组合与组合数公式

组合与组合数公式组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排''，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法Cm~n组合数公式乘积式Amn(n—1)(n—2)・・・(n—m+1)Cm=n=nAm m!阶乘式n!_Cm一.Z 、［nm!(n—m)!性质Cm=L，Cm=Cm+C^n n n+1 n n备注①n，mEN*且mWn；②规定：以=1nO判断正误(正确的打"""，错误的打"X")从气，气，气三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C2.()从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C2个积.()4C3=5X4X3=60.()5C2016=C1=2017.()TOC\o"1-5"\h\z2017 2017答案：(1)”(2)V(3)X(4)V&若A3=8C2，则n的值为()n n6 B.7C.8 D.9答案：A计算：(1)C3=；(2)Cj8=.答案：(1)35 (2)1900甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有种.解析：车票的票价有C2=3种.3答案：3探究点1组合概念的理解例1判断下列问题是排列问题，还是组合问题.从1,2,3,…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题.取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题.甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题.发信人与收信人是有区别的，是排列问题.判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.•跟欧训线•判断下列问题是排列问题还是组合问题：把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关.是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的.是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序.

探究点2组合数公式、性质的应用例2计算下列各式的值.(1眺-捋 (”+""•••+%⑶Cn-n+Cn+n・【解】(1)3C3-2C(1眺-捋 (”+""•••+%⑶Cn-n+Cn+n・【解】(1)3C3-2C2=3X8X7X6 5X43X2X1-2X2X1=148-(2)利用组合数的性质Cm+1=Cm+Cm-1,则C3+C3+C3——C34 5 6 10=C4+C3+C3——C3-C44 5 10 4=C4+C3 C3-C4=5 10 4=C4-1=329.11(一5-nWn,(3)5—nN0,c—…解得4WnW5.9—nWn+1,l9-n^0,又因为nEN*，所以n=4或n=5.当n=4时，原式=C1+C5=5.45当n=5时，原式=Co+C4=16.56［变条件］若将本例(2)变为：C5+C5+C7+C8+C9+C50,如何求解?解：原式=(C6+C5)+C5+C5+C5+C56 6 7 8 9 10=(C6+C5)+C5+C5+C5=…77 8910=C6+C5=C6=C51010111111X10X9X8X7= =4625X4X3X2X1关于组合数公式的选取技巧nn⑴涉及具体数字的可以直接用Mnn⑴涉及具体数字的可以直接用MCm-1=M(n—1)!进m!(n-1-m)!m!(n-m)!n!行计算.n!⑵涉及字母的可以用阶乘式『札"耻n!⑵涉及字母的可以用阶乘式『札"耻计算.(3)计算时应注意利用组合数的性质Cm=Cn-m简化运算.nn旦踝踪g1.C8+C980C7=解析：C8+C98oC7=C8+C2oox1

8X7X6=3X2X1*100X998X7X6=3X2X1*100X99

2X1=56+4950=5006.答案：5006TOC\o"1-5"\h\z若C2+C2+C2——C2=363,则正整数n= .3 4 5 n 解析：由C2+C2+C2 C2=363,345 n得1+C2+C2+C2 C2=364,345 n即C3+C2+C2+C2 C2=364.3345 n又Cm+CmT=Cm，则nn n+1C3+C3+C4+C5+—C2=C|+C4+C5+—C2=C3+C2+C2—C2=…=C3+1，所以C3+1=364,(n+1)n(n—1) ,化间可得 QV9V1 =364，3X2X1又n是正整数，解得n=13.答案：13解方程:C1n+6=C4n-2.解：由原方程及组合数性质可知，3n+6=4n—2，或3n+6=18—(4n—2)，所以n=2，或n=8，而当n=8时，3n+6=30>18，不符合组合数定义，故舍去.因此n=2.探究点3简单的组合问题例3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，10X9个元素的组合数，10X9小即C20=1XT=45种.(2)可把问题分两类情况:第1类，选出的2名是男教师有C2种方法；6第2类，选出的2名是女教师有C2种方法.4根据分类加法计数原理，共有C2+C2=15+6=21种不同选法.64⑶从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法有C2种，根据分步乘法计数原理共有不同的诜法C2XC2=6X5X4X3=90^刁7VA/I亢人/AT'七匕，/、月,IIfPJVAU2八U2c［八 hU/|T.6 42X12X1

［变问法］本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C1Ci种，2男0女有C2种.由分类加法计数原理知有C1C1+C2=39种.最多有1名男教师包括两类：1男1女有CiCi种，0男2女有q种.由分类加法计数原理知有C1C1+C2=30种.解简单的组合应用题的策略解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.［注意］在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.•咒％训纬某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C2=30(场).6半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A2=4(场).决赛只需比赛1场，即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场).下面几个问题属于组合的是()由1，2，3,4构成双元素集合；5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；由1，2，3构成两位数的方法；由1，2,3组成无重复数字的两位数的方法.B.②④D.B.②④D.①②④C.①②

解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题.若C%=C斜-3，则n等于（）A.3 B.5C. 3或5 D.15解析：选C.由组合数的性质得n=2n-3或n+2n—3=12，解得n=3或n=5，故选C.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为.（用数字作答）解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C40=210种分法.答案：210计算下列各式的值.C98+C199；100 200C3+C4+C5+C6；7 7 8 9C38—n+C3n+.一，、 100X99解：(1)C900+C；90=C100+C200=2X1+200=5150.(2)C3+C4+C5+C6=C4+C5+C6=C5+C6=C6=C4=210.778988999 10 10（3）因为（3）因为'1W38—nW3n，1W3nW21+n，?WnW37，1 21所以?三住学.—WnW—（3 、2，因为nEN*，所以n=10，所以C38-n+C3n=C28+C30=C2+C1=466.3n 21+n 30 31 30 31[A基础达标]楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有（）A.72种 B.84种C.120种 D.168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C《0=120（种）.方程q8=C3x—8的解为（）A.4或9 B.4C.9 D.5

解析：选A.当x=3x—8时，解得x=4；当28—x=3x—8时，解得x=9.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有()A.24种 B.12种C.10种 D.9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C;=2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C2=6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2X6X1=12种.故4选B.4.化简C98+2C4.化简C98+2C96+C98等于(A.C9799C.C9899解析：选B.由组合数的性质知B.D.C97100C98100C97+2C96+C9598 98 98=(C97+C96)+(C98+C98)=C97+C96=C97.99 99 100男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A.2人或3人 B.3人或4人C.3人 D.4人解析：选A.设男生有nA，则女生有(8—n)人，由题意可得C2C1=30，解得n=5或n=6,n8—n代入验证，可知女生为2人或3人.故选A.若A3=6C4，则n的值为.nn解析：由题意知n(n—1)(n—2)=6n=6n(n—1)(n—2)(n—3)4X3X2X1n3化简得二^=1，所以n=7.答案：7某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有种.解析：从10人中选派4人有C4。种方法，对选出的4人具体安排会议有C2C2种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C4C2C1=2520种.1042答案：25208.若Cm—1:Cm:Cm+1=3：4：5，则n—m=.

解析:由题意知:n解析:由题意知:乌—4"1 5,n由组合数公式得｛3由组合数公式得｛3n—7m+3=0,9m—4n+5=0,解得：n=62,m=27.n—m=62—27=35.答案：35判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果.10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？从1,2,3,“・，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C;°种不同分法.大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C3个.9握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C2。次.(1)解方程：Cx-2+Cx-3=/A3；x+2 x+210x+3112(2)解不等式：=—=<=.C3C4C5xxx解：(1)原方程可化为Cx—2=»4，即C5v=.3wx+310x+3 x+310x+3解N(x+3)! (x+3)!所以5!(x—2)!=10・x!所以120(x—2)!=10-x(x—1)・(x—2)!，所以X2—x—12=0,解得x=4或x=—3,经检验知，x=4是原方程的解.6 24⑵通过将原不等式化简可以得到x(x—1)(x—2)—x(x—1)(x—2)(x—3)< 240 x(x—1)(x—2)(x—3)(x—4).由xN5，得X2—11x—12<0,解得5Wx<12.因为xEN*，所以xE{5,6,7,8,9,10,11}.[B能力提升]式子Cm+2+C10-m(mGN*)的值的个数为( )B.2A.1

B.2C.3D.4解析:选A.由C.3D.4解析:选A.由'm+2W10,17—mW10得7WmW8,所以m=7或8.当m=7时，原式=象+煲.当m=8时，原式=C;o+C；o,故原式的值只有一个.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有()A.35种70种A.35种30种 D.65种解析：选B.先从7人中选出3人有C3=35种情况，再对选