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文档简介
山西省吕梁市柳林县2023届第二学期高三期末考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内(包括边界),则A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-32.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.3.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴4.已知集合,则=()A. B. C. D.5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.7.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.28.已知函数,,若对任意的总有恒成立,记的最小值为,则最大值为()A.1 B. C. D.9.已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A,B两点,焦点F(0,-c),其中c为半焦距,若△ABF是直角三角形,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.10.在的展开式中,含的项的系数是()A.74 B.121 C. D.11.已知锐角满足则()A. B. C. D.12.已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,,,则__________.14.如图,在矩形中,为边的中点,,,分别以、为圆心,为半径作圆弧、(在线段上).由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积为.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.16.已知曲线,点,在曲线上,且以为直径的圆的方程是.则_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(,为自然对数的底数),.(1)若有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.19.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.20.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望21.(12分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.22.(10分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
画出曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域,y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)【详解】画出曲线x=y-2+1与y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)和定点P(2,-1)设k=y+1x-2,结合图形可得k≥k由题意得点A,B的坐标分别为A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范围为-∞,-3故选D.【点睛】解答本题的关键有两个:一是根据数形结合的方法求解问题,即把y+1x-22、D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.4、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的补集,然后求【详解】,所以.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.5、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.6、D【解析】
依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.7、C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.8、C【解析】
对任意的总有恒成立,因为,对恒成立,可得,令,可得,结合已知,即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立,对恒成立,令,可得令,得当,当,,故令,得当时,当,当时,故选:C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题,解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.9、A【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A,B两点,利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式,解方程求解即可.【详解】联立方程,解方程可得或,不妨设A(0,a),B(-b,0),由题意可知,·=0,因为,,由平面向量垂直的坐标表示可得,,因为,所以a2-c2=ac,两边同时除以可得,,解得e=或(舍去),所以该椭圆的离心率为.故选:A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示;考查运算求解能力和知识迁移能力;利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10、D【解析】
根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到其系数,【详解】因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是的系数是,,故选:D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题,11、C【解析】
利用代入计算即可.【详解】由已知,,因为锐角,所以,,即.故选:C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用,考查学生的运算能力,是一道基础题.12、B【解析】试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.考点:双曲线方程.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【详解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案为:1.【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.14、【解析】由题意,可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成;其中,圆柱的底面半径为1,母线长为2;体积为;两个半球的半径都为1,则两个半球的体积为;则所求几何体的体积为.考点:旋转体的组合体.15、2【解析】
由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.16、【解析】
设所在直线方程为设、点坐标分别为,,都在上,代入曲线方程,两式作差可得,从而可得直线的斜率,联立直线与的方程,由,利用弦长公式即可求解.【详解】因为是圆的直径,必过圆心点,设所在直线方程为设、点坐标分别为,,都在上,故两式相减,可得(因为是的中点),即联立直线与的方程:又,即,即又因为,则有即∴.故答案为:【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式,考查了学生的计算能力,综合性比较强,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)将有两个零点转化为方程有两个相异实根,令求导,利用其单调性和极值求解;(2)将问题转化为对一切恒成立,令,求导,研究单调性,求出其最值即可得结果.【详解】(1)有两个零点关于的方程有两个相异实根由,知有两个零点有两个相异实根.令,则,由得:,由得:,在单调递增,在单调递减,又当时,,当时,当时,有两个零点时,实数的取值范围为;(2)当时,,原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令令,,则在上单增又,,使即①当时,,当时,,即在递减,在递增,由①知函数在单调递增即,实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值问题,考查学生转化能力和分析能力,是一道难度较大的题目.18、【解析】
原不等式等价于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范围.【详解】因为在时恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,则为上的增函数,故.故.故答案为:.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立,对于此类问题,优先考虑参变分离,把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题,本题属于基础题.19、.【解析】
根据特征多项式可得,可得,进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式,所以,所以.因为,且,所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解,是基础题.20、(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】
(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为:0期望为:【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.21、(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.【详解】(1),当时,恒成立,当时,,综上,当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2),令,原方程只有一个解,只需只有一个解,即求只有一个零点时,的取值范围,由(1)得当时,在单调递增,且,函数只有
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