数学建模 捕鱼效益最大化模型

本文格式为Word版，下载可任意编辑——数学建模捕鱼效益最大化模型北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文

捕鱼业效益最大化的微分

方程模型

2023/12/18

《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型

捕鱼业效益最大化常微分方程模型

摘要

在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应当在持续稳产的前提下追求效益的最大化。

本文考察一个渔场，首先建立在捕捞状况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下探讨渔场的效益最大化问题，最终提出相应的优化方案及建议。

关键字:渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益

一、问题分析

如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海疆捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化呢？应当如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：

①建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程；②由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性；③在稳定条件下求出渔场效益；④对其效益进行分析提出优化方案.

二、模型假设：

（1）

在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长听从logistic规律（即阻滞增长模型）；

（2）

单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系

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数为E；

（3）（4）

捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；

鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；

三、模型建立与求解

1.在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程

(t)=……（1）r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.

2.捕捞状况下渔场鱼量满足的方程

单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：

……（2）根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)

得到捕捞状况下渔场鱼量满足的方程为：

……（3）

3.捕捞强度E(t)关于时间的微分方程

……（4）k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出.其中

T=ph(x)=pEx,S=cE……（5）

4.求平衡点并分析其稳定性

我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.

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……（6）将（5）式带入下面的代数方程组，

,

解出平衡点为，（0,0），（N，0），（,）.稳定性分析：

当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种状况不具有分析意义；

当x=N，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种状况也不具有分析意义；

当x=，E=时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法探讨此时的稳定性。所以，在（,）点将u(x,E)和v(x,E)作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程组

系数矩阵记为A=

，

P=-tr[A]=，Q=detA=

令P>0,Q>0,得p>时，即售价大于成本时，为稳定点，此时E=，x=……（7）此时的持续产量h（x,E）=.5.效益分析

设单位时间的利润为

R=T-S=pEx-cE……（8）

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在稳定条件下，以（7）带入（8）得，R=0.

可见，在稳定条件下，单位时间的利润为0，即没有收益。所以说，在这种状况下，随着价格的上升和成本的下降，x会迅速减少，出现捕捞过度，效益越来越小，直至为0。

上述的效益模型是以盲目捕捞（即开放式捕捞）为基础的，如在公海上无规则捕捞。可以看出，假使捕鱼业仅仅靠市场价格等调控，渔民所获得的利润将越来越微薄，并且生态环境由于过度捕捞也遭到很大的破坏，捕鱼业效益最大化根本得不到实现，相反在往效益最小化发展。为此，我们做了以下模型优化。

四、模型优化

我们不妨仿照私营渔场的有计划捕捞优化模型。所以，我们假设捕捞强度E为常量。

令F(x)==0得到两个平衡点

……（9），……不难算出（10）当时，渔场鱼量稳定在0，即没有鱼，显然不可能达到效益最大化，不予探讨；

当时，若为稳定点，则E<r，即只要适度捕捞，就可以使鱼量稳定在，从而获得持续产量.

此时

R(E)=T(E)-S(E)=-

……（11）

所以，当时，

有

将EM带入（9），得最大利润下的渔场稳定鱼量

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由此可见，在E不变的状况下，鱼量稳定时可以达到效益最大化，即不仅渔场获得较高利润，生态系统也处于平衡状态，利于可持续发展。

五、总结分析

综上的分析可以看出，只任由市场对捕鱼业进行调控显然是行不通的，这样做得结果只有使捕鱼业走向灭亡。为了实现其可持续