第六章 控制系统的设计和校正

第六章控制系统的校正§6.1概述一.系统校正在控制系统中引入附加装置（常称为校正装置）使控制系统的性能满足给定的指标。二.系统的校正方式校正方式可以分为串联校正、反馈校正、前置校正和干扰补偿等。

串联校正和反馈校正是最常见的两种校正方式。——校正装置与给定系统的联接方式。1.串联校正——校正装置串联在系统的前向通道中串联校正装置包括：超前校正装置、滞后校正装置、滞后-超前校正装置、PID校正装置2.反馈校正——校正装置设置在系统的局部反馈回路的反馈通道上。4.干扰补偿3.前置校正§6.2串联超前校正一.超前校正装置频率特性为：传递函数：()转折频率：ω1＝、ω2＝相频特性：相频曲线具有正相角，即校正装置输出的相位超前于输入，故称为超前校正装置。令，得最大超前相角及对应的角频率为而、说明：ωm是ω1与ω2的几何中心！11010010000°45°90°α↑:↑；一般希望大当,；当,增加不多，而校正装置的实现较困难。一般取。RC超前校正网络传递函数：令，则L(ω)Lc(ω)γγ′ωc二.串联超前校正的原理串联超前校正的原理：利用最大超前相角使校正后系统的相位裕量得到提高：使校正后系统的幅穿频率等于超前校正装置的中心频率，即校正装置的超前相角使校正后系统的γ增大，提高了系统的相对稳定性；校正后系统的幅穿频率增大，系统的快速性提高；校正后系统高频增益提高，不利于抑制高频干扰。串联超前校正的优缺点：三.串联超前校正的设计步骤(1)根据给定的系统稳态误差要求，确定开环增益K；(2)利用已知的K值，绘制未校正系统的Bode图；(4)确定(=ωm)、α：分两种情况若对校正后的幅穿频率已提出要求，则即(3)求出未校正系统的幅穿频率ωc和相位裕量γ。令则若对校正后的幅穿频率未提出要求，则根据给定的相位裕量γ′，首先求出：式中△——随ω增加,相角减小而留的裕量(5~12°)。由，可求得α。(5)确定校正装置的传递函数。式中：(6)画出校正装置及校正后系统的Bode图。若满足要求，校正结束！否则从第(4)步起重新设计，一般使(或)的值增大，直至满足全部性能指标。(7)验证校正后的系统是否满足给定的指标要求。例设单位反馈系统的开环传递函数为要求系统的静态速度误差系数相角裕量试确定串联超前校正装置。解(1)由Kv＝100可知，K=100。(2)作出校正前系统的Bode图。转折频率：ω＝10当ω＝1时，L(ω)＝20lgK＝40dBL(ωc)＝20－40×（lgωc－lg10）＝0故ωc＝31.6(不满足要求)(3)求校正前系统的幅穿频率ωc和相位裕量γ。L(ω)γ20400-20110ωc－20dB/dec－40dB(4)定ωm、α。超前校正装置需要提供的最大超前相角：(5)确定校正装置的传递函数。校正装置的两个转折频率：ω1＝20.8，ω2＝125由Bode可知：校正后系统的幅穿频率：γ20400-20110ωc－20dB－40dB-7.78L0(ω)Lc(ω)(6)绘制校正后系统的Bode。校正后系统的传递函数为：校正后系统的性能指标：(7)验证校正后系统的性能指标。指标满足要求，校正结束！γ20400-20110ωc－20dB－40dB-7.78L0(ω)Lc(ω)20dBL(ω)7.78γ′numg=[100];deng=[0.1,1,0];[num,den]=cloop(numg,deng,-1);[mag,phase,w]=bode(numg,deng);[Gm,Pm,wg,wc]=margin(mag,phase,w)numg1=conv([100],[0.048,1]);deng1=conv([10],conv([0.11],[0.008,1]));[num1,den1]=cloop(numg1,deng1,-1);[mag1,phase1,w]=bode(numg1,deng1);[Gm1,Pm1,wg1,wc1]=margin(mag1,phase1,w)step(num,den)holdonstep(num1,den1)MATLAB串联超前校正的不足之处：(1)当未校正系统的相角裕量和要求的相角裕量相差很大时，

很大(大于60°)，则α就很大(大于20)，实际实现比较困难；(2)当未校正系统的相角在所需的幅穿频率附近急剧向负值增大时，采用串联超前校正效果不大，此时应考虑其他类型的校正装置。一.滞后校正装置§6.3串联滞后校正传递函数：频率特性为：转折频率：ω1＝、ω2＝相频特性：转折频率：，ωm是ω1与ω2的几何中心！滞后校正装置对低频信号不产生衰减。

β值愈小，抑制高频噪声的能力愈强，一般取：β=0.1。滞后校正装置主要是利用其高频幅值衰减特性。RC滞后校正网络传递函数：令：，二.串联滞后校正的原理利用滞后装置的高频幅值衰减特性，使校正后系统的幅穿频率下降，即，从而增大系统的相位裕量γ，减小动态响应的超调量。

但是，幅穿频率的减小，使系统的带宽降低，系统对输入信号的响应速度也降低了。L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125γ′γ()ω2ω1Lc(ω)－40dB－20dBωm三.串联滞后校正的适用情况(1)当未校正系统的相角裕量和要求的相角裕量相差很大时，

很大(大于60°)，则α就很大(大于20)，实际实现比较困难；(2)系统的动态性能保持不变，只改善系统的稳态性能。四.串联滞后校正的步骤例设单位反馈系统的开环传递函数为试设计串联滞后校正装置，使校正后的系统满足下列指标：K≥100，γ≥45°。用例题来说明解：(1)确定K的值，可由稳态性能指标确定。转折频率：ω1＝25当ω＝1时，L(ω)＝20lgK＝40dB(2)绘出未校正系统的Bode图。低频段：斜率－20dB/dec相频特性：取K＝100L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125∴L(25)＝40－20×lg25＝12.04dB故ωc＝50(不满足要求)L(ωc)＝12.04－40×（lgωc－lg25）＝0(3)求校正前系统的幅穿频率ωc、相位裕量γ∵L(1)＝40dB(4)确定校正后系统的幅穿频率。分析——未校正的系统在处的相位裕量；γ′——校正后的系统的相位裕量；ε——滞后校正装置在处的相角；(-5°～－15°)而L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125γ′γ()(5)确定β。未校正系统在处的幅值：而要使得校正后系统的幅穿频率在处,必须：则：β=0.2而L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125γ′γ()(6)确定T，并求出滞后校正装置的传递函数Gc(s)通常，为保证滞后校正装置在处的相角对系统的相角影响很小，滞后校正装置的第二个转折频率按下式来确定：T=2.4滞后校正装置的传递函数:L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125γ′γ()ω2ω1Lc(ω)ωm(7)做校正后系统的Bode图（＝校正前＋校正装置）。校正后系统的传递函数：校正后系统的相位裕量：满足要求，校正结束！(8)验证校正后的性能指标，若满足要求，则校正结束！否则，从第6步重新计算。L(ω)γ20400-200.1ωc－20dB－40dB125γ′γ()ω2ω1Lc(ω)－40dB－20dB%校正前numg=[100];deng=[0.04,1,0];sys=tf(numg,deng);[Gm,Pm,wg,wc]=margin(sys)MATLAB%校正后numg1=[48,100];deng1=conv([1,0],conv([0.04,1],[2.4,1]));sys1=tf(numg1,deng1);[Gm1,Pm1,wg1,wc1]=margin(sys1)%校正前的阶跃响应与校正后阶跃响应对比[num,den]=cloop(numg,deng);step(num,den)holdon[num1,den1]=cloop(numg1,deng1);step(num1,den1)MATLAB

例设单位反馈系统的开环传递函数为假设其动态性能已满足要求，但速度输入时系统的误差过大，要求设计串联校正装置，在维持系统的动态性能基本不变的情况下，使速度误差系数Kv＝10。解绘制未校正系统的对数幅频特性曲线。转折频率：2、10当ω=1，L(ω)＝20lg1＝0dB可见，幅穿频率为ωc0＝1相位裕量：L(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102－60dB要使Kv＝10，可将G0(s)增益增大10倍；此时开环传递函数为其对数幅频特性为原系统的对数幅频特性向上平移20lg10＝20dB幅穿频率：20－20lg2－40(lgωc1－lg2)＝0ωc1＝4.47仅提高K，使系统动态性能变坏，甚至不稳定。说明L0(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102－60dBL1(ω)ωc1-40要使校正后基本维持原系统的动态性能，即校正后在ωc0＝1附近，γ在γ0＝58°附近。而ωc0<ωc1，所以可选滞后校正。令校正后系统的幅穿频率＝ωc0＝1，则L0(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102－60dBL1(ω)ωc1-40为了使滞后网络的滞后相角对处相角影响较小，取T＝50校正装置的传递函数为：此时校正装置在处产生的滞后相角为对动态过程影响较大！还需重新定T值。L0(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102－60dBL1(ω)ωc1-400.20.02Lc(ω)L0(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102－60dBL1(ω)ωc1-400.20.02L(ω)校正后Lc(ω)ω1ω2T＝100校正装置的传递函数为：此时校正装置在处产生的滞后相角为相位裕量基本维持不变。若取校正后系统的传递函数为：系统的开环增益提高了10倍，满足了稳态误差的要求，同时，系统的动态性能也基本维持不变。校正后系统的Bode图如下所示。L0(ω)20400-200.1ωc0－20dB－40dB1102L1(ω)ωc1-400.20.01L(ω)校正后Lc(ω)ω2ω1§6.4串联滞后-超前校正滞后－超前校正装置的传递函数：滞后超前（α>1）频率特性：转折频率：滞后－超前校正装置Bode图－20+20串联滞后－超前校正的优点将滞后部分设置在低频段，利用滞后部分的高频幅值衰减特性提高系统的稳态性能；将超前部分设置在中频段，利用超前相角提高系统的相位裕量，同时使频带变宽，改善系统的动态性能。例6－6设单位反馈系统的开环传递函数要求设计校正装置使系统满足：Kv≥10，γ≥50°，下面以例说明滞后－超前校正过程Kg(dB)≥10dB。解(1)根据稳态误差的要求，确定开环增益K；由Kv≥10，可知K≥10，取K＝10。绘制未校正系统的Bode图。转折频率为：1、2当ω=1，L(ω)＝20lg10＝20dB因为：L(2)＝20－40lg2＝8dBL(ωc)＝7.96－60×（lgωc－lg2）＝0故ωc＝2.7L(ωg)＝20－40×lgωg＝14dBKg(dB)＝－L(ωg)＝－14dB系统不稳定！需要校正。L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγωg14(2)确定校正后系统的幅穿频率；根据要求的性能指标选择合适的。一般可选未校正系统的相穿频率ωg作为校正后系统的幅穿频率。选，所需提供的超前相角约为50°。L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγ14ωg(3)确定超前校正部分的参数；滞后超前（α>1）未校正系统在处对数幅值为14dB，因为L()＋Lc()＝0，故Lc()＝－14dB过点，Lc()＝－14dB点做斜率为20dB/dec的直线，该直线与0dB的交点即为超前校正部分的第二个转折频率。L(ω4)＝－14＋20(lgω4－lg)＝0ω4＝7L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγ14-14ω4注意T2的选择要保证校正后的幅穿频率落入超前部分，不一定按超前校正方法要求等于最大超前角所对应的频率ωm。

选择α＝10，超前部分的传递函数为：L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγ14-14ω4ω3(4)确定滞后校正部分的传递函数；滞后超前（α>1）滞后部分的第二个转折频率ω2远小于校正后的幅穿频率，一般。取，则滞后部分的传递函数为：L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγ14-14ω4ω3ω2ω1(5)滞后－超前校正装置的传递函数(6)校正后系统的开环传递函数为验证指标：γ=50°,Kg＝16dB，Kv＝10L(ω)20400-200.01ωc－20dB－40dB0.11102－60dBγ14-14ω4ω3ω2ω1γ′numg=10;deng=conv([10],conv([11],[0.51]));[num1,den1]=cloop(numg,deng);t=0:0.1:20;subplot(2,1,1)step(num1,den1,t)gridnumc=10*conv([1.43,1],[7.141]);denc=conv([1,0],conv([11],conv([0.51],conv([0.1431],[71.41]))));[num2,den2]=cloop(numc,denc);subplot(2,1,2)step(num2,den2,t)gridMATLAB对最小相位系统，对数幅频曲线足以代表整个频率特性和全部动态性能和稳态性能。§6.6按期望对数幅频特性进行串联校正校正思路：规定的性能指标→期望对数幅频特性Le(ω)→校正装置的对数幅频特性Lc(ω)→校正装置Gc(s)校正步骤：(1)在K值已知的情况下，绘制未校正系统的对数幅频特性曲线；(2)绘制期望的对数幅频特性曲线；(3)将期望的对数幅频特性减去未校正系统的对数幅频特性，得到串联校正装置的频率特性；(4)进行验证，若不满足要求，在第(2)步调整期望特性的有关参数，直到满足为止。即Lc(ω)＝L期望(ω)－L(ω)（1）低频段：

按稳态性能要求，确定系统的型号和开环增益K。绘制期望的对数幅频特性曲线方法（Page206）（3）低、中频之间的过渡段：

斜率与前、后频段相差-20dB/dec。（4）高频段：

尽可能与未校正系统重合，以简化校正装置；（5）中、高频之间的过渡段：一般斜率取-40dB/dec。（2）中频段：

按动态性能确定幅穿频率，使中频段斜率为-20，并具有一定的宽度。例6－7(Page206)设未校正系统的开环传递函数为试设计串联校正装置，使系统满足Kv≥180，γ≥40°，3<ωc<5rad/s。解(1)取K＝180，绘制未校正系统的Bode图。转折频率为：ω＝2、6当ω＝1时，L(ω)＝20lgK＝20lg180＝45dBL(2)＝45－20lg2＝39dBL(6)＝39－40（lg6－lg2）＝20dBL(ωc)＝27－60（lgωc－lg6）＝0ωc=12.9rad/sL(ω)2040-200.01ωc－20dB－40dB0.1110－60dB60802645(2)确定期望对数幅频特性曲线。①低频段：根据稳态误差的要求，期望曲线与未校正系统重合；②中频段：由3<ωc<5rad/s，取＝3.5，斜率为－20dB/dec。第二个转折频率不宜接近幅穿频率，通常选择取过渡段(低频向中频过渡段):斜率为－40dB/dec第一个转折频率取二者的交点频率L(ω)2040-200.01ωc－20dB－40dB0.1110－60dB608026453.50.7ω2－20dB－40dBω1③高频段：尽量接近未校正系统。过渡段(中频向高频过渡段):斜率为－40dB/dec第一个转折频率取ω3＝6rad/s第二个转折频率取过渡段与未校正曲线的交点ω4＝105rad/sL(ω)2040-200.01ωc－20dB－40dB0.1110－60dB608026453.50.7ω2－20dB－40dBω1ω3ω4－40dB0.014105L期望(ω)(3)画校正装置的对数幅频特性曲线，并写出其传函。根据串联校正特点：Lc(ω)＝L期望(ω)－L(ω)根据所绘制的校正装置的Bode图，可得其传递函数：即L(ω)2040-200.01ωc－20dB－40dB0.1110－60dB608026453.50.7ω2－20dB－40dBω1ω3ω4－40dB0.014105L期望(ω)-40Lc(ω)(4)验证校正后系统的相位裕量满足性能指标要求，校正结束。numg=180;deng=conv([10],conv([0.51],[0.1671]));[num1,den1]=cloop(numg,deng);t=0:0.1:20;subplot(2,1,1)step(num1,den1,t),gridnumc=conv([180],[1.431]);denc=conv([10],conv([0.1671],conv([71.41],[0.00951])));[num2,den2]=cloop(numc,denc);subplot(2,1,2)step(num2,den2,t),grid[mag1,phase1,w1]=bode(numg,deng);[Gm1,Pm1,wq1,wc1]=margin(mag1,phase1,w1)[mag2,phase2,w2]=bode(numc,denc);[Gm2,Pm2,wq2,wc2]=margin(mag2,phase2,w2)§6.7反馈校正反馈校正是采用局部反馈包围系统前向通道中的一部

分环节。其结构框图为：反馈校正的优点：(1)反馈校正能有效地改变被包围环节的动态结构和参数；(2)在一定条件下，反馈校正装置的特性可以完全取代被包围环节的特性。用频率特性法设计反馈校正分析局部反馈部分的传递函数为整个系统的开环传递函数为频率特性：若选择结构参数，使此时，系统的特性几乎与被反馈包围的环节G2(jω)无关，校正装置起作用。或当或此时，反馈校正几乎不起作用。结论例6－8试确定图示系统满足下列性能指标时的反馈校正装置，要求相角裕量，幅穿频率10<ωc<30，速度误差系数Kv

=200。解（1）根据稳态精度的要求，确定开环增益K，绘制未校正系统的开环对数幅频特性曲线L0(ω)，求出未校正时的有关指标。令K＝Kv＝200，未校正系统开环传递函数为：频率特性为：转折频率为：ω＝10、100rad/s当ω＝1时，L(ω)＝20lgK＝20lg200＝46dBL(ω)2040-200.1ωc－20dB－40dB110－60dB608046100L(10)＝46-20lg10=26dBL(ωc)＝26－40（lgωc－lg10）＝0ωc=44.7（2）按系统性能要求绘制期望对数幅频特性L期望(ω)：低频段：根据稳态误差要求与未校正系统低频段重合。中频段：斜率为－20dB/dec，取幅穿频率＝25rad/s低频到中频过渡段：斜率为－40dB/dec转折频率ω2＝8ω1＝1中频到高频过渡段：取交点频率为