江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程A级必备知识基础练1.［探究点二］（多选题）已知在平面直角坐标系中,点,,为一动点,且,下列说法正确的是()A.当时,点的轨迹不存在B.当时,点的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当时,点的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当时,点的轨迹是以为直径的圆2.［探究点一］方程化简的结果是()A. B. C. D.3.［探究点二］如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是()A. B. C. D.4.［探究点一］（多选题）已知为椭圆上一点,,为椭圆的焦点,且,若,则椭圆的标准方程可以是()A. B. C. D.5.［探究点三］已知是椭圆上一点,，是椭圆的左、右焦点,若的内切圆半径的最大值为,,则的面积的最大值为()A.2 B. C. D.6.［探究点一］中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件:①椭圆一个焦点坐标为；②椭圆经过点,则椭圆的标准方程为.7.［探究点一］过点,且与椭圆有相同的焦点的椭圆的标准方程为.8.［探究点二］已知椭圆,点与的焦点不重合.若点关于的焦点,的对称点分别为,,线段的中点在上,则.9.［探究点一］求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点分别为,,经过点;（2）经过两点,.B级关键能力提升练10.（多选题）过已知圆内一个定点作圆与已知圆相切,则圆心的轨迹可以是()A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线11.已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为()A. B.C. D.12.如图,已知为椭圆的左焦点,为椭圆上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.13.已知为椭圆上的一点,,分别为圆和圆上的点,则的最小值为()A.5 B.7 C.13 D.1514.已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上.若,则,的大小为.15.已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则.16.动圆与定圆内切，与定圆外切，点的坐标为.（1）求动圆的圆心的轨迹方程；（2）若轨迹上的两点，满足，求的值.C级学科素养创新练17.在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,则.3.1.1椭圆及其标准方程基础落实·必备知识全过关知识点1椭圆的定义过关自诊1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C[解析]根据题意,得,①当时,满足椭圆的定义,可得点的轨迹为以,为焦点的椭圆；②当时,,点在线段上,点的轨迹为线段；③当时,,不存在满足条件的点.综上所述,点的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选.知识点2椭圆的标准方程过关自诊提示不一定，只需，即可，，的大小关系不确定.提示能.根据与的分母的大小来判定,哪个的分母大,焦点就在哪个轴上.3.4[解析]设所求距离为.在中,,所以,所以,所以.4.（1）解由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,,故椭圆的标准方程为.（2）由题意可设所求椭圆的标准方程为,且,把点的坐标代入,可得,故椭圆的标准方程为.重难探究·能力素养全提升探究点一求椭圆的标准方程角度1.待定系数法【例1】（1）解因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.因为,所以.又,所以.故所求椭圆的标准方程为.（2）因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.又椭圆经过点和,所以解得故所求椭圆的标准方程为.（3）（方法1）①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.依题意有解得故所求椭圆的标准方程为.②当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为.依题意有解得因为不满足,所以无解.综上可知,所求椭圆的标准方程为.（方法2）设所求椭圆的方程为,依题意有解得故所求椭圆的标准方程为.变式训练1（1）解由已知得,因此.又因为,所以.因为椭圆的焦点在轴上,所以所求椭圆的标准方程为.（2）因为椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为.由已知得.又因为,所以.因为点在椭圆上,所以,即.从而有,解得或（舍去）.因此,从而所求椭圆的标准方程为.角度2.定义法【例2】解圆和圆的圆心和半径分别为,；,.设动圆圆心为,半径为,由题意有,,.由椭圆的定义可知点在以,为焦点的椭圆上,且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.变式探究解设动圆圆心为，半径为.由圆与圆内切，得;由圆与圆内切，得.则.则点轨迹是以，为焦点的椭圆,且,即,,则.故动圆圆心的轨迹方程是.探究点二对椭圆标准方程的理解【例3】（1）B[解析]依题意有解得或,即实数的取值范围是.（2）[解析]由题意知,将椭圆方程化为,依题意有解得,即实数的取值范围是.变式训练2[解析]方程化为,依题意应有,解得或.探究点三椭圆中的焦点三角形问题【例4】[解析]如图,由,知,,.所以,,.所以.设,则.因为,所以.所以.所以.变式训练3（1）解由题意知,在椭圆上,故有,,,的周长为,的周长为20.（2）如果不垂直于轴,的周长仍为20不变.理由：,和与轴是否垂直无关.本节要点归纳分层作业A级必备知识基础练1.AC[解析]当时,,故点的轨迹不存在,故正确；当时,,故点的轨迹是椭圆,且焦距为,故错误,正确；当时,,故点的轨迹为线段,故错误.2.D[解析]方程表示平面内到定点,的距离的和是常数的点的轨迹,它的轨迹是以,为焦点,长轴,焦点的椭圆,,,,椭圆的方程是,即为化简的结果.3.D[解析]由题意可得,方程表示焦点在轴上的椭圆,所以,,并且,解得.故选.4.BC[解析]由已知,所以.因为,所以.所以.故椭圆的标准方程是或.故选.5.A[解析]如图,由题意可得,,,设的内切圆半径为,所以.因为的内切圆半径的最大值为,所以.因为,所以,可得.又因为,由,求得,所以的面积.故选.6.[解析]由条件①可得椭圆的焦点在轴上,且,所以,①则可设椭圆方程为,代入点,得,②由①②可得,,所以椭圆的方程为.7.[解析]椭圆的焦点为,设椭圆方程为,则有,①再代入点,得,②由①②解得,.则所求椭圆方程为.8.12[解析]如图,取的中点,在椭圆上,因为点关于的焦点,的对称点分别为,,故有,,所以.9.（1）解（方法1）因为椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为.由椭圆的定义知,所以.又,所以.所以椭圆的标准方程为.（方法2）因为椭圆的焦点在轴上,所以可设其标准方程为.由题意得解得所以椭圆的标准方程为.（2）（方法1）若椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为.由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为.同理可得,焦点在轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为.（方法2）设椭圆的一般方程为.将两点,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为.B级关键能力提升练10.AB[解析]如图,设已知圆的圆心为,半径为,圆内的定点为,动圆的半径为.若点与点不重合,由于两圆相内切,则,由于,,即.动点到两个定点,的距离和为常数.为圆内的定点,.动点的轨迹为椭圆.若,重合为一点,则此时动点的轨迹为以为直径的圆.11.A[解析]依题意得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其标准方程为,则，，从而.又，，三点不共线，点不在轴上，点的轨迹方程为.故选.12.C[解析]由题意可得,设右焦点为,连接,如图,由知,,,,,即,在中,由勾股定理,得,由椭圆的定义,得,从而,,于是,椭圆的方程为.13.B[解析]由题意知椭圆的两个焦点,分别是两圆的圆心,且,从而的最小值为.14.2;[解析]由,且，知.在中，.故.15.3[解析]由题意得，,,,,,.16.（1）解如图，设动圆的半径