统计物理学试题

一概念公式释义题概念四个，公式五个，释义一个（卷面是一百个题）孤立系:与外界既没有物质交换也没有能量交换的系统.闭系:与外界没有物质交换，但有能量交换的系统.开系:与外界既有物质交换，又有能量交换的系统.热力学平衡态：一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会到达这样的状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生任何变化.绝热壁:如果器壁具有这样的性质，当两个物体通过器壁相互接触时，两物体的状态可以完全独立的改变彼此互不影响.透热壁：如果器壁具有这样的性质，当两个物体通过器壁相互接触时，两物体的状态不能完全独立的改变，彼此相互影响.热接触:两个物体通过透热壁相互接触.热平衡:假设有两个物体，各自处在平衡状体啊.如果令这两个物体进行热接触，经验表明，一般来说两个物体的平衡状态都会受到破坏，他们的状态都将发生改变.但是经过足够长的时间之后,他们的状态便不再发生变化，而达到一个共同的平衡态.热平衡定律：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也必处在热平衡温度：互为热平衡的两个系统，分别存在一个状态函数，而且两个函数的数值相等，该函数就称为系统的温度热力学极限:粒子数N—3，体积V—3而粒子数密度V为有限的极限情况.准静态过程：进行的非常缓慢的过程，系统在过程中经历的每一个状态都可以看作平衡态内能：系统经绝热过程从初态变到终态，在过程中外界对系统所作的功仅取决于系统的初态和终态而与过程无关.由此可以用绝热过程中外界对系统所作的功定义一个态函数在终态和初态之差，该态函数称作内能热量：如果系统所经历的过程不是绝热过程，则在过程中外界对系统所作的功不等于过程前后其内能的变化，二者之差就是系统在过程中以热量的形式从外界吸收的热量.热容量：一个系统在某一过程中温度升高1K所吸收的热量.焦耳定律:理想气体的内能只是温度的函数与体积无关.热力学第二定律开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变为有用的功而不引起其它变化热力学第二定律克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化卡诺定理:所有工作于两个一定温度之间的热机以可逆机的效率为最高.熵（热力学）：对于可逆过程，在初态A和终态B给定后，积分fgg与可逆过程的路径无关.令BdQ=S-S，T TfaA A称为熵.熵增加原理:在绝热条件下加减少的过程是不可能实现的.

节流过程:管子用不导热的材料包着，管子中间有一个多孔塞或节流阀.多孔塞两边各维持着较高的压强4和较低的压强P2，于是气体从高压的一边经多孔塞不断地流到低压的一边并达到定常状态.绝热去磁制冷:在绝热的条件下减少磁场时，磁介质的温度将降低.态密度:单位能量间隔内的可能状态数.等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于1kT.刘维尔定理：如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其领域的代表点密度是不随时间改变的常数.微正则系综：具有确定的粒子数N、体积V和能量E的系统的分布函数.正则系综：具有确定的粒子数N、体积V和温度T的系统的分布函数称为正则分布.巨正则系综：具有确定的体积V、温度T和化学势r的系统的分布函数.系综：设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下我们把这大量系统的集合称为系综.r空间:以广义坐标和广义动量2f个变量为直角坐标构成一个2f空间.最概然分布：微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布熵（统计物理）：在统计物理学中有S=klnQ，是系统混乱度的量度.1.体胀系数a1(dV1.体胀系数a—I—IV成)P2.压强系数PpE2.压强系数PpET3.等温压缩系数kTVkdP)T绝热压缩系数5.a，Rk丁的关系式以=七所理想气体的物态方程pV=nRTV-V-nb)=nRT范德瓦耳斯方程P+k8.位力展开p=(nRT^i+W)+)+A9.顺磁性固体的物态方程M=?H气等于在过程中外界10.热力学第-定律的数学表达式Ub-Ua=W+Q系统在终态B和初态A的内能之差UB-气等于在过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和.”.等容热容量cdT)”.等容热容量cdT)V12.等压热容量C=P13.培H=U+pV在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数培的增值.理想气体的等压热容量和等容热容量之差Cp-Cv=nRT、/的增量之间的关15.简单系统的热力学的基本微分方程dU=TdS-pdV在相邻的两个平衡态，状态变量U、、/的增量之间的关系.16.〃摩尔理想气体的嫡（以『、U为自变量）5=日『+而诙+5。17-〃摩尔理想气体的嫡（以为自变量）S=Cl"51np+s。18.简单系统的培的微分方程dH=TdS+Vdp19.简单系统的自由能的微分方程dF=-SdT-pdV20.简单系统的吉布斯函数的微分方程dG=—SdT+Vdp21.等容热容量的炳表示C广T22.等压热容量的嫡表示22.等压热容量的嫡表示C=TP温度保持不变时内能随体积的变化率与物态方程的关系~P温度保持不变时内能随体积的变化率与物态方程的关系~P24.温度保持不变时培随压强变化率与物态方程的关系=V-T24.温度保持不变时培随压强变化率与物态方程的关系=V-T竺dT)pVTOC225.等压热容量、等容热容量之差的一般关系C—C= pvKT26.简单系统的开系的热力学基本微分方程dU=TdS—pdV+[idn克拉珀龙方程dp=tV土另两相平衡曲线的斜率对于玻耳兹曼系统，与分布｝相应的系统的微观状态数。=律1n®ali m.b.na!illl对于玻色系统，与分布^a｝相应的系统的微观状态数。 =n"l'l b.E. la!\C0-U.3°.对于费米系统，与分布"｝相应的系统的微观状态数。F.,=n商&!llll玻耳兹曼分布ai—®f-a-桅l①玻色分布a= 1一-l e«+Psl—①费米分布a= 1一-l e«+Psl+配分函数的表达式Z1=Z®,-陶l内能的统计表达式U=—N—InZ即1“N8…36.厂义作用力的统计表达式7=—石否lnZi一」一—d37熵的统计表达式S=Nk[inZ1-嘛InZ1J玻耳兹曼关系S=kin。某个宏观状态对应的微观状态数愈多，它的混乱度就愈大，熵也愈大.Sb—Sa>0经绝热过程后，系统的熵永不减少4°.克劳修斯等式和不等式Q+Q<04L—WJF「Fb系统在等温过程中对外所作的功不大于其自由能的减少.42.Fb-Fa<0在等温等容条件下系统的自由能永不增加.43.Gb-Ga<0在等温等压条件下系统的吉布斯函数永不增加.V h®3 ,44.普朗克公式U(®,T)d®= d®兀2C3h®ekT—145.费米动量和粒子数密度的关系式p=G兀2n）3门f二填空题（卷面是一百个题）1 1理想气体的压强系数为t，理想气体的体胀系数为p.准静态过程在热力学理论中有着非常重要的地位，方面在于如果没有摩擦阻力，外界在准静态过程中对系统的作用力可以用描写系统平衡状态的参量表达出来，另一方面在于如果没有摩擦阻力，外界在准静态过程中对系统的作用力可以用描写系统平衡状态的参量表达出来.热力学第二定律的克劳修斯表述为不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化V理想气体的初态为（T,匕），末态为（T,VB），其熵变为nRIn克拉珀龙方程为竺= ）.①!a!(o①!a!(o-a)'lll对于费米系统，与分布^,｝相应的微观状态数为nl7.根据能量均分定理，在温度T时，单原子分子气体的定压热容量与定容热容量之比y7.根据能量均分定理，8.热源『吸收热量21放出热量Q2，则熵变为穿29.磁介质的热力学基本方程为dU=TdS+8.热源『吸收热量21放出热量Q2，则熵变为穿29.磁介质的热力学基本方程为dU=TdS+七Hdm，则有麦氏关系(dH)1(dT)〔弟JRm0[Qm)S「 ， 4兀V ,10.在体积V内，在£T£+d&的内能范围内，相对论情形下三维自由粒子的的量子态数为82d£.11.气体分子的速率分布为4兀〃3/2mv2 [ 8kTe-2kTvv2dv，则气体的平均速率V= .（计算公式兀m12.开系的热力学基本微分方程为dU=TdS-pdV+rdn.13.对于玻色系统，与分布E｝相应的微观状态数为nllCo+a一1)

a原'-1).ll14.根据能量均分定理，在温度T时，双原子分子气体的定压热容量与定容热容量之比y为.15.热量Q从高温热源T传到低温热源T_，则熵变为Q -1IT2 T1）16.磁介质的热力学基本方程为dU=TdS+四。Hdm，则有麦氏关系(竺:=R(dm'[dH)0[dT)T17.气体分子的速率分布为4兀〃3/2土V2dV，则气体的方均根速率耳.（计算公式j8e-ex2x4dx='"8a5/2在等温膨胀过程中，理想气体从热源吸收热量，这热量全部转化为气体对外所作的功；在等温压缩过程中，外界对气体做功，这功通过气体转化为热量传递给热源.在绝热压缩过程中，外界对气体做功，这功全部转化为气体的内能而使气体的温度升高在绝热膨胀过程中，外界对气体所作的功为负值，实际上是气体对外界做功，这功是由气体在过程中所减少的内能转化而来的系统在等温过程中对外所作的功不大于其自由能的减少.换句话说，自由能的减少是在等温过程中从系统所能获得的最大功.在等温等容条件下系统的自由能永不增加.在等温等容条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着自由能减少的方向进行的.在等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加，在等温等压条件下系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的.经绝热过程后，系统的熵永不减少.系统经可逆绝热过程后熵不变，经不可逆绝热过程后熵增加.在绝热条件下熵减少的过程是不可能实现的.麦氏关系和雅可比行列式是进行导数变换运算的常用的工具.统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值.、将内能U二£《a求全微分有dU=£ad&+Seda，第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改TOC\o"1-5"\h\zll ll lll l l变而引起的内能变换，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化第一项代表过程中外界对系统所作的功.第二项代表过程中系统从外界吸收的热量.在无穷小的准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能.一，a 一-范德瓦尔斯方程做位力展开的第二位力系数是。-*，第三位力系数是b2.Rt孤立系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为A5<0.等温等容系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为AF>0.等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为AG>0.三选择题（这里是三十五个题，卷面是四十个题）一定量的理想气体，起始温度为T，体积为匕.后经历绝热过程，体积变为2匕.再经过等压过程，温度回升到起始温度，最后再经过等温过程，回到起始状态.则在此循环过程中（A）气体从外界净吸的热量为负值； B.气体对外界净作的功为正值；C.气体从外界净吸的热量为正值； D.气体内能减少.根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的（D）热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体;功可以全部变为热，但热不能全部变为功；有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则运动的能量;气体能够自由膨胀，但不能自动收缩.若室内生起炉子后温度从15r升高到27r，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了(B)A.0.5%； %； %； %.关于热功转换和热量传递过程，有下面一些叙述(1)功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功；(2)一切热机的效率都不可能等于l；(3)热量不能从低温物体向高温物体传递；(4)热量从高温物体向低温物体传递是不可逆的.以上这些叙述(A)A.只有(2)、(4)是正确的； B.有(2)、(3)、(4)正确；C.有(1)、(3)、(4)正确； D.全部正确.一瓶氦气和一氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们(C)温度相同，压强相同；温度、压强都不相同；温度相同，但是氦气的压强大于氮气的压强；温度相同，但是氦气的压强小于氮气的压强.一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为P，右边为真空，今将隔板抽0去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是(A)P/2； B.P；C.2yP；D.P/2Y(y=C/C)0 0 0 0 pv有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分隔成两边，如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气的质量为：(C)16kg； B.0.8kg； C.1.6kg； D.3.2kg.一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体.若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后(A )A.温度不变，熵不变； B.温度升高，熵增加；C.温度降低，熵增加； D.温度不变，熵增加.一定量的理想气体，经历某过程后，它的温度升高了.则根据热力学定律可以断定：(1)该理想气体系统在此过程中吸了热，⑵在此过程中外界对该理想气体系统作了正功，(3)该理想气体系统的内能增加了，(4)在此过程中理想气体系统既从外界吸了热，又对外作了正功.以上正确的断言是(A)(3)； B.(1)(3)； C.(2)(3)； D.(3)(4).质量一定的理想气体，从同一状态出发，分别经历等温、等压和绝热过程，使其体积增加一倍，那么气体温度的改变(绝对值)在(D)A.绝热过程中最大，等压过程中最小；B.绝热过程中最大，等温过程中最小；C.等压过程中最大，绝热过程中最小；D.等压过程中最大，等温过程中最小.一定质量的理想气体的内能E随体积V的变化关系为一直线(其延长线过E-V图的原点)，则此直线表示的过程为(B)A.等温过程； B.等压过程； C.等容过程；D.绝热过程.所列四图分别表示某人设想的理想气体的四个循环过程.请选出其中一个在物理上可能实现的循环过程的图的标号按pV2=恒量规律膨胀的理想气体，膨胀后的温度为（C）A.升高； B.不变； C.降低； D.无法确定一定量理想气体经历的循环过程用V-T曲线表示如图.在此循环过程中，气体从外界吸热的过程是（A）—B；—A—B；—A;B—C和C—A..对于理想气体，下面的系数与-1有关的是（ B,D）.PA.体胀系数a； B.等温压缩系数k；TC.压强系数P; D.绝热压缩系数k厂下面的热力学量属于强度量的是（A,C）.A.温度T； B.等压热容量Cp； C.密度P； D.内能U.下面属于二级相变特征的是（C,D）.A.可能出现亚稳态； B.体积存在突变；C.等温压缩系数存在突变； D.磁化率存在突变.对于理想气体，下面的系数为T的是（A,C）.A.体胀系数a； B.等温压缩系数k；T

D.绝热压缩系数Ks下面的热力学量属于广延量的是（BA.压强p；B.A.压强p；B.等容热容量C;VC.磁化强度M;D.总磁矩m.20.下面属于一级相变特征的是（A,B）.A.存在相变潜热;A.存在相变潜热;体积存在突变;热容量存在突变;D.热容量存在突变;D.磁化率存在突变.两个容器中分别装有氮气和水蒸气，它们的温度相同，则下列各量中相同的是（。）A.A.分子平均动能;分子平均速率;C.C.分子平均平动动能;D.最概然速率.两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则（A）A.两种气体分子的平均平动动能相等;两种气体分子的平均动能相等;两种气体分子的平均速率相等;两种气体的内能相等.已知分子的总数为N，它们的速率分布函数为f（v），则速率分布在「七区间内的分子的平均速率为（B）A.fvf(v)dv「A.fvf(v)dv「vf(v)dvv)dv;B.vIf(v)dvC.V2Nf(v)dv; D.v―nvi4.麦克斯韦速率分布曲线如图所示图中4、B两部分面积相等，则该图表示（D）D.速率大于和小于vo的分子数各一半D.速率大于和小于vo的分子数各一半._1\8kT __[8KTA二=矶顽；B.七=\：诙•'C.vx溜；D.匕=0.A.vo为最可几速率.v。为平均速率.vo为方均根速率.容器中储有定量理想气体，温度为T，分子质量为m，则分子速度在x方向的分量的平均值为：（根据理想气体分子模型和统计假设讨论）（D）在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则（D）A.温度和压强都提高为原来的A.温度和压强都提高为原来的2倍;B.温度为原来的2倍，压强为原来的4倍;温度为原来的4倍，压强为原来的2倍；D.温度和压强都为原来的4倍.当气体的温度升高时，麦克斯韦速率分布曲线的变化为（B）A.曲线下的面积增大，最概然速率增大;B.曲线下的面积不变，最概然速率增大;C.曲线下的面积增大，最概然速率减小;A.曲线下的面积增大，最概然速率增大;B.曲线下的面积不变，最概然速率增大;C.曲线下的面积增大，最概然速率减小;D.曲线下的面积不变，最概然速率减小.He CH4一定量氦气（He）和甲烷（CH4），都可视为理想气体，温度相同.那么它们分子的平均速率之比&.：此..为（D）He CH4:4; :1; :2; :1.9.一定量氢气和氧气，都可视为理想气体，它们的温度相同，那么它们分子的平均速率之比为（B）:4; :1; :16. :1.当系统含有两种费米子，其粒子数分别为N当系统含有两种费米子，其粒子数分别为N和N'总能量为矿体积为v，七和c:是两种粒子的能级，两种粒子的分布"｝和5必须满足条件（）才有可能实现.①&=0;l②»a，=0;l③&a,子的分布"｝和5必须满足条件（）才有可能实现.①&=0;l②»a，=0;l③&a,+"0;l④乙为=0;ll⑤乙隔，二0;lll⑥以l%+乙:十0.A.③⑥;B.③④⑤;C.①②⑥;D.①②④⑤.11•设系统含有两种玻色子，其粒子数分别为N和"粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.cl和£，是两种粒子的能级，ol和0，是能级的简并度.则在平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为（A,C).C.气o， 1 西+阮；一1B.a'= 1 l ea，+P,£l——1o， 1 ea+P，e\—112.非简并条件为（A,B,C,).A.热>>1A.热>>1;aBl

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l<<1;1/2C.>>hC.>>hD.nk3<<1.当系统含有两种玻色子，其粒子数分别为N当系统含有两种玻色子，其粒子数分别为N和N，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布b｝和k“必须ll满足条件（ B①乙广N;满足条件（ B①乙广N;）才有可能实现.②£a'=N，;l③£a,+"N+N，;⑤£sa⑤£saf=e^；iii⑥£ea+£eaa=E.ii iiiiA.①②④⑤； B.①②⑥;C.③④⑤； D.③⑥.设系统含有两种费米子，其粒子数分别为N和N'.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.七和匕是两种粒子的能级，®i和①l是能级的简并度.则在平衡状态下两种费米子的最概然分布分别为（A,C）.TOC\o"1-5"\h\zm ni'A.a= l ； B.a'= l ；l e«+Psi+1 l ea，+Rq+1C.a'=^-； D.a'=^—.lea'+psl+1 lea+印弓+1下列哪些条件容易使得经典极限条件容易得到满足（A,B,C,D ）.A.气体愈稀薄； B.温度愈高；C.分子的质量愈大； D.气体中分子的平均距离远大于德布罗意波的平均热波长四简答题（这里是二十七个题，卷面是四十个题）试用熵的概念解释为何盐水的结冰温度比纯水略低.答：结冰减少溶液中盐的有效体积，使盐的熵减少；而体系总沿熵增方向演化，结冰不利于盐的熵增加。竞争的结果是盐水结冰温度比纯水略低。试写出三维自由电子气体、光子气体低温比热与温度的关系.答：三维自由电子气体：C~T；光子气体：C~T3.试用熵的概念解释为何盐水的沸点比纯水略高答：水蒸汽减少溶液中盐的有效体积，使盐的熵减少；而体系总沿熵增方向演化，蒸发不利于盐的熵增加。竞争的结果是盐水沸点温度比纯水略高。绝热过程是否一定是等熵过程举例说明.答：不是；例如理想气体的自由膨胀，绝热，但熵发生改变。图为金、银、铜低温热容量，由此推断哪种金属中声速最大

答：铜中声速最大，因为比热Cx,TdxCsn3c-3=3，答：铜中声速最大，因为比热Cx两相同气泡A,B从湖底冒出，A上升快视为绝热，B上升慢保持与湖水等温.设湖水温度与深度无关，试问到达湖面时哪个气泡较大.简述理由.答:B大，p-V图中绝热线比等温线陡。同初态到同压强末态，等温气泡体积大。图为金、银、铜低温热容量，试写出热容量的共同函数形式并说明各项的意义T2T2(Ks1答:IFT+AT3，线性项为金属中自由电子的贡献，立方项为晶格振动的贡献试在下边R-T图中定性画出一段单元单相物质的等压曲线.答:单调下降的上凸曲线，因为=-答:单调下降的上凸曲线，因为=-S<09.给出n=2,3维的完全相对论自由粒子（e=pc）的态密度D（£）答:二维：dG）=罕；三维：dG）=畔.C2h2 C3h310.试从微观物理图象解释为何缓慢推进活塞的绝热过程熵不变，而同为绝热过程的突然推进，熵却发生改变答：缓慢推进，各粒子仍然处在原来的状态，故配分函数、熵不变；突然推进，粒子会跃迁到其他状态，

配分函数、熵也就发生改变。A、B分别为理想气体的等温和绝热线，试问哪条是等温线，简述理由.答：A是等温线，因为p-V图中绝热线比等温线陡或从等温pV=const,绝热pVr=const就〉1加以解释。试简要解释为何常温下不考虑电子的比热.答：只有能量在日附近、量级为kT的范围内的电子对热容量有贡献。以N有妒示能量在日附近kT范围内对热容量TOC\o"1-5"\h\z一.kT_ 3._有贡献的有效电子数N厅一N。将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为兀kT，则金有效h 2\o"CurrentDocument"一 3一」kT\ 3 一T T 1属中自由电子对热容量的贡献为C=-Nk—=-Nk节。在室温范围户就和，所以在室温范围，金属中u 2pH/ 2T T 270' f F自由电子对热容量的贡献远小于经典理论值。与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计。图中实线为某物质的一段固液相界，T=T时固液两相中哪一相的摩尔体积大哪一相的摩尔熵大答：［Ml=VnV小的相可等温加压得到，故固态摩尔体积小。由dp/dT=A^/AVn斜率为负，故固态摩尔熵\dP）T大.由能量均分定理给出双原子分子理想气体的内能和热容量.答：双原子分子有平动和转动（常温不考虑振动），其能量有五个平方项。根据能量均分定理，在温敏时，双原子分子的平均能量为s=2kT，则双原子分子理想气体的内能为〃=2NkT，定容热容量Cv=2Nk，定压热容量C=-Nk.p2由能量均分定理给出单原子分子理想气体的内能和热容量.一 一 一一 3,一答：单原子分子只有平动，其能量有三个平方项。根据能量均分定理，在温度T时，单原子分子的平均能量为s=5kT，一 「3、.，一 一3、.， - 5、.，则单原子分子理想气体的内能为〃=-NkT，定容热容量Cv=^Nk，定压热容量*=^Nk.对一级相变，熟知化学势H连续，焓H、内能U、自由能F是否连续对二级相变，这些函数是否连续答：H=G+TS,U=G-pV+TS,F=G-pV，对于一级相变：S,V不连续，故H、U、F不连续（3分）；对于二级相变：S，V连续，故H、U、F连续.写出n=2,3维非相对论自由粒子（£=p2/2m）的态密度D（）.山-如）2"m 、 -如）2兀V（2m）2£12答：二维：D^£）=——（3分）；三维：Dl£）= （3分）.h2 h3试根据热力学第二定律说明空窖辐射的内能密度只取决于温度，与空窖的其它特性无关答:设想有两个空窖，温度相同但形状、体积和窖壁材料不同。开一小窗把两个空窖联通起来，如果能量密度在两窖不等，能量将通过小窗从内能密度较高的的空窖辐射到内能密度较低的空窖使前者温度降低后者温度升高。这样就在温度相同的两个空窖自发的产生温度差，热机可以利用此温度差吸取热量而作功。这违背热力学第二定律，显然是不可能的。所以空窖辐射的内能密度只取决于温度，与空窖的其它特性无关。室温下某半导体中导电电子的数密度为n=1020m-3,试说明该种电子气体是否为简并气体.电子的质量m/9.1x10-31kg,普朗克常量h=6.626x10-34j・s,玻尔兹曼常量k=1.381x10-23j•k-i.解:n人3vv1的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻尔兹曼分布；反之，足>>1的情形下，气体形成强简并.rh2\3的费米气体。nX3 =n -一— ，将T=300K，n=1020 m-3代入，得nk3 w10一5 vv1，说明该半导体中的导电[2兀mkT）电子是非简并气体。试根据热力学第二定律说明气体的自发压缩过程是不可能的.解:假设气体的自发压缩过程是可能的，令该过程与等温膨胀过程联系在一起构成一个循环过程。理想气体的等温膨胀过程从单一热源吸热而将之全部转化为机械功，同时伴随着理想气体的体积膨胀，如果气体的自发压缩过程是可能的，则可以让膨胀的体积回复到原来的体积大小。这样该循环的净结果就是从单一热源吸热而将之全部转化为机械功而不引起其它变化，违背了热力学第二定律的开氏表述，因此气体的自发压缩过程是不可能的。室温下某金属中自由电子气体的数密度 n=6x1028m-3,试说明该种电子气体是否为简并气体.电子的质量m=9.1x10-31kg,普朗克常量h=6.626x10-34j•s,玻尔兹曼常量k=1.381x10-23j・K-1.解:nk3vv1的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻尔兹曼分布；反之，nk3>>1的情形下，气体形成强简并°Ah2）；的费米气体。nk3=n-一，将T=300K，n=6x1028m-3代入，得nk3w103>>1，说明该金属中的自"2冗mkT）由电子形成强简并的费米气体。某一热力学系统的热力学基本微分方程为dU=TdS+Ydy，写出相应的麦氏关系。

答:(答:(dS[=0]IdYJIdTJT Y画一条等温线与两条绝热线分别交于A点和B画一条等温线与两条绝热线分别交于A点和B答：假设在P-V图中两条绝热线交于C点，为了构造一个循环过程，点，如图所示。nY/ 在循环过程ABCA中，在等温过程AB中系统pVT 从外界吸取了热量Q，在绝热过程中系统与外界无热量的传递。而在循环过程中系统对外界做功W，根据热力学第一定律有W=Q。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文表述，是不可能的。因此两条绝热线不能相交。24•求出与玻色系统分布叩相应的系统的微观状态数。答：（1）对于玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。⑵首先计算乌个粒子占据能级8［上的«［个量子态有多少种可能的方式。量子态用数字1,2,A,O［标记，粒子用0标记，将所有的量子态的标记和粒子的标记排成一行，使最左方为量子态的标记1。例如：1002O340005ooooA令任何一种这样的排列代表粒子占据各量子态的一种方式。（3）由于最左方固定为量子态的标记1，其余的量子态和粒子的总数是侦，+ai-1）个，将它们加以排列共有侦，+ai-1）!种方式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数。，！和量子态之间的相互交换数妇-1）!。则a个粒子占据能级8上的o个量子态有（巴：.-?!种可能的方式。（4）将各能级的结果a!（①一1）!ii相乘，就得到玻色系统与分布｛a｝相应的微观状态数为Q=n（气：气一1）!I a!（o―1）!III25•忽略磁介质的体积变化，写出与磁介质的热力学基本微分方程也=TdS+H。HdM25•答：(当=『(也IdH答：(当=『(也IdHJs oIdSJhpq『(dM[IdHJT oIdTJH(当一(当IdMJt oIdTJm画出用反证法证明热力学第二定律的两个表述等效的示意图。求出与玻尔兹曼系统分布｛a｝相应的系统的微观状态数。答：（1）对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。（2）首先计算ai个粒子占据能级£/上的«,个量子态有多少种可能的方式。单个粒子占据巴个量子态的方式有巴种方式，由于每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制，则ai个粒子占据%个量子态有”i方式。（3）将各个能级的结果相乘Ho：i，但是I由于粒子是可以分辨的，因此需要再乘以不同能级上的粒子交换数。该交换数等于所有粒子的交换数N!除以各个能级上的粒子的粒子交换数Ha!。（4）这样得到玻耳兹曼系统与分布｛a｝相应的微观状态数为I II眼禺"lIII五计算证明题（这里有二十个题，卷面是三十个题）推导出三维空间热平衡辐射的普朗克公式.%解：平衡态下光子气体的化学势为零，因此光子气体的统计分布为a=二—，光子的自旋在动量方向的投影可取±h1也-1两个可能值，因此在体积为v的空窖内，在p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数为8^p2dp，由于h3， 「 ， V£=h%=cp，所以在体积为V的空窖内，在％到①+do的圆频率范围内，光子的量子态数为——%2do，则平均兀2C3.一.…V%2do Vho3 光子数为 ，则辐射场内能按频率的分布公式为〃（o,T）do= do.此即普朗克公式.兀2C3M1 兀2C3M1写出三维空间中热平衡辐射的平均光子数公式和普朗克公式并据此求平均总光子数、内能. Vo2do V（kT）3解：平均光子数为 ，积分可得总平均光子数2.404——I—.兀2C3址1 兀2C3k门JVho3,, . V—ho3, 、一普朗克公式为〃（o，T）do= do，将上式积分，可求得空窖辐射的内能〃=——M do，引入变量兀2C3S1 兀2C30心1X=h°，U=f求出积分，得 U=*VT4.kT 兀2C3khJ0ex-1 15c3h3

计算异核双原子分子转动自由度在常温时量子情况下的内能和热容量l（l+1X|2解：转动能级为8r= ,1=0,1,2,……，l为转动量子数.能级的简并度为21+1，因此转动配分函数为Zr=党（Il+12一*膏.引入转动特征温度。，兰=队，可以将Zr表为Zr=U（21+iX^S），转动特征温度。TOC\o"1-5"\h\z1 r21r 1 1 ri=o i=0取决于分子的转动惯量，可以由分子光谱的数据定出.在常温范围，TVV1，在这情形下当1改变时，#1（+1）可以近似看成准连续变量.因此，求和可以用积分代替.令尤=1（+1）#，dx=（21+1）#，即有=TMe-xdx=T=岂，由此得"r=-N—In=NkT，Cr=Nk.10o。阮 ap 1 v试求0K时三维电子气体的费米动量和费米温度.解：考虑电子自旋有两种取向后，三维电子气体在£T£+赤的能量范围内电子的量子态数为D（）d8=D（）d8=列（2m）282d8.所以0K时电子的最大能量由下式确定乎）Gm）2812d8=N，即h3 h203 U（0）门2七费米温度为T=»Fk.则费米动量为Pf=y!2m^2mk( N、2/33兀2—"V)试求0K时三维电子气体内能和简并压.解：考虑电子自旋有两种取向后，三维电子气体在8T£+d8的能量范围内电子的量子态数为D（s）d8=列（2m）282d8.所以0K时电子的最大能量由下式确定吧y（2m>28以=N，即h3 2 h2N2N2/33兀2一"v)我） c /、 2U2人、.内能为U（0）="^Gm》2J832d8=1即G）.所以简并压为p=3v=5仙h3 5计算双原子分子振动自由度在常温下量子情况的内能和热容量.解：量子情况时一维振动的能级为8广（〃+2加，n=0，1，2,L对应的简并度为1，因此振动配分函数为PhmZ=*e阮①（^+2）即Z= 因此振动对内能的贡献为U=-NMi"lnZ=~Z—+则振动对定容热容量1-e-Phm ap 2 ePhm-1n=0（au） （hm）2 ehm/kT的贡献为Cv=['aT）=Nk[~kT）（ 】在吊温时，因为hm>>kT，则上式化间为au) (hm)2—Nk e-hm/kTaT)v [kT)试用正则分布计算顺磁性固体的物态方程、内能和熵.解：离子磁矩的大小为R在外场中能量的可能值为-解：离子磁矩的大小为R在外场中能量的可能值为-HB和HB则配分函数为rJN! ( \ 1a ePpb-e-rJN! ( \ 1a ePpb-e-"Z=2 eipB-{n-i)pb=epb+e-pB*.磁化强度为M= lnZ=np =nptanhi!\N-i! PVap ePpb+e-Ppb内能i=1U=-^-lnZ=-NpBtanh =-mB6p kT八a\ 「S=klnZ-p—lnZ=Nkln2+Incosh" ap )L8.试用玻尔兹曼分布求顺磁性固体的居里定律tanh解：顺磁性固体可以看作是由定域近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布离子磁矩的大小为日，在外场中能量的可能值为-昭和叩，则配分函数为彳=eSe-陶.nd e叩8-e-P^B磁化强度为M=K^plnZi=冲而ki(pB=nptanh——IkT)……、 ，- +pB.,pB ,弱场和高温极限下，厂kT泊1土矿则np2C_ 一M=1TB=TH，这就是居里定律，其中C=np2叩k.试用玻尔兹曼分布求顺磁性固体的内能和熵解：顺磁性固体可以看作是由定域近独立的磁性离子组成的系统，遵从玻尔兹曼分布离子磁矩的大小为p，在外场中能量的可能值为-pB和pB，则配分函数为彳=ePpB+e-PpB.na na eppB-e-ppB ,.磁化强度为M=paplnZ1=np而==nptanh「 、，a pb内能为U=-N——lnZ=-NpBtanh =-mB熵ap kT1(p1(pBtanh——"kT)为S=Nk［略-p旅略|=Nkln2+lncosh试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵.可以应用经典统计理论处理有N个单原子分子组成解：单原子分子气体只需考虑分子的平动，平动能量是准连续的，的理想气体，其能量的经典表达式为Ef则配分函数可以应用经典统计理论处理有N个单原子分子组成r1 「邛芸乎 VN3N p殍7Z= Je{12mdqAdqdpAdp= 11Jep2mdp=N!h3n 1 3N1 3NN!h3n ii=11a一_NkT a一_3一_气体的压强为P=pav炭=巧,或冲=NkT，这就是物态方程.气体的内能为U=-aplnZ=2NkT.气体的( ( -a\熵为S=k［lnZ-p^plnZ3…一…V,=-NklnT+Nkln下+Nk计算空窖辐射系统的内能、熵和化学势.解：由于能量密度只是温度T的函数，则平衡辐射的总能量U(T,V)可以表为U(T,V)=u(T)V利用热力学公式(dU1CdVJtdU+pdVdS= TTOC\o"1-5"\h\z一(dU1CdVJtdU+pdVdS= T=T|k|一P可得u=^-—~-即T=4u积分得u=aT4a是积分常数.所以U=uV=aTV.因为顷TJ 3dT3dTV1 1 7 , 4 , 4 、 -4=-d(aT4V)+3aT3dV=4aTVdT+-aT3dV=3ad(T3V)所以S=3aT3V.因为_ 4 1 八 G八G=U-TS+pV=aT4V-T•—aTV+-aT4・V=0，所以r= =0.3 3 n将质量相同而温度分别为T和T2的两杯水在等压下绝热的混合，求熵变.解：两杯水等压绝热混合后，终态温度为W^a.以T、p为状态参量，两杯水的初态分别为«,p)和族，〃)，终态为(T^T^,p］根据热力学基本方程，dS=d+严，由于dS是完整微分，可以沿联结初态和终态的任意积分路k2J /径进行积分来求两态的熵差.既然两杯水在初态和终态的压强相同，在积分中可令压强保持不变.在压强不变时，dHCdT <+&CdTT+TdH=dU+pdV，故dS=—=p，积分后得两杯水的熵变分别为匡=J2「p=CIn12TT 1TTp 2/\o"CurrentDocument"1 1△S=j122 ——=CIn〈：孔，总的熵变等于两杯水的熵变之和匡=AS+AS=Cln1：孔2 T2 Tp2T 1 2p 4〈T213试求导克戏龙方程舞=亡•证明：平衡共存的两相分别用a和&标记，根据复相平衡的条件可知T=%=T， pa=p^=p，r(T,p)=r(T,p)则dr=dr,因为dR=-SdT-Vdp,所以-SadT-Vadp=-SMT-VPdp则a p a p m m m m m mdp=Sm_S= ——^其中l=tGp-sa)dTVP-VaTVP-Va mmVTa2 一，，一……、，14.试证明关系式Cp-CV —(证明过程使用复合函数变换的方法)._(as_(as1 -一T可；I.选T，p为状态参量，kaTjV证明：等压热容量和等容热容量之差为Cp-CV=T(WpS(T,p