式分解的过程:

解：设W-4x=y,

原式=y(y-10)+25(第一步)

=）?-10y+25（第二步）

=（y-5）2（第三步）

=（?-4x-5）2（第四步）

回答下列问题:

（1）该同学第二步到第三步运用了

4.提取公因式

B.平方差公式

C.两数差的完全平方公式

D.两数和的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，

则该因式分解的最终结果为.

（3）请你模仿上述方法，对多项式-2x-1）（7-缄+3）+4进行因式分解.

25.（2021春•巴南区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充

满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”.

定义：对于三位自然数〃，若各位数字都不为0,且百位上的数字与十位上的数字之和恰

好能被个位上的数字整除，则称这个三位自然数”为“好数”.

例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除，所以426是

“好数”；643不是“好数3因为6+4=10,10不能被3整除,所以643不是“好数”.

(1)判断134,614是否是“好数”？并说明理由；

(2)求出百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”.

26.(2021春•九龙坡区校级月考)若一个四位正整数充满足，a+6+c+d=20,则称该数

为“0萌数”.

例如：对于四位数3890,因为3+8+9+0=20,所以3890是“0萌数”；对于四位数2983,

因为2+9+8+3=22W20,所以2983不是“0萌数”.

(1)最小的“0萌数”是；

(2)判断4579是不是“0萌数”，并说明理由；

(3)若一个四位“0萌数”S,满足S=1010a+100h+305(1W&W9,0W8W6,a、b均

为整数)，请求出所有满足条件的“0萌数”乱

27.(2021春•沙坪坝区校级月考)若一个正整数。可以表示为。=(6+1)(8-2),其中6

为大于2的正整数，则称“为“十字数”，。为〃的“十字点”.例如28=(6+1)X(6

-2)=7X4.

(1)“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为:

(2)若b是。的“十字点”，且。能被(6-1)整除，其中b为大于2的正整数，求“

的值；

(3)机的“十字点”为p,〃的“十字点”为q,当,"-"=18时，求p+q的值.

28.(2021春•郸都区校级期中)(1)若(f+px-工)(%2-3x+q)的积中不含x项与1项，

3

求解以下问题：

①求p,q的值；

②代数式(-2岛)2+(3pq)r+p2012产4的值

(2)若多项式lx4-3x3+a/+7x+%能被7+x-2整除，求

29.(2021春•望城区校级月考)若三个非零实数x,y,z中有一个数的平方等于另外两个数

的积，则称三个实数x,y,z三构成“星城三元数”.

(1)实数4,6,9可以构成“星城三元数”吗？请说明理由；

(2)若Mi(/,yi),Mi(Z-1,”)，M3(r+1,”)三点均在函数y：上Ck为常数且k

x

#0)的图象上且这三点的纵坐标yi,”构成“星城三元数”，求实数r的值；

(3)设非负实数XI,X2,总是“星城三元数”且满足XI<X3〈X2,其中xi,是关于x

的一元二次方程〃/+尔+〃=0的两个根，工3是二次函数(其中Q>2A>3C)

与X轴的一个交点的横坐标，求点p(£,A)到原点的距离。尸的取值范围.

aa

30.(2021•九龙坡区校级模拟)一个正整数p能写成p=(加+”)(m-n)(机、〃均为正整

数，且，则称p为“平方差数”，加、〃为p的一个平方差变形，在P的所有平方

差变形中，若，层+〃2最大，则称相、〃为p的最佳平方差变形，此时尸(p)=nr+n2.例

如：24=(7+5)(7-5)=(5+1)(5-1),因为72+52>52+12,所以7和5是24的最

佳平方差变形，所以F(24)=74.

(1)F(32)=；

(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x,y(lWxWyW7),q为“平方差

数”且x+y能被7整除，求F(g)的最小值.

2021年新初三数学北师大新版专题复习《因式分解》

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

I.(2021春•沙坪坝区校级月考)多项式4+6/)，+9孙2与3厂9盯3的公因式是()

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(x-3y)

【考点】公因式.

【专题】整式；运算能力.

［分析】分别将多项式『+6/)，+知2与多项式。-9城进行因式分解，再寻找他们的公

因式.

【解答】解：,.,x3+6，y+9xy2=x(x2+6x>,+9y2)=x(x+3y)2,

-9xyi=xyCx2-9y2)=xy(x+3y)(x-3y),

，多项式xi+6x2y+9xy2与多项式-9x>>3的公因式是x(x+3y).

故选：B.

【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确

定公共因式.

2.(2021春•高州市月考)已知：a=2020x+2019,b=2020x+2020,c=2020x+2021,贝I」代

数式a2+/>2+c2-ab-ac-be的值为()

A.0B.1C.2D.3

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；运算能力.

【分析】由题意：a-b=-\,a-c=-2,h-c=-1,设S=a~+h2+c2-ab-ac-be,则

2s=2/+2庐+202-2ab-lac-2bc,将式子的右边进行因式分解变形，结论可得.

【解答】解：：a=2020x+2019,0=2020x+2020,c=2020x+2021,

・・・〃-b—-1,a-c—~2,b-c--1.

设S=a2+b2+c2-ah-ac-be,

则2S=2a1+2b1+2c1-2ab-lac-2bc.

V2a2+2/72+2c2-2ab-2ac-2bc

=。2-lab+bi+a2-lac+^+b2,-2bc+c2

=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2

=(-1)2+(-2)2+(-1)2

=6,

；.S=3.

cr+tr+c1-ab-ac-be—3.

故选：D.

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式，利用因式分解法可使运算简

便.

3.(2020秋•梁平区期末)已知a=2018x+2018,Z?=2018x+2019,c=2018x+2020,则«2+Z>2+c2

-ab-ac-be的值是()

A.0B.1C.2D.3

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题.

【分析】根据题目中的式子，可以求得。-氏a-c、%-c的值，然后对所求式子变形，

利用完全平方公式进行解答.

【解答】解：•.Z=2018x+2018,〃=2018x+2019,c=2018x+2020,

**.6Z-b=~1,a-c=-2,b-c--1,

cr+b^+c2-ab-ac-be

999

=2a+2b+2c-2ab-2ac-2bc

~2~~

=(a2-2ab+b"+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c.)

~2~

=(a-b)，+(a-c)、+(b-c)、

2

二(-1)2+(-2)2+(7)2

2

=3,

故选：D.

【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，应用完全平方公式进

行解答.

4.(2018秋•浦东新区期末)下列关于x的二次三项式中(m表示实数)，在实数范围内一

定能分解因式的是()

A.x2-2x+2B.2X2-mx+\C.x2-2x+mD.x2-nvc-}

【考点】实数范围内分解因式.

【专题】实数；运算能力.

【分析】对每个选项，令其值为0,得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数

范围内一定能分解因式的二次三项式.

【解答】解：选项A,7-2%+2=0,△=4-4X2=-4<0,方程没有实数根，即

2x+2在数范围内不能分解因式；

选项8,Zr2-/?ir+l=0,△=优2-8的值有可能小于0,即Zr2-在数范围内不一定

能分解因式；

选项C,JC-2x+m=0,△=4-4m的值有可能小于0,即/-2x+m在数范围内不一定能

分解因式；

选项£),x2-nix-1=0,△=/H2+4>0,方程有两个不相等的实数根，即/-加工-1在数

范围内一定能分解因式.

故选：D.

【点评】本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解.解题的关键是把问题转化为一

元二次方程是否有实数根的问题.

5.(2018秋•海珠区校级期中)己知a,b,c是△ABC的三条边长，且(“+8+c)(a-6)=

0,则△ABC一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不对

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；运算能力.

【分析】利用因式分解法得到4+〃+c=0或a-6=0,TfUa+h+c>0,所以a-〃=0,HPa

=b,从而可判断△ABC一定是等腰三角形.

【解答】解：V(a+b+c)Ca-b)=0,

.'.a+b+c=0或a-h=0,

'：a,b,c是△ABC的三条边长，

a+b+c>0,

.'.a-b=0,即a—b,

...△ABC一定是等腰三角形.

故选：A.

【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题.利用因式分解解决

证明问题；利用因式分解简化计算问题.

6.(2021春•西湖区校级期中)多项式f+ox+12分解因式为(x+m)(x+〃)，其中a,，〃，n

为整数，则。的取值有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【专题】整式；数感.

【分析】把12分解为两个整数的积的形式，“等于这两个整数的和.

【解答】解：12=1X12!!寸，“=1+12=13；

12=-IX(-12)时，-1+(-12)=-13；

12=2X6时，a=2+6=8；

12=-2X(-6)时，-2+(-6)=-8；

12=3X4时，“=3+4=7；

12=-3X(-4)时，-3+(-4)=-7；

：.a的取值有6个.

故选：D.

【点评】本题考查了用十字相乘法进行因式分解.能够得出相、〃之积为12,加、〃之和

为。是解题的关键.

7.(2020秋•澄海区期末)已知长方形的周长为16cm它两邻边长分别为XC771,ycm,且满

足(%->,)2-2x+2y+}=0,则该长方形的面积为()cm2.

A.皿B.C.15D.16

42

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【分析】由长方形的周长可以求出x+y=8①，再利用完全平方公式可以得出x-y=l②,

联立①②，解方程组即可得出x,y的值，最后求长方形的面积即可得出结论.

【解答】解：•••长方形的周长为16cm,

：.2(x+y)=16,

.♦.x+y=8①；

(x-y)2-2x+2y+\=0,

・•・(x-y)2-2(x-y)+1=0,

•*.(x-y-1)2=0,

Ax-y=l②.

联立①②，w(x+y=8.

Ix-y=1

，_9

x7

解得：7，

，长方形的面积5=巧，=旦x[=^(cm2'),

224

故选：A.

【点评】本题考查完全平方公式，解二元一次方程组，考查学生的计算能力，本题的关

键是把x-y看作一个整体，进行因式分解.

8.对任意一个两位数人如果〃满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称

这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得

到一个新两位数:把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（"）.例如"=23.互

换十位与个位上的数字得到32,所得的新两位数与原两位数的和为23+32=55,554-11

=5,所以/（23）=5.若s,f都是“相异数"，其中s=10x+3,/=50+y（1WXW9,1

WyW9.x,y都是正整数），当尸（s）+F（力=15时，则E他的最大值为（）

F（t）

A.2B.3C.HD.4

24

【考点】因式分解的应用.

【专题】新定义；运算能力.

【分析】先用含x的式子表示出F（s）,再用含y的式子表示出F（力，然后根据x和y

的取值求出最大值即可.

【解答】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为乩

’..尸10x+3.

・・・s'=30+x

：.F（s）=s+s'/3+llx

1111s+x

将f的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为

•>=50+y.

r'=10y+5.

：.F⑺=t+t，=55+lly

1111y

,:F(s)+FG)=15.

；.3+x+5+y=15.

，x+y=7-

.,.y=l-x.

•F(s)3+x3+x_3+x

F(t)5+y5+7-x12-x

y都是正整数.

最大为6.

.3+6_9_3

"12-6

故选：B.

【点评】本题主要考查数字的处理能力和计算能力，关键在于将尸(5)和F(r)用含X

和y的式子表示出来.

201201220|3

9.设a为实数，且_。+2=0,则(a+D'+(«+1)+(a+1)=()

A.3B.-3C.1D.-1

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题；分类讨论；因式分解；实数；数感；符号意识；运算能力；推理能力.

【分析】由已知等式用分组分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知识恒等变形，

求出符合条件的a+1的值为-1,再将-1代入式子中进行运算求出值为-1,即答案为D

【解答】解：•.•/+〃2-。+2=0,

(a3+l)+(a2-«+1)=0,

(a+1)(J-a+i)+(J-a+i)=o

(a2-a+\)(a+1+1)=0,

(a2-a+1)(a+2)=0,

.'.a+2—0,或/-4+[=0,

(1)若/-4+1=0时，

△=/-4ac—(-1)2-4X1X1=-3<0,

；。为实数，

...此一元二次方程在实数范围内无解；

(2)若a+2=0时，

变形得：。+1=-1…①

将①代入下列代数式得：

220,22013

(«+1)°"+(«+1)+(«+1)

=(_1)20"+(_])2012+(_])2013

=-1+1+(-1)

=-1

故选：D.

【点评】本题综合考查了因式分解中分组分解法，提取公因式法，多项式乘法法则，一

元二次方程的解法，乘方运算等相关知识点，重点掌握因式分解的运用，难点是分组分

解法因式分解，判定一元二次方程的根的存在性.

10.(2019秋•乐清市期末)如果x和y是非零实数，使得|x|+y=3和|川)，+4=0,那么x+y的

值是()

A.3B.^/13C.1-后D.4-A/13

2

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题；分类讨论；运算能力.

【分析】根据题意，结合2个式子可得|x|(3-1x1)+?=0,分x>0与x<0两种情况讨

论，求出x的值，由y=3-k|,求出y的值，相加即可得答案.

【解答】解：根据题意，|x|+y=3则y=3-|x|,

又由|x|y+x3=0,则有％(3-|x|)+/=由

分2种情况讨论：

①当x>0时，由|x|(3-|x|)+;?=0得至lj：x(3-x)+x3=0,

变形可得：x2-x+3=0,无解；

②当x<0时，由|x|(3-|x|)+/=0得到(-x)[3-(-x)]+『=0,

变形可得：/-x-3=0,

解可得：”=上乂亘或x=上位，(舍)

22

综合可得：x=-l:1。，则y=3-|x|=3+x,

2

x+y=3+2x=4-V13；

故选：D.

【点评】本题考查因式分解的应用，绝对值的化简计算，注意分类讨论团的值.

二.填空题(共10小题)

II.(2021•常德模拟)在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法

产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式)3因式分解的结果是(x-y)(x+y)

(/+『)，若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：(x-y)=0,(x+y)=18,(f+f)

=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4尸一孙2,取》=

11,y=12时，用上述方法产生的密码是113410(写出一个即可).

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；运算能力.

【分析】先因式分解，再代值计算.

【解答】解：4x3-xy2=x(4x2-y2)

=x(2x+y)⑵-y).

当x=ll,y=12时，各因式的值为：JC=11,2x+y=22+12=34.

2x-y=22-12=10.

产生的密码为：113410.

故答案为：113410.

【点评】本题考查因式分解的应用，正确因式分解是求解本题的关键.

12.(2021春•江北区校级期中)已知〃+b=4,ab=-2,则浸6-2/庐+江3=一48・

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；运算能力.

【分析】因式分解后整体代换求值

【解答】解：'：a3b-2a2b2+ab3=abCa2-2ab+b2)

=ab(a-b)2

=ab[(a+b)2-4ab]

=-2X(16+8)

=-48.

故答案为-48.

【点评】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键.

13.(2021春•西湖区校级期中)已知多项式/+松+〃能分解为(J+px+g)(X2+2X-3),则

p=-2,4=7・

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【专题】方程思想；因式分解：运算能力；推理能力.

【分析】把(f+px+g)(f+2x-3)展开，找到所有％3和7的项的系数，令它们的系数

分别为0,列式求解即可.

【解答】解：：(W+px+q)(X2+2X-3)—x^+pjc'+qx2'+2^'+2px1+2qx-3x2-3px-3q

—x4+(p+2)9+(q+2P-3)x2+(2q-3p)x-3q

=x4+nvc+n.

展开式乘积中不含r5、/项，

.JP+2=0,解得：fp=-2

Iq+2p-3=0Iq=7

故答案为：-2,7.

【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整

式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可.

14.(2018春•成都期末)己知/-2x-3=0,则，-/-5x+12=15.

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；数据分析观念.

【分析】由7-2%-3=0,贝1」/=2%+3,原式=x(2x+3)-x2-5x+12=2?+3x-?-5x+12

=7-2x+12,即可求解.

【解答】解：•••X2-2X-3=0,

.'.X2—2X+3,

.•.原式=》(2x+3)-X2-5X+12=2/+3X-，-5X+12=X2-2X+12=3+12=15,

故答案为15.

【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是将分解的因式与条件比

对，将条件代入后再继续分解.

15.(2018春•成都期中)若a=2009x+2007,6=2009x+2008,c=2009x+2009,贝U办庐恪

-ab-be-ca的值为3.

【考点】因式分解的应用.

【分析】根据已知条件可得a-匕=-1,b-c--I,c-a—2,SWcr+fr+c2--ab-be

-ca变形为』Ca-b)2+(…)2+&._a)州然后代入计算即可.

2

【解答】解：Va=2009x+2007,%=2009x+2008,c=2009x+2009,

••o,~h—^一1,h-c~~—1,c一〃=2,

cr+br+c1-ab-be-ca

=A(2«2+2i>2+2c2-2cib-2bc-2ca)

2

=—[(a-b)2+Cb-c)2+Cc-a)2]

2

=A(1+1+4)

2

=3.

故答案为3.

【点评】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，掌握完全平方公式以及整体代入

思想是解题的关键.

16.(2017秋•虎林市期末)多项式自2-9xy-10y2可分解因式得()式+2y)(3x-5y),则Z

=9,m=3.

【考点】因式分解-十字相乘法等.

【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于〃?，攵的等式求出答案即可.

【解答】解：Vfcr2-9xy-10)?=(，〃x+2y)(3x-5y),

AAx2-9xy-10y2=3/nx2-5twcy+6xy-lOy2,

.(3m=k

I-5m+6=-9

解得：。=9,

Im=3

故答案为：9,3.

【点评】此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键.

17.(2017春♦大邑县期末)已知7+x=3,则2015+Zx+x2-2/-2012.

【考点】因式分解的应用.

【专题】转化思想.

【分析】把代数式2015+2%+/-2?-/整理成含(W+x)的形式，进一步整体代入求得

数值即可.

【解答】解：♦；X2+X=3,

2015+2X+X2-2x^-x4

=-x2(x2+x)-x3+(W+x)+x+2015

=-3?-/+3+/2015

--x(x2+x)-2X2+3+X+2015

=-3x-2/+3+x+2015

=-2(/+x)+2018

--6+2018

=2012.

故答案是：2012.

【点评】本题考查了提公因式法分解因式，整理成已知条件的形式，利用整体代入求解

是解题的关键.

3

18.（2015春•青羊区校级月考）若〃3+3/+a=0,求_2a——=-上或。.

6,z.3,.---A-----

a+6a+10

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题.

【分析】用提公因式法对方程/+3/+4=0的左边因式分解得。（〃2+3a+i）=0则

或J+3a+l=0,当a=0时上式的值为零，当/+3〃+1=0时，可将每一项都除以“，得

到a+』=-3,上式分子分母中每一项都除以“3,分子为常数2,分母为。3+3+±,再

3

&aa

用立方和公式进行计算.

【解答】解：•.,。3+3。2+。=0,:.a（a2+3«+l）=0

.\a=0或J+3〃+l=0

n.3

当a=0时------〜-------的值为0.

6.u3.-1

a+6a+1

当“2+34+1=0时，每项都除以a得"+[=-3,将上式的分子分母同时除以/,分子为

a

常数2,分母为

«3+6+-^,

3

a

2

又•.*/+_1_=("+工)(/_1+_1,)=(什工)[(a+A)-3J=-3[9-3J=-18,

a3aa2aa

•2a3=2=_1

a‘+6a?+l-126

故6《的值为£或

【点评】用因式分解法将多项式分解，使多项式化简，灵活运用立方和公式.

19.(2019春•西湖区校级月考)已知7-2%-1=0,则3/-6x=3；则2?-77+4x-

2019=•

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题；整体思想；运算能力.

【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空

的解；

分解第二个因式后把-7x写成-4x-3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可

求得第二个空的解.

【解答】解：1=0,

.'.x1-2x=1,Zr2-4x=2,

：.3X2-6X=3(x2-2x)=3.

2?-7?+4x-2019=x(2x2-7x)+4x-2019

=x(2?-4x-3%)+4x-2019

=x(2-3x)+4x-2019

=2x-3x2+4x-2019

=-3f+6x-2019

=-3(7-2x)-2019

=-3X1-2019

=-2022.

故答案为：3,-2022.

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体思想的运用.

20.(2019春•嘉兴期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解

法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项/-J,因式分解的结果是(x-y)(x+y)

(f+y2),若取x=9,y=9时，则各个因式的值是：(x+y)=18,(x-y)=0,(x2+y2)

=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9/-个2,取》=

10,y=10时，用上述方法产生的密码是104020(答案不唯•)(写出一个即可).

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；数据分析观念.

32

【分析】9X-xy—x(9/-y2)—x(3x+y)(3x-y),当x=10,y=10时，密码可以是

10、40、20的任意组合即可.

【解答】解：9x3-xy2-x(9x2-y2)—x(3x+y)(3x-y),

当x=10,y=10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一.

【点评】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可.

三.解答题(共10小题)

21.(2020秋•泗水县期末)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释,

例如：图(1)可以用来解释M+2岫+必=Ca+b)2,实际上利用一些卡片拼成的图形面

积也可以对某些二次三项式进行因式分解.

如图(2),将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为，"的大正

方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且/»>«.(以

上长度单位：ent)

(1)观察图形，可以发现代数式2根2+5,”〃+2”2可以分解因式为(2〃?+”)；

(2)若每块小长方形的面积为IO。小,四个正方形的面积和为58a"2,试求图中所有裁

剪线(虚线部分)长之和.

图(1)

【考点】代数式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；全等图形.

【专题】阅读型；数形结合；符号意识.

【分析】(1)通过图形即可求得到；

(2)由题意可得〃?”=10,2〃？+2〃2=58,利用完全平方公式求出机+〃的值，即可求解.

【解答】解：(1)由图形可知，2层+5,〃〃+2〃2表示所有部分面积之和，整体来看面积为:

(2;Tt+n)(m+2n),

2nr+5mn+2n2=(2〃?+〃)(,

故答案为:(2/〃+〃)(m+2n)；

(2)由题意可知加〃=10,2"?2+2〃2=58,所有裁剪线(虚线部分)长之和为：6("+〃),

(，"+〃)2=nr+rr+2mn—29+20=49,

，所有裁剪线(虚线部分)长之和为：6(m+n)=42(cm).

【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式,

再由图形的特点求解是解题的关键.

22.(2021春•拱墅区校级期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称

这个正整数为“奇特数”，例如:8=32-I2,16=52-32,24=72-52；则8、16、24这

三个数都是奇特数.

(1)填空：32是奇特数,2018不是奇特数.(填“是”或者“不是”)

(2)设两个连续奇数是2〃-1和2〃+1(其中〃取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇

特数是8的倍数吗？为什么？

(3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形

ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.

【考点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用.

【专题】整式：运算能力.

【分析】(1)根据32=92-72,以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍

数，而2018=2X1009,不是8的整数倍，进行判断.

(2)利用平方差公式计算(2"+1)2-(2«-1)2=(2/J+1+2/?-1)(2/7+1-2«+1)=4〃

•2=8”，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；

(3)利用阴影部分面积为：S阴影瞰=992_972+952-932+912-892+-+72-52+32-I2,

进而求出即可.

【解答】解：⑴V8=32-l2,16=52-32,24=72-52；则8、16、24这三个数都是

奇特数，

...奇特数是8的整数倍，即8"("是正整数)，

：32=8X4=92-72,

二32是奇特数，

V2018=2X1009,不是8的整数倍，

...2018不是奇特数，

故答案为：是，不是；

(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，

理由：,/(2n+l)2-(2〃-1)2=(2n+l+2n-1)(2n+l-2n+l)=4〃・2=8〃，

由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.

(3)Siw部分=992-972+952-932+912-892+-+72-52+32-I2

=(99+97)(99-97)+(95+93)(95-93)+(91+89)(91-89)+•••+(7+5)(7-5)

+(3+1)(3-1)

=(99+97+95+…+3+1)X2

=(1+99)X50^2

2

=5000.

【点评】本题考查了正方形面积、新概念应用、平方差公式£-序=(«+*)(a-b)应

用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键.

23.(2021春•龙华区期中)(1)分解因式：-o?+6办-9a.

’2x-l_5x+l4

(2)解不等式组-§并把其解集在数轴上表示出来.

5x-l<C3(x+l)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不

等式组.

【专题】整式；运算能力.

【分析】(1)先提公因式-a,再用完全平方公式即可；

（2）分别解出两个不等式的解集，表示在数轴上，公共部分即为不等式组的解集.

【解答】解：（1）原式=-a（x2-6x+9）

=-a（x-3）2；

’2x-l5x+l不

（2）h-一厂41①，

,5x-l〈3（x+l）②

解不等式①得：Xe-1，

解不等式②得：X<2,

把不等式的解集表示在数轴上如图所示,

...原不等式组的解集为：-

—1-----j------------------------------->

^2O012V

【点评】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组，考核学生的计算能力，解不等式

时，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变.

24.（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践

下面是某同学对多项式（/-4x）（？-4x-10）+25进行因式分解的过程：