多分层合板后屈曲性态的非线性有限元分析

多分层合板后屈曲性态的非线性有限元分析

1计算方法的建立根据大量试验和分析，环保板结构提前失效的存在显著降低了压缩刚性，导致结构提前失稳。因此,研究含分层损伤层合板的屈曲/后屈曲性态,对复合材料飞机结构的设计、评价和应用有着重要的意义。近十年来,含单个分层层合板的压屈载荷和后屈曲路径的研究已取得了很多成果,含多个分层损伤梁/板的屈曲分析也已受到越来越广泛的关注。目前在求解多分层板的后屈曲问题中,同时考虑接触效应的研究仍然是一个热点和难点。本文采用参考面单元模型,引入虚拟杆单元以避免子层间不合理的位移嵌入,建立了含分层损伤层合板后屈曲分析的计算模型。非线性屈曲方程采用Updat-Lagrange表示法和增量/Newton-Raphson迭代的修正弧长法求解。本文着重讨论了多种因素对含多个分层层合板的后屈曲性态的影响,得到了一些对工程设计有意义的结论。2层合板屈曲变形(1)材料为纤维增强层合复合材料,其本构关系满足广义虎克定律;(2)层合板的屈曲变形满足Mindllin假定,即一阶剪切变形理论;(3)已知分层损伤的大小和位置而不考虑加载过程中分层扩展;(4)层合板屈曲时考虑子层间法向接触力但忽略子层间的摩擦效应。3层压结构的计算模型3.1厚度方向上的位移通常板/壳单元的节点取在其中面上(称为原单元,用上标“0”表示),因而不能在厚度方向上与其他单元直接相联。而按照板/壳变形的Mindllin假定,中面法线上任意一点均具有表示其余各点位移的能力,都可以作为节点,将具有这种节点的单元定义为参考面单元见图1。采用参考面单元可以在厚度方向上与另一单元相连,而且只需要有一个点就可将厚度方向上的各个单元联接起来。参考面选取的任意性为分层前沿满足位移协调条件提供了方便。设板/壳参考面单元上某节点i的位移可用原单元上相应节点的位移来表示,即dq0i=Thidqi(1)其中dq0i={du0idv0idw0idθ0xidθ0yi}Tdqi={duidvidwidθxidθyi}T式中dq0ii0和dqi分别为该单元节点i定义在中面和参考面上的位移向量;Thi是该节点位移由参考面到其自身中面的转换矩阵;du0i,dv0i,dw0i,dθ0xi,dθ0yi和dui,dvi,dwi,dθxi,dθyi分别是该节点定义在中面和参考面上沿x,y和z方向位移增量和关于x,y轴的转角,hi为过i点在厚度方向上中面到参考面的距离。设一个具有n个节点的板/壳单元,则单元位移的转换矩阵为dq0=Thdq(2)其中dq0={dq01dq02…dq0n}Tdq={dq1dq2…dqn}TTh=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Th100000Th200000⋱00000⋱00000Thn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥Τh=[Τh100000Τh200000⋱00000⋱00000Τhn]3.2节点法外部嵌入为了避免含分层层合板在发生屈曲时子层间出现不合理的嵌入现象,使分层区各子层的单元划分完全一致,并在相邻上、下子层的节点对之间假想地加入一种杆单元。由于忽略子层间接触界面上的摩擦和滑动,该单元只有法向刚度而没有长度,称为虚拟杆单元。对于第i个节点对,其上下子层法向位移wu,wd可能有下面三种接触状态:(1)wui-wdi>0无接触、无嵌入,无需加虚拟杆单元;(2)wui-wdi=0有接触、无嵌入,无需加虚拟杆单元;(3)wui-wdi<0有接触、有嵌入,需要加虚拟杆单元。后屈曲分析过程如下:首先在加载前对所有节点对间虚拟杆单元的刚度赋零。然后,施加第一个增量载荷并求解增量平衡方程,得到各子层节点上的位移。接着用上述准则判断,如果某一节点对位移属于第(1)、(2)种类型,则继续下一增量步的计算;如果属于第(3)种类型,说明发生了嵌入则修改该节点对间的虚拟杆单元刚度为[K]e=k[1−1−11](3)[Κ]e=k[1-1-11](3)其中k为接触刚度系数。根据大量数值试验,k值取为相应节点法向刚度的102～103倍。在修改虚拟杆单元的刚度系数后,再求节点位移、再判断、再修改。通常经过2～3次迭代,即可避免两子层间的嵌入现象,即在第一个载荷步上达到了平衡。继续施加第二个增量载荷,依此类推,直到全部载荷施加完毕。4基本方程和解算方法4.1非线性增量平衡方程线性屈曲也称为分支型屈曲,其屈曲载荷由线性广义特征值方程(4)来确定:(K0+λKσ)q=0(4)式中K0为结构的线性刚度矩阵;Kσ为结构的几何刚度矩阵;λ为载荷比例因子(特征值);q为特征向量。线性屈曲理论仅适用于无缺陷的理想结构。而制造缺陷、材料的各向异性、外载荷等因素都会引起结构的偏心使线性特征值方程不成立。实际层合板的变形往往由非线性弯曲方程(后屈曲方程)控制。其控制方程为KT(q)Δq=ΔP(q)(5)式中KT为结构在某一增量步上的切线刚度矩阵;ΔP为当前位移下结构的不平衡力向量;q为当前位移向量;Δq为结构的增量位移向量。将式(2)代入,方程(4)在参考面内有如下形式:(K(h)-λK(h)σ){q}(h)=0(6)其中K(h)=TThKTh,K(h)σ=TThKσTh同理,非线性增量平衡方程(5)在参考面上可以写成如下形式:TThKTTh{dq}(h)=TTh{dR}(7)令K(h)T=TThKTTh,{dR}(h)=TTh{dR}(8)代入式(7)得:K(h)T{dq}(h)={dR}(h)(9)可见,参考面单元上的平衡方程和力学量的计算与在原单元上具有相同的形式。而参考面位置的选择具有灵活性,这就为板/壳在分层前沿沿厚度方向上的联接提供可能。4.2基于增量/观点/迭代的修正弧长法在分层板的后屈曲分析中采用了Updat-Lagrange方法,同时为了追踪复杂的非线性变形路径,采用了基于增量/Newton-Raphson迭代的修正弧长法。求解含分层板/壳结构的非线性平衡路径本身是一个比较复杂的过程,考虑层间接触效应之后又增加了对接触节点对之间虚拟杆单元刚度的迭代,使问题更加复杂化。因此,算法的实现对求解后屈曲路径仍然是十分关键的。这里给出第i个增量步内考虑接触效应的迭代算法流程图。5质量表及分层段,采用故障法向位移以下各算例中的参考面均取在基板的中面上。并定义如下参数:P¯¯¯=P/P0Ρ¯=Ρ/Ρ0为无量纲压屈载荷,P0为相应未分层板的线性屈曲载荷;L和H分别为层合板的长度和厚度;a和t分别为分层长度和分层深度;w¯¯¯=w/Hw¯=w/Η为无量纲法向位移;a¯=a/La¯=a/L为无量纲分层长度;t¯=t/Ht¯=t/Η为无量纲分层深度。5.1短分层各板的使屈曲模式例1两对边固支,两对边自由,含两个长度不等分层的层合板,长L=150mm,宽W=30mm,厚H=1.776mm,分层长度分别为a¯=0.2,0.4a¯=0.2,0.4,铺设方式为[02/902/02/904/02/902/02],单层材料参数为:E11=130.0GPa,E22=10.0GPa,G12=G13=4.85GPa,v12=0.31,v23=0.52;长分层位于靠近下表面的第一个00和900铺层的交界处;短分层沿板厚度方向位置不同,如图3所示,其中“//”表示分层所处的位置。为叙述方便,以下将多分层板的各子层由下至上排序为子层1、2、3…。按本文的理论和方法计算所得的Type-1-1～Type-1-5各板的后屈曲载荷因子分别为0.6445,0.6238,0.5418,0.5955,0.6304。说明短分层的位置距离板的上表面或长分层界面越远,对层合板的后屈曲载荷的影响越大,但这种影响范围不大,最多使后屈曲载荷下降10%左右。后屈曲路径及后屈曲模态见图4～图8。很明显,上述五种短分层深度不同的层合板均发生了整体-局部混合型屈曲,但它们的后屈曲路径和后屈曲模态却相差很大。Type-1-1板的后屈曲模态为:最厚子层2与层合板整体变形趋势相同且向上,子层3最初与子层2接触在一起,然后张开,最终子层2,3又接触在一起,而子层1张开;Type-1-2板的后屈曲模态为:最厚子层2与层合板整体变形趋势相同且向下,子层1,3张开;Type-1-3板的后屈曲模态为:最厚子层2与层合板整体变形趋势相同且向上,子层2,3接触在一起,而子层1张开;Type-1-4型板的后屈曲模态为:子层1,2,3与层合板整体变形趋势相同且向下,子层2,3接触在一起,而子层1张开;Type-1-5板的后屈曲模态为:厚度最大的子层3和整体变形趋势相同且向上,子层2,3接触在一起,而子层1张开。5.2单阶型板的屈曲分析复合材料层合板受到低速冲击后,往往在受力区的下方会产生多个长度不等的分层损伤,而且分层最容易发生在两个具有不同铺设角度的子层之间。例2图9给出了两种形式的多分层层合板Type-2-1和Type-2-2,材料性质同上例,铺设方式均为[02/902/02/902//902//02//902//02]。Type-2-1板的长分层尺寸为60mm,其余三个分层长度均为30mm,多分层呈单阶型;Type-2-2板最长分层长度为60mm,其余三个分层长度依次递减,分别为50mm,40mm和30mm,多分层呈多阶型。通过计算得到Type-2-1和Type-2-2板的后屈曲路径及后屈曲模态如图10和图11。结果表明,单阶型板Type-2-1的后屈曲载荷因子为P¯¯¯=0.5462Ρ¯=0.5462,与4.1节中各种双分层板相比有所降低,但降低的幅度很小;后屈曲模态为混合型失稳。其中子层1张开,子层2,3,4,5接触在一起,与整板的变形趋势相同且向上。多阶型板Type-2-2与4.1节中Type-1各板相比,其后屈曲载荷因子下降了约2/3,在后屈曲分析过程中发现:子层2,3在(0.0293≤P¯¯¯≤0.0606)(0.0293≤Ρ¯≤0.0606)之间发生接触,随着外载荷增加,子层2,3又逐渐张开;子层4,5在P¯¯¯≥0.0351Ρ¯≥0.0351之后便开始接触并协调变形。总之,多分层板随着外载荷增加,呈较为明显的张开型局部屈曲模态,其中子层4,5接触在一起且变形很小;而子层1,2,3张开且位移依次减小。6层合板后屈曲问题综上分析,可以得出如下结论:(1)采用参考面单元模型并引