数学第七版上册第七版第一章 不等式与集合

第一章不等式与集合1.1不等式的性质与解集1.2一元一次不等式（组）1.3一元二次不等式1.4

含有绝对值的不等式

1.用数轴上的点表示实数并比较大小.

2.应用不等式性质比较大小.

3.不等式解集的表示.教学重点1．1不等式的性质与解集教学目标应用不等式性质比较大小.教学难点数形结合教学方法理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数并比较大小.

理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小.

理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表示不等式的解集.

理解区间的概念,掌握区间与集合表示的相互转换.

实数的大小1．1不等式的性质与解集我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对应关系(图1—1).例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的实数就从小到大变化.

数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大.

例题解析1．1不等式的性质与解集例题解析1．1不等式的性质与解集知识巩固11．1不等式的性质与解集不等式的性质1．1不等式的性质与解集从实数大小的基本性质出发,可以得到不等式的性质:

不等式的性质——例题解析1．1不等式的性质与解集知识巩固21．1不等式的性质与解集集合——实例考察1．1不等式的性质与解集集合——定义1．1不等式的性质与解集不等式的解也被称为解集.实例考察中,第(1)题的解集是自然数0,1,2组成的全体,第(2)题的解集是小于2的实数组成的全体.

所谓解集就是解的集合.一般地,某些指定的对象组成的全体就是一个集合

(简称集).集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示.

集合中的每个对象都称为这个集合的元素.集合的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.

集合中的元素必须是确定的.如果给定一个集合,则任何一个对象是否为其中的元素应可明确判断.集合——常用数集表1．1不等式的性质与解集集合名称记法全体自然数组成的集合称为自然数集N全体非零自然数组成的集合称为正整数集N*或N+全体整数组成的集合称为整数集Z全体有理数组成的集合称为有理数集Q全体实数组成的集合称为实数集R我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.例如,方程x2+2=0没有实数解,因此,方程x2+2=0的实数解组成的集合就是∅.

使不等式成立的未知数的全体组成的集合,就是不等式的解集.知识巩固31．1不等式的性质与解集集合——表示方法1．1不等式的性质与解集集合——例题解析1．1不等式的性质与解集集合——例题解析1．1不等式的性质与解集知识巩固41．1不等式的性质与解集区间——定义1．1不等式的性质与解集区间——定义1．1不等式的性质与解集区间——例题解析1．1不等式的性质与解集知识巩固51．1不等式的性质与解集1．2一元一次不等式(组)解一元一次不等式组教学难点边讲边练法教学方法一元一次不等式的解法

教学重点理解一元一次不等式(组).

熟练运用不等式的性质解一元一次不等式与一元一次不等式组.

通过对不等式性质与求解不等式的学习,提高学生的计算技能.教学目标｛1．2一元一次不等式(组)一元一次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.1．2一元一次不等式（组）一元一次不等式我们在初中已经学过一元一次不等式的解法,利用不等式的性质,将不等式逐步化成x<a(或x>a)的形式.基本步骤是:去分母→去括号→移项→合并同类项→将系数化为1.

由于实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此不等式的解集可以在数轴上直观地表现出来.

1．2一元一次不等式（组）例题解析1．2一元一次不等式（组）知识巩固11．2一元一次不等式（组）一元一次不等式组一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组.

不等式组的解集不等式组中各不等式的解集的公共部分.

一元一次不等式组解法的基本步骤:

(1)求出不等式组中各不等式的解集;

(2)分别作出各不等式的解集的数轴表示,找出公共部分,得到不等式组的解集(若公共部分不存在,则不等式组的解集为空集).

1．2一元一次不等式（组）用数轴表示不等式组的解1．2一元一次不等式（组）例题解析1．2一元一次不等式（组）例题解析1．2一元一次不等式（组）例题解析1．2一元一次不等式（组）知识巩固21．3一元二次不等式利用一元二次函数的图像求解教学难点讨论法、启发法教学方法一元二次不等式的图像解法

教学重点｛经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系．理解一元二次不等式的解题流程，会解一元二次不等式．通过本节内容的学习，培养学生的观察能力和计算能力．教学目标1．3一元二次不等式1．3一元二次不等式一元二次不等式的概念及解法

不等式中只含有一个未知数，且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式.他的一般形式是一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表1．3一元二次不等式1．3一元二次不等式例题解析1．3一元二次不等式例题解析1．3一元二次不等式例题解析1．3一元二次不等式知识巩固1．3一元二次不等式知识巩固1．3一元二次不等式知识巩固1．3一元二次不等式探究1．3一元二次不等式探究1．3一元二次不等式实践活动

如果你是一名设计师，你能完成下面的任务吗？学校计划在一块长40米，宽30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉，花卉带的宽度均为x米，中间铺设草坪（图1—3）.要使草坪的面积不少于总面积的一半，则花卉带的最大宽度是多少？图1—31.3一元二次不等式由图1—3可知草坪的长为（40-2x）米，宽为（30-2x）米.因此，草坪的面积为S＝（40－2x）（30－2x）要求草坪的面积不少于总面积的一半，即S≥12×40×30（40-2x）（30-2x）≥12×40×30整理得

x2－35x＋150≥0这是一个关于x的不等式，求出满足这个不等式的解集，是解决问题的关键.“变量替换”（即“换元法”）方法的理解与运用教学难点讲授法教学方法1.4含有绝对值的不等式

求解不等式与教学重点经历从实际情境中抽象出含有绝对值的不等式模型的过程．会求解简单的含有绝对值的不等式．通过对含有绝对值的不等式的学习，培养学生的计算能力与数学思维能力．｛教学目标1.4含有绝对值的不等式1.4含有绝对值的不等式绝对值不等式的概念及解思考：①不等式｜x｜＜0和｜x｜≥

0的解集分别是什么？

②若a＜0，则｜x｜＜a和｜x｜≥

a的解集分别是什么？

类似实例考察中得到的不等式还有很多，比如

等.像这样的不等式称为含有绝对值的不等式.1.4含有绝对值的不等式例题解析1.4含有绝对值的不等式例题解析1.4含有绝对值的不等式知识巩固一个重要的不等式不等式是很多实际问题的反映，某些不等式还是解决某类数学问题的重要工具，这里所介绍的不等式

≤（a>0，b>0）就能起到这样的作用，它的推导十分简单，也有明确的几何意义，用于解决诸如求最大值、最小值等实际问题，能收到事半功倍的效果，因此这是一个重要的不等式。不等式

≤

（a>0，b>0）的导出专题阅读1．代数方法导出你一定已经知道，任何实数的平方不小于0，即对于任意实数x，y，必定有（x-y）2≥0，当且仅当x=y时等号成立，将（x-y）2≥0的左边展开得x2-2xy+y2≥0移项得

x2+y2≥2xy这表明对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy①当且仅当x=y时，等号成立。专题阅读特别地，当a>0，b>0，我们用

，

分别代替x、y，则不等式①变为a+b≥2，即≤

（a>0，b>0）②不等式②右边称为a，b的算术平均值，左边称为a，b的几何平均值。因此，不等式②表达的结论为：任何大于零的实数的几何平均值不超过算术平均值.专题阅读2．几何方法导出来做一个试验：用硬纸板做四个全等的直角三角形，设两条直角边的长度分别为x，y，则斜边长c=.现在把它们拼成一个如图a那样边长是c的正方形，当x=y，即四个直角三角形均为等边直角三角形时，这种拼接将不留缝隙（图b）.否则将会留下一个空腔（图a）.四个直角三角形的面积和为2xy，用它们拼成的正方形面积为c2=x2+y2，观察并分析图a和图b，容易得到结论：x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时等号成立.这正是用代数方法得到的不等式①.余下的证明过程就同“代数方法导出”的相关部分一样了.专题阅读图b图a专题阅读想一想四个全等直角三角形按图a、图b方式折叠一定是一个正方形吗？不等式

≤

（a>0，b>0）的应用当a，b的和一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的几何平均值

取最大值：当a，b的积一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的算术平均值取最小值.利用这个特性，可以很方便地解决一些求最大（小）值的实际问题.专题阅读例1用一根长为20厘米的铁丝做一个矩形框，这个矩形的长、宽各为多少时，铁丝框的面积最大？最大面积是多少？专题阅读

设矩形的长为x厘米，宽y厘米，则2（x+y）=20即

=5显然，矩形框的面积为xy厘米2.根据不等式②有

≤

，得xy≤25，当且仅当x=y=5时，等号成立，即面积达到最大。所以当矩形的长和宽均为5厘米，即把铁丝折成一个边长为5厘米的正方形框时，铁丝框的面积最大，为25平方厘米.解例2做一个体积为32立方厘米、高为2厘米的长方形无盖纸盒，底面的长和宽取什么值时用纸最省？最省用纸量是多少？

设底面长为x厘米，宽为y厘米，纸盒需用纸为S平方厘米.依题意

S=2（2x+2y）+xy=4（x+y）+xy已知体积的数