川师概率论其次章习题解答

本文格式为Word版，下载可任意编辑——川师概率论其次章习题解答习题二

1.设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,

?12,3?x?6,??x?6.?1,试求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3).解:随机变量X的分布列为036X1P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?；431112P(X?3)?P(6)?；P(X?3)?P(3)?P(6)???.

26232.设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?a,?1?x?1,?F(x)??2?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，试求a，b和X的分布列.解：由分布函数的定义可知a?b?1

又由于P(X?2)?12，则

7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?

6?3?2故a?16，b?56.

3.设随机变量X的分布函数为

x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?试求P(X?2.5)，P(0?X?3.5)，P(1.5?X?2.5).解:根据题意X为连续型随机变量，则

P(X?2.5)?F(2.5?0)?F(2.5)?ln5?ln2，

P(0?X?3.5)?F(3.5)?F(0?0)?F(3.5)?F(0)?1，

P(1.5?X?2.5)?F(2.5?0)?F(1.5?0)?F(2.5)?F(1.5)?ln5?ln3。

4.若P(X?x1)?1??，P(X?x2)?1??，其中x1?x2，试求P(x1?X?x2).解:P(x1?X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)?P(X?x2)?[1?P(X?x1)]?1???[1?(1??)]?1????.

5.一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X表示取出的

则P(X?1)?P(0)?3个球中的最大号码.(1)求X的分布列；

(2)写出X的分布函数，并作图.

解：(1)根据题意X表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5，故其分布列为

1Ck2?1C1pk?P(X?k)?，k?3,4,5.3C5即

Xp(2)由分布函数的定义可知311043105610?0,?1,??10F(x)??2?,?5??1,x?3,3?x?4,

4?x?5,x?5.作图略.

6.有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；其次个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X表示所取到的白球数.

(1)试求X的概率分布列；

(2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？

解：(1)根据题意X表示所取到的白球数，则其可能取值为0,1,2,3，故其分布列为

k3?k3?k3?kC31C1kC41C21C3kC2pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3.??3333C53C53C5即

Xp(2)根据题意，所求概率为01611223101.33130P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?7.掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.解：以X表示骰子点数出现6的次数，则X~B(4,)故其分布列为

k4?k161?k?1??pk?P(X?k)?C4???1???6??6?即

，k?0,1,2,3,4.

Xp00.482310.385820.115730.015440.00088.一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假使5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验.(1)试求5件中不合格品数X的分布列；

(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？

解：(1)以X表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.

故其分布列为

k5?kC10C90pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3,4,5.5C100(2)根据题意，所求概率为P(X?0)?1?P(X?0)?1?P(0)?0.4162.

9.设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X的分布列.解：以X表示目标被击中的次数，则X~B(20,0.8)故其分布列为

kpk?P(X?k)?C20(0.8)k(0.2)20?k，k?0,1,2,?,20.

10.某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求

(1)同一时刻至少有3台车床用电的概率；(2)同一时刻至多有3台车床用电的概率.

解：以X表示同一时刻用电车床的台数，则X~B(5,)故其分布列为

k5?k16?1?pk?P(X?k)?C???6?k5?5????6?，k?0,1,2,?,5.

(1)根据题意所求概率为

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.0355；(2)根据题意所求概率为

P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?4)?P(X?5)?0.9967.

11.某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？

解：以X表示射击手命中环10的次数，则X~B(3,0.7)故其分布列为

kpk?P(X?k)?C3(0.7)k(0.3)3?k，k?0,1,2,3.

根据题意所求概率为

P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?0.784.12.设随机变量X和Y均听从二项分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若

P(X?1)?89，试求P(Y?1)?

解：根据题意随机变量X~B(2,p)，则

kkP(X?k)?C2p(1?p)2?k，k?0,1,2.

又由于P(X?1)?89，则

P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C2p(1?p)?则Y~B(4,).

0?2?故P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C4???3?000282?p?.9323?1?80???.?3?81413.已知一电话交换台每分钟的召唤次数听从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次召唤的概率；(2)每分钟召唤次数大于8的概率.

解：以X表示交换台每分钟的召唤次数，则X~P(4)故其分布列为

4k?4pk?P(X?k)?e，k?0,1,2,?.

k!(1)根据题意所求概率为

48?4p8?P(X?8)?e?0.0298；

8!(2)根据题意所求概率为

P(X?8)?1?P(X?8)?1?0.979?0.021.

14.某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？

解：以X表示300件产品中的次品数，则X~B(300,0.01)

用参数为??np?300?0.01?3的泊松分布作近似计算，得所求概率为

3k?3P(X?5)?1?P(X?5)?1??e?1?0.916?10.083.9k!k?0515.保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内

若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率.

,0.0015)解：以X表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X~B(5000用参数为??np?5000?0.0015?7.5的泊松分布作近似计算，得所求概率为

P(X?10)?10?Ck?0k5000(0.001)5(0.998)5k10?k7.5k?7.5??e?0.862.2k!k?01016.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的

概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？

,0.0001)解：以X表示该汽车站每天出事故的车辆数，则X~B(1000用参数为??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布作近似计算，得所求概率为

0.1k?0.1e?0.P(X?2)?1?P(X?2)?1??k!k?017.进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，则失败的概率为q?1?p(0?p?1).

(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X的分布列.

(2)将试验进行到第r次成功为止，求所需试验次数Y的分布列.（此分布被称为负二项分

2布）

解：(1)根据题意，以X表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X听从参数为p的几何分布，其分布列为

pk?P(X?k)?p(1?p)k?1，k?1,2,??,(0?p?1)

(2)根据题意，以Y表示试验第r次成功为止所需试验次数，则Y的可能取值为r,r?1,?,r?m,?，（即在k次伯努利试验中，最终已此一定是成功，而前面k?1次中一

r?1r?1定有r?1次是成功的，由二项分布得其概率为Ck(1?p)k?r，再乘以最终一次成功的?1p概率p），则其分布列为

r?1rk?rpk?P(X?k)?Ck，k?r,r?1,??,(0?p?1).?1p(1?p)18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X的分布列，并计算X为偶数的概率.

解：根据题意，以X表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为

pk?P(X?k)?0.45(1?0.45)k?1，k?1,2,??

故篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的状况是互不相容的，即所求概率为

p??P(X?2k)??0.45(1?0.45)k?1k?1??2k?1?0.3548.

19.设随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,

?0,其它.?试求P(X?1.5).

解：由概率密度函数的定义可知

P(X?1.5)??1.5??f(x)dx??xdx??(2?x)dx?0.875.

0111.520.设随机变量X的概率密度为

??Acosx,f(x)???0,?试求：

(1)常数A;(2)X落在区间(0,x?,2?x?.2??4)内的概率.

??解：(1)由概率密度函数的正则性可知

1????f(x)dx???2??2Acosxdx?2A?A?1；2(2)根据题意，所求概率为

P(0?X??4)???40f(x)dx???4012cosxdx?.2421.设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?2F(x)??Ax,0?x?1,

?1,x?1.?试求：

(1)常数A；

(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率；(3)X的概率密度.

解：(1)由分布函数的连续性可知

F(x)?limAx?A?F(1)?1??A?1；F(1?0)?lim??x?1x?12(2)根据题意，所求概率为

P(0.3?X?0.7)?F(0.7)?F(0.3)?0.4；(3)由分布函数和密度函数的关系可知

?2x,0?x?1,f(x)?F?(x)??其它.?0,22.某加油站每周补给一次油，假使这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变

量，其概率密度为

4?x???1??,0?x?100,f(x)??0.05?100???0,其它.?试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

解：设该油站的储油罐容量为a升(a?0)，以X表示该加油站每周油品销售量，则根据题意

x?a???P(X?a)?0.05??f(x)dx??0.05?1?dx??1????0.05

aa100100????5?a?100?0.05?a?46.

23.在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设该质点落在区间[0,a]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X的分布函数和概率密度.解：设X的分布函数为F(x)，则

当x?0时，由于{X?x}是不可能事件，所以F(x)?P(X?x)?0；当x?a时，由于{X?x}是必然事件，所以F(x)?P(X?x)?1；

当0?x?a时，有F(x)?P(X?x)?P(0?X?x)?kx，其中k为比例系数，由分布

1F(x)?ka?k?函数的右连续性可知，1?F(a)?F(a?0)?limx?a?a??1005则X的分布函数为

?0,x?0,?xF(x)??,0?x?a,

?a?1,x?a.由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为

?1?,0?x?a,f(x)??a

??0,其它.24.设随机变量X听从区间(0,10)上的均匀分布，求对X进行4次独立观测中，至少有

3次的观测值大于5的概率？

解：根据题意，随机变量X~U(0,10)，则其概率密度函数为

?1?,0?x?10,f(x)??10

?其它.?0,故对X进行独立观测中观测值大于5的概率为

p?P(X?5)????5f(x)dx??0.1dx?0.5

510以Y表示对X进行独立观测中观测值大于5的次数，则Y~B(4,p)

故所求概率为

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C4(0.5)(0.5)?C4(0.5)?0.3125.25.设随机变量K~U(0,5)，求方程4x?4Kx?K?2?0无实根的概率和有实根的概率.

解：根据题意，随机变量K~U(0,5)，则其密度函数为

233144?1?,0?x?5,f(x)??5

??0,其它.根据韦达定理可得，

当??16K?16K?32?0??1?K?2时，方程无实根，其概率为

P(?1?X?2)?22?2?1f(x)dx??0.2dx?0.6；

?12当??16K?16K?32?0?K??1或K?2时，方程有实根，其概率为

P({X??1}?{X?2})?1?P(?1?X?2)?0.4.

26.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）听从指数分布，其概率密度为

?0.2e?0.2x,x?0,f(x)??

x?0.?0,某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他便离开，他每月要到银行5次，以Y表示他未等

到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.

解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间X听从指数分布，则等候时间超过10分钟的概率为

p?P(X?10)????10f(x)dx??0.2e?0.2xdx?e?2

10??以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，则Y~B(5,e?2)故所求概率为

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C5(e?2)0(1?e?2)5?0.516。7

27.某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命X（以小时计）都听从同一指数分布

1x?1?600?e,x?0,f(x)??600?0,x?0?试求：此仪器在最初使用的300小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率.

解：根据题意，以X表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300小时的概率为

?1?60x00??f(x)dx??edx?1?e2p?P(X?30)??0600?0.5以Y表示该型号电子元件损坏数，则Y~B(3,1?e)

30030011故所求概率为

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?e?0.5)0(e?0.5)3?0.310.128.设随机变量X~N(3,2)，求(1)P(?1?X?5)；(2)P(X?5)；

(3)确定a，使得P(X?a)?P(X?a)？

2X?3可得

?25?3???1?3(1)P(?3?X?5)?P??U???P(?2?U?1)

2??2??(1)??(?2)??(1)??(2)?1?0.8185；

1?3???1?3(2)P(X?1)?P??U???P(?2?U??1)

2??2??(?1)??(?2)??(2)??(1)?0.1359；(3)根据题意P(X?a)?P(X?a)，则

解：由正态分布标准化U?X???a?3?a?3?a?3?a?3???????P?U???P?U???1?P?U??2?2?2?2??????a?3??a?3??a?3?1????1?????????(??(0)?0.5)

222??????2故a?3。

29.设随机变量X~N(4,32)，求(1)P(?2?X?5)

P?U?(2)P(X?3)

(3)设a为参数，使得P(X?a)?0.9，问a最多取为多少？

X?4可得

?35?4?1???2?4?(1)P(?2?X?5)?P??U???P??2?U??

3?3??3???(13)??(?2)??(13)??(2)?1?0.6065；

3?4?1???3?4?7(2)P(X?3)?1?P(X?3)?1?P??U???1?P???U???

3?3??3?3?1?[?(73)??(13)]?0.6392；(3)根据题意P(X?a)?0.9，则

a?4?a?4?a?4????P?U???1?P?U???0.9?P?U???0.1

333???????a?4?即????0.1(??(1.28)?0.8997，?(1.29)?0.9015)

?3?a?4??1.285?a?0.145故由标准正态分位数定义可得3即参数a最大取为0.145.

30.测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X(以m计)具有概率密度

解：由正态分布标准化U?X????1f(x)?e402?(x?20)23200，???x???

试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率.

解：根据题意，以X表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可知

X~N(20,402)，则误差绝对值超过30m的概率为

P(X?30)?1?P(X?30)?1?P(?30?X?30)

30?20???30?20?U???P(?1.25?U?0.25)4040????(0.25)??(?1.25)??(0.25)??(1.25)?1?0.4931,以Y表示测量中误差绝对值超过30m的次数，则Y~B(3,4931)

?P?故所有概率为

0P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C3(1?0.4931)0(0.5069)3?0.8698.

31.某单位聘请员工，共有10000人报考.假设考试成绩听从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，现按考试成绩从高分到低分一次录用2500人，试问被录用者中最低分数是多少？

解：根据题意，以X表示报考人的成绩分数，则X~N(?,?)

290????????359?90????1????0.0359???10000??90???90???????1.8?（查表得）??0.9641?????60?????60???1151P(X?60)?P?U????0.1151??????????1000060????1.2?（查表得）??由?、?可得??72，??10，即X~N(72,102)，设录用者中最低分数为a，则

2500?0.25?1?P(X?a)，P(X?a)?10000a?72???a?72??0.25?1?P?U???1????

10???10??a?72??????0.75，(??(0.67)?0.7486，?(0.68)?0.7517)

10??a?72?0.675?a?78.75故

1032.已知离散型随机变量X的分布列为03X?2?11p15161511511302试求Y?X与Z?X的分布列.故P(X?90)?1?P(X?90)?1?P?U?解：根据题意可得X?242152?11116000111115393Y?X2Z?Xp151130故合并整理得Y?X的分布列YpZ?X的分布列

Zp01491507301152113031573015113033.设随机变量X的概率密度为?0.5cos(0.5x),0?x??,f(x)??0,其它.?对X独立重复观测4次，Y表示观测值大于?3的次数，求Z?2Y?1分布列.

解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对X进行独立观测中观测值大于?3的概率

为

p?P(X??3)?????3f(x)dx??0.5cos(0.5x)dx?0.5.

?3?以Y表示对X进行4次独立观测中观测值大于?3的次数，则Y~B(4,0.5)故其分布列为

kpk?P(X?k)?C4(0.5)k(1?0.5)4?k，k?0,1,2,3,4.

即

Y0110.25230.375350.25470.0625Z?2Y?1p故

?10.0625Zp?10.062510.25X30.37550.2570.062534.设随机变量X~U(0,1)，试求以下随机变量函数的概率密度：(1)Y?1?X；(2)Y?e；(3)Y??2lnX；(4)Y?lnX.

解：根据题意，随机变量X~U(0,1)，则其密度函数为

?1,0?x?1,fX(x)??

0,其它.?(1)由y?1?x?x?h(y)?1?y，且有h?(y)??1?0，则Y?1?X的密度函数为

?fX(1?y)(1?y)?,0?1?y?1,fY(y)??0,其它.??1,0?y?1,??

0,其它.?1Xx(2)由y?e?0?x?h(y)?lny，且有h?(y)??0，则Y?e的密度函数为

y??fX(lny)(lny)?,0?lny?1,fY(y)??

?其它.?0,?1y,1?y?e,??

其它.?0,?0.5y?0.5y(3)由y??2lnx?0?x?h(y)?e，且有h?(y)??0.5e?0，则Y?eX的密度

函数为

?fX(e?0.5y)(e?0.5y)?,0?e?0.5y?1,fY(y)??

其它.?0,?0.5e?0.5y,y?0,??

其它.?0,(4)由y?lnx?0，故当y?0时，有FY(y)?0，从而fY(y)?0

当y?0时，y??lnx?0?x?h(y)?e密度函数为

?y，且有h?(y)??e?y?0，则Y?lnX的

?fX(e?y)(e?y)?,0?e?y?1,fY(y)??

y?0.?0,?e?y,y?0,??

y?0.?0,35.设随机变量X~N(0,1)，试求以下随机变量函数的概率密度：(