2020-2021学年山东省新高考质量测评联盟高一上学期12月月考数学试题

20202021学年山东省新高考质量测评联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，然后再由并集运算可得答案.【详解】由得所以故选：C2．已知，，那么是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全称命题的否定为特称命题可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以是，，故选：D.3．不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用因式分解，结合二次函数的图象即可求解不等式得解．【详解】解：因为，所以，所以或，即故选：C4．下列函数在区间上为增函数的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数特征一一判断即可．【详解】A中，在区间上为增函数，故A正确；B中，是指数函数，其底数为，故为减函数，则B错；C中，因为的底数为，则在上为增函数，所以在区间上为减函数，所以C错；D中，为二次函数，其图象对称轴为，开口向上，所以在区间上为不单调，故D错．故选：A5．幂函数、、以及将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（）A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅶ D．Ⅲ和Ⅷ【答案】C【分析】本题可通过绘出幂函数的图像得出结果.【详解】如图所示，在图中绘出幂函数的图像（用虚线表示）结合图像易知，幂函数的图像经过的“卦限”是Ⅲ和Ⅶ，故选：C.6．某人的智能密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（）A．201126 B．210612 C．110631 D．120621【答案】D【分析】设该密码对应的六位数字是abcdef，根据题意，由求解.【详解】设该密码对应的六位数字是abcdef，由题意得：即，解得，所以该密码对应的六位数字是120621故选：D7．若正实数，满足，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由对数的性质可知：原等式等价于，即，可推导出，根据“1”的应用可求出的最小值.【详解】由条件可知，因为，，所以等价于，即，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.【点睛】知识点点睛：（1）当时，，当且仅当时“等号”成立；（2）基本不等式的应用为“一正二定三相等”.8．已知，为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数及幂函数的单调性可判断A，B，当时可判断C，根据均值不等式判断D即可.【详解】，为正实数，且在上均为减函数，在上为增函数.A：当时，，故A错误；B：当时，，故B错误；C：当时，联立，解得，此时，故C错误；D：，，，，，，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：利用指数函数的单调性，幂函数的单调性容易判断AB存在错误，根据均值不等式推导，利用指数函数性质及不等式的传递性判断D正确，是解题的关键.二、多选题9．已知实数，且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A.根据在R上递增判断；B.由时判断；C.由时判断；D.利用不等式的乘法性质判断.【详解】A.因为，所以，又因为在R上递增，所以，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，不成立，故错误；D.因为，，所以，故正确；故选：AD10．下列说法正确的是（）A．函数在定义域上为减函数B．“”是“”的充分不必要条件C．幂函数在上是增函数的一个充分条件是D．是的必要不充分条件【答案】BCD【分析】在上是增函数，则判断；D.利用对数函数的图象和性质判断.【详解】A.函数在上是减函数，故错误；B.命题若“”，则“”的等价命题是命题若“”，则“”，原命题为真，逆命题为假，故充分不必要条件，故正确；C.若幂函数在上是增函数，则，故正确；，则，故正确；故选：BCD11．中国传统文化中有很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的数学之美.现给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“和谐函数”，下列命题正确的是（）A．对于任意一个圆，其“和谐函数”有无数个B．函数不是任意一个圆的“和谐函数”C．函数可以是某个圆的“和谐函数”D．函数是“和谐函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形【答案】AC【分析】根据“和谐函数”的定义，一一验证即可.【详解】对于A：过大圆圆心的直线由无数条，故A正确；对于B：函数定义域为R，为奇函数，所以它是圆心在原点的圆的“和谐函数”，故B错误；对于C:函数是奇函数，符合题意，故C正确；对于D：函数的图象是中心对称图形，则函数不一定是“优美函数”，如；函数是“优美函数”时，图象也不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的不充分不必要条件，故选项D错误.故选：AC12．已知函数（且），则下列结论正确的是（）A．，等式恒成立B．若，则一定有C．，方程有两个不相等的实根D．存在无数多个实数，使得函数有三个零点【答案】ABD【分析】A.利用函数奇偶性定义判断；B.由，分，的值域；D.将函数有三个零点，转化为有三个交点，利用数形结合法判断.【详解】A.，故正确；B.因为，当时，递增，所以递增，当时，递减，所以递减，综上，单调，所以若，则一定有，故正确；C.因为，则，，所以，当时，方程无实根，故错误；D.若函数有三个零点，则有三个交点，因为都是奇函数且都过，当时，如图所示：当时，如图所示：所以存在无数多个实数，使得函数有三个零点，故正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、填空题13．函数的定义域为______.【答案】【分析】根据函数，由求解.【详解】因为函数，所以，即，解得，所以函数的定义域是故答案为：14．方程的解为______.【答案】【分析】设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.【详解】设，即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：15．已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，且有，则不等式的解集为______.【答案】【分析】先函数为偶函数以及条件得出的单调性和，进一步得出函数的符号情况，将化为，分和两种情况解不等式,即可得出答案.【详解】由是定义在上的偶函数，在上单调递增，且所以在上单调递减，所以当或时，，当时，等式，即当时，则，所以不成立，故以此时无解.当时，则，由当或时，，则或故答案为：四、双空题16．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则实数的取值范围是______，的最大值是______.【答案】【分析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图，,，故的取值范围是.又由图可知,，，故，故.故.又当时,.当时,,故.又在时为减函数，故当时取最大值.故答案为：；【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题.五、解答题17．化简并求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可；（2）根据对数的运算法则及性质求解.【详解】（1）.（2）.18．已知，.（1）求；（2）已知函数，从①，都有成立，②，使得成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答.问题：记，______，若为假，为真，求实数的范围.（若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分）【答案】（1）或（2）答案见解析．【分析】（1）先化简集合，再计算并集与补集即可；（2）若选①：有恒成立，因为，所以，所以，结合假真即可得结果；若选②：有能成立，则计算最小值，结合假真即可得结果．【详解】（1）由已知，得，，所以，所以或.（2）因为为假，所以．若选①：因为，恒成立，即恒成立，因为，所以，当且仅当是，，所以，因为为假，为真，所以的取值范围是.若选②：由，使成立，即能成立，因为，所以，当且仅当时，，所以，因为为假，为真，所以的取值范围是．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．19．函数.（1）当时，求函数的值域；（2）当时，函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的表达式，再换元可得，，由指数函数的单调性可得答案.

（2）令则，将问题转化为二次方程在上有两个不等实根，由二次方程实数根的分布的条件可得答案.【详解】（1）时，，所以，令，，此时，因为在上是增函数，所以，所以的值域是.（2）当时，有两个零点，即有两个不等实根，即存在两个不等实根，令，所以在上有两个不等实根，设，则，解得.所以的取值范围是.20．“凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物，某市2019年底为了净化某水库的水质，引人“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为，“凤眼蓝”覆盖面积单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型（且）与可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）经测得2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份.（参考数据：，）【答案】（1），；（2）更合适，10月.【分析】（1）根据2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为，将代入求解.（2）将，代入（1）所求的解析式，根据2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为判断哪个模型更合适，然后再根据覆盖面积达到求解.【详解】（1）若选：由题意，得解得所以.若选：由题意得解得所以.（2）若用，当时，，若用，当时，，所以用模型更合适，令，即，所以，所以.所以“凤眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份是10月.【点睛】方法点睛：解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．21．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，都有.（1）判断并证明的单调性；（2）解不等式；（3）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）任取且，根据单调性的定义可得结论；

（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；

（3）要使得对于任意的x∈[1，1]，a∈[1，1]都有恒成立，只需对任意的a∈[1，1]时，看作关于a的一次函数可得不等式组求解.【详解】（1）在上单调递减.证明：任取且，则即，所以在上单调递减.（2）因为且为奇函数，所以，又结合（1）得：，故解集为.（3）由（1）得，所以在上恒成立，即.令，只需即解得，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：根据函数的单调性、奇偶性求解抽象不等式问题，其中利用函数性质去掉符号是解抽象不等式的关键．22．已知是上的偶函数，其中为自然对数的底数.（1）求实数的值；（2）设，求函数在的最小值；（3）已知为的反函数，设，若对任意的，当，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据偶函数的定义转化为恒等式求解即可；（2）换元后函数转化为，讨论二次函数对称轴与的关系求最值；（3）根据反函数求出，原不等式恒成立转化为对任意的恒成立，分离参数求最值求解即可.【详解】（1）因为是偶函数