三角函数知识点总结-4

PAGE三角函数知识点总结1.任意角的相关概念及其度量：（1）角的定义：平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（2）角的分类：1）正角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按逆时针方向旋转到终止位置所形成的角。2）负角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按顺时针方向旋转到终止位置所形成的角。3）零角：始边没有转动的角。（3）象限角：1）定义：在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，则终边在第几象限，就叫第几象限角。（也叫这个角属于第几象限）2)集合表示象限角：第一象限角{|k360<<k360+90，（kZ）}；第二象限角{|k360+90<<k360+180，（kZ）}；第三象限角{|k360+180<<k360+270，（kZ）}；第四象限角{|k360+270<<k360+360，（kZ）}；3）注意：当终边落在坐标轴上时，角不属于任何象限。（4）终边相同的角的表示方法：｛x|x=360°k+α，k∈Z｝。绝对值<360°时直接观察终边绝对值>360°时，正角除以360°看余数。负角处以—360°，看余数。（5）角的度量:1)角的度量方法：角度值与弧度制。2）角度制：1°：把圆周平均分为360份，一份的圆心角即为1°。公式:3)弧度制：在圆内的弧长等于半径的弧所对的圆心角定义为1弧度的角。单位：rad(弧度)（可省略）公式：4)弧度制与角度制的换算：（360°=2πrad180°=πrad）1=5)常见的角及其弧度：角度0°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π/6π/4π/35π/12π/22π/33π/45π/6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度π7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π2.任意角的三角比：（1）任意角的三角比的定义设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离比值叫做的正弦记作：（α∈R）比值叫做的余弦记作：（α∈R）比值叫做的正切记作：(α≠kπ+π/2，k∈Z)比值叫做的余切记作：(α≠kπ,k∈Z)比值叫做的正割记作：(α≠kπ+π/2,k∈Z)比值叫做的余割记作：(α≠kπ,k∈Z)注：终边在x轴上时，余切余割无意义；终边在y轴上时，正切正割无意义。 （2）三角比在各象限内的符号规律：一全正二正弦三两切四余弦。(3)特殊角的三角比030456090120135150180270360弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-101√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-1010√3/31√3不存在-√3-1-√3/30不存在0（4）三角函数线：1）定义：角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。2）单位圆中的三角函数线：设角α的终边与单位圆交与P点,与过点A(1,0)的单位圆切线交于T点(当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点),过P作PM垂直x轴于M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线余弦线,正切线,如图：正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT。3）注：正弦线,正切线的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负,余弦线的正向与x轴的正向相同,当角α的终边与y轴重合时,角α的正切线无意义3.三角恒等式与三角比公式：（1）同角三角比的关系1）倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=12）商数关系：tanα=cotα=3)平方关系：sin²α+cos²α=11+tan²α=sec²α1+cot²α=csc²α（2）诱导公式：(奇变偶不变符号看象限)公式一：cot（α+2kπ）=cotα公式二：cot（-α）=-cotα公式三：cot（π+α）=cotα公式四：cot（π-α）=-cotα公式五：sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα公式六：sin(π/2+α）=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanα（3）两角和与差的正弦公式余弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（4）辅助角公式：（ab≠0）（5）倍角公式：（6）半角公式：（7）万能置换公式：（8）积化和差公式：（9）和差化积公式：4.解斜三角形：（1）求三角形面积公式：S⊿=a====(R为三角形外接圆半径)==rp（，r为内切圆半径）名称正弦函数余弦函数正切函数函数式（）性质定义域值域最值时时时时无最值正周期最小奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性关于原点对称关于y轴对称关于原点对称单调性整个定义域上无单调性增区间为减区间为整个定义域上无单调性增区间为减区间为整个定义域上无单调性增区间为渐近线无无(无数条)图像（2）正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）（3）余弦定理：a=b+c-2bcb=a+c-2acc=a+b-2ab基本方法：大角对大角，大边对大边；已知三边，用余弦定理；已知两边一角，用余弦定理；已知一边两角，相当于一边三角，用正弦定理。二、三角函数1、（1）正弦余弦正切函数的图像与性质（2）图像的作图方法：1）代数描点法：查表或计算器2）几何作法：把圆等分——在x轴上标点——利用正弦线平移——连线3）用五点法画正弦，余弦函数及的简图。通常取三个平衡点，一个最高点，一个最低点。（3）周期函数：如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x)成立，则称T为f(x)的一个周期，函数f(x)为周期函数。所有周期中若存在最小正数，则称其为最小正周期。注：对于一个函数，若T为其周期，则T的任意整数倍都是f(x)的周期。（4）函数的图象及性质：（）A为振幅，周期为T=,频率为f=,为初相1）A决定在y轴方向的伸缩，即横坐标不变，纵坐标变，改变值域。A>1时伸长到原来的A倍0<A<1时，缩短到原来的A倍.2）决定在x轴方向的伸缩，即纵坐标不变，横坐标变，改变周期。>1时缩短到原来的倍。0<<1时，伸长到原来的倍3）决定x轴方向上的平移。原则：左加右减。名称反正弦函数反余弦函数反正切函数定义y=sinx()的反函数叫反正弦函数y=cosx()的反函数叫做反正弦函y=tanx()的反函数叫反正弦函数函数式x∈R性质定义域R值域单调性单增单减单增奇偶性奇函数非奇非偶奇函数周期性均无周期性图像恒等式方程方程的解集X无解X无