八年级数学培优资料

.∴⑵⑶设,则原式可变为∴原式＝3－23－2⑷[变式题组]01．分解因式：⑴⑵⑶⑷⑸[例5]⑴〔上海竞赛试题求方程的整数解；⑵〔希望杯设x、y为正整数,且,求xy的值[解法指导]⑴结合方程的特点对其因式分解,将不定方程转化为方程组求解；⑵将等式左边适当变形后进行配方,利用x、y为正整数的特点,结合不等式求解.解：⑴,,,∴,∵x、y都是整数∴∴,∴方程的整数解为,⑵,,,∵∴∵x为正整数,∴x＝1,2,…,10,又∵是平方数,∴x＝6或8当x＝6时＝64,y＝6,当x＝8时＝36,y＝4,∴xy＝36或32[变式题组]01.设x、y是正整数,并且,则代数式的值是___________02.〔第二届宗沪杯已知a、b为整数,则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组〔a,b共有__________03．〔北京初二年级竞赛试题将2009表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示方法有〔 A．16种B．14种 C．12种 D．10种04．方程的正整数解的个数为〔 A．0个B．1个 C．2个 D．不少于3个05．一个正整数,如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数,求这个正整数.[例6]已知k、a都是正整数,2004k＋a、2004〔k＋1＋a都是完全平方数⑴请问这样的有序正整数〔k、a共有多少组？⑵试指出a的最小值,并说明理由.解：⑴①②,这里m、n都是正整数,则故注意到,、奇偶性相同,则,解得,当n＝502,m＝500时,由①得2004k＋a＝250000,所以③由于k、a都是正整数,故k可以取值1,2,3,…,124,相应得满足要求的正整数数组〔k、a共124组当n＝170,m＝164时,由①得2004k＋a＝26896所以④由于k、a都是正整数,故k可以取值1,2,3,…,13,相应得满足要求的正整数数组〔k、a共13组从而,满足要求的正整数组〔k、a共有124＋13＝137〔组⑵满足式③的最小正整数a的值为1504,满足式④的最小正整数a的值为844,所以,所求的a的最小值为844[变式题组]01．〔北京竞赛已知a是正整数,且是一个正整数的平方,求a的最大值.02．设x、y都是整数,,求y的最大值第14讲分式的概念•性质与运算考点•方法•破译1．分式的概念和性质若A、B表示两个整式,且B中含有字母,则形如的式子叫分式,当B≠0,分式有意义．分式基本性质：,2．分式的运算法则⑴同分母相加减：；⑵异分母相加减：；⑶分式的乘法：；<4>分式的除法：；<5>分式的乘方：．〔n为正整数．经典•考题•赏析[例1]<XX>要使式子有意义,x的取值范围是<>A．x≠1B．x≠0C．x＞—1且x≠0D．x≥—1且x≠0[解法指导]式子有意义,则∴x≥－1且x≠0故选D[变式题组]01．使分式有意义,则x应满足<>A．x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．x≠1或x≠202．下列分式一定有意义的是<>A．B．C．D．03．若对于分式,不论x取何实数,总有意义,则m的取值范围是_________．04．〔希望杯若分式；不论x取何实数总有意义,则直线y＝mx－m一定经过＿＿＿＿＿＿象限．[例2]〔天津若分式的值为0,则x的值等于________________．[解法指导]若分式的值为0,必须满足分子为0而分母不为0．解：∴x＝２[变式题组]01．若代数式有意义,则x的取值范围是<>A．x≠2B．x≠2且x≠－3C．x≠－3D．x≠2,x≠－3且x≠102．若式子的值为0,则x的值为______________．03．若分式的值为0,则x的值为______________．04．〔XX的值为零,则x的值为______________．[例3]〔XXXX化简,其结果是<>A．B．C．D．[解法指导]本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混合运算,要注意运算顺序：先乘除后加减,有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号．,故选D．[变式题组]01．〔上海计算：02．〔XX化简：03．〔襄樊计算：04．〔XX化简：[例4]计算：[解法指导]有些异分母相加时若直接通分,最简公分母非常复杂,因而在观察分母的特点后可采用逐步通分、分组通分、拆项合并、换元法等方法计算解：[变式题组]01．计算：02．化简：03．计算：[例5]已知a整数,且代数式的值也是整数,求a的值．[解法指导]∵由题意可知为整数,∵a为整数,∴a—4＝±1,±2,±4,±8,∴a＝－4,,0,2,3,5,6,8,12．[变式题组]01．求4x2－2xy－12x＋5y＋11＝0的正整数解．02．求方程4x＋y＝3xy的整数解．03．〔第二届宗沪杯在平面直角坐标系中,把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点．在函数,整点的个数是_____________．[例6]甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料．⑴甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？⑵谁的购货方式更合算？[解法指导]由于两次饲料的单价有变化,可设第一次购买的饲料的单价为m元／千克,第二次购买的饲料的单价为n元／千克,甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第⑵问中,比较甲、乙所购饲料的平均单价,谁的平均单价低谁的购货方式就更合算,可以用作差比较平均单价．解：⑴设两次购买的饲料单价分别为m元／千克和n元／千克〔m、n是正数,且m≠n甲两次购买饲料的平均单价为〔元／千克,乙两次购买饲料的平均单价为〔元／千克⑵甲、乙两种饲料的平均单价的差是由于m、n是正数,且m≠n,所以也是正数,即,因此乙的购买方式更合算．[变式题组]01．西瓜按千克计价,购买西瓜时,希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚均为d,试问买大西瓜还是买小西瓜合算？〔把瓜看作球体,并设西瓜的密度是均匀的,球的体积是,其中R为球的半径02．〔XXXXA玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分,B玉米试验田是边长为〔a－1米的正方形,两块试验田的玉米都收获了500千克．⑴那种玉米的单位面积产量高？⑵高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？演练巩固反馈提高01．下列各式计算正确的是<>A．B．C．D．02．已知a＞1,,,,则A、B、C的大小关系是<>A．A＞B＞CB．A＞C＞BC．C＞B＞AD．C＞A＞B03．〔XX化简的结果<>A．a－bB．a＋bC．D．04．<黄冈>化简的结果是<>A．－4B．4C．2aD．－2a05．化简等于<>〔错A．B．C．D．06．下列计算中,=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤,其中正确的有___________<填序号>．07．〔XX化简：_____________．08．若整数x能使分式的值是整数,则符合条件的x的值是______________．09．〔枣庄a、b为实数,且ab＝1,设P＝,Q＝,则P__________Q．<填"＞"、"＜"或"＝">10．计算：⑴;⑵;11．设,先化简y,然后确定当x取什么整数时,能使y的值是正整数．12．建筑上有这样的规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比,但窗户面积必须小于地面面积,采光度越大,说明采光条件越好,问：增加同样的窗户面积和地面面积,采光条件是变好了还是边差了,为什么？13．〔XX甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作,甲队有一半时间每天维修公路x千米,另一半时间每天维修公路y千米．乙队维修前1千米公路时,每天维修x千米；维修后1千米公路时,每天维修y千米〔x≠y．⑴求甲、乙两队完成任务需要的时间〔用含x、y的代数式表示；⑵问甲、乙两队哪队先完成任务？第15讲分式的化简求值与证明考点•方法•破译分式的化简、求值先化简,后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略,有条件的化简求值题,条件可直接使用,变形使用,或综合使用,要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题,要注意挖掘隐含条件,或通过分式巧妙变形,使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况,课直接求出结果.分式的证明证明恒等式,没有统一的方法,具体问题还要具体分析,一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的,另一类是没有附加条件的,对于前者,更要善于利用条件,使证明简化.经典•考题•赏析[例1]〔XXXX先化简代数式<＋>÷,然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值.[解法指导]本题化简并不难,关键是所取的值的选择,因为原式的分母为：x＋1,x2－1,要是原式有意义,则x＋1≠0且x2－1≠0故x≠1,因而可取的值很多,但不能取x≠1解：<＋>÷＝[＋]·<x＋1><x－1>＝<x－1>2＋2x＝x2＋1当x＝0时,原式＝1．[变式题组]01．〔XX先化简,再求值,其中a＝2.02．〔XX已知x＝2＋,y＝2－,计算代数式的值03．〔XX先化简：÷<a＋>,当b＝－1时,请你为a任选一个适当的数代入求值.04.〔XX先将代数式<x－>÷<1＋>化简,再从－3＜x＜3的范围内选取一个合适的整数x代入求值.[例2]已知＋＝5,求的值.[解法指导]解法1：由已知条件,知xy≠0.将所求分式分子、分母同除以xy,用整体代入法求解.解法2：由已知条件＋＝5,求得x＋y＝5xy,代入求值.解：方法1：∵＋＝5,,∴x≠0,y≠0,xy≠0将待求分式的分子、分母同除以xy.原式＝＝＝＝1．方法2：由＋＝5知x≠0,y≠0,两边同乘以xy,得x＋y＝5xy故＝＝＝＝1．[变式题组]01．〔天津已知－＝4,则的值等于〔A．6B．－6C．D．02．若x＋y＝12,xy＝9,求的值.03．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0,求的值.[例3]〔XX竞赛已知＝1,求的值.[解法指导]利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵∴＝1∴x－3＋＝1∴x＋＝4.又∵＝x2－9＋＝<x－>2－11＝16－11＝5.∴＝.[变式题目]01．若x＋＝4,求的值.02．若a2＋4a＋1＝0,且＝5求m.[例4]已知＝,＝,＝,求的值.[解法指导]将已知条件取倒数可得＝3,＝4,＝5,进而可求的值,将所求代数式也取倒数即可求值.解：由已知可知ac、bc、ab均不为零,将已知条件分别取倒数,得,即三式相加可得＋＋＝6,将所求代数式取倒数得＝＋＋＝6,∴＝.[变式题组]01．〔XX联赛试题实数a、b、c满足：＝,＝,＝,则ab＋bc＋ac＝.02．〔天津初赛试题已知＝2,＝3,＝4,求7x＋5y－2z的值.[例5]若＝＝,求的值.[解法指导]观察题目易于发现,条件式和所求代数式中都有a＋b,c＋b,a＋c这些比较复杂的式子,若设＝＝＝k,用含k的式子表示a＋b,c＋b,a＋c可使计算简化.解：设＝＝＝k,则a＋b＝ck,c＋b＝ak,a＋c＝bk,三式相加,得2<a＋b＋c>＝<a＋c＋b>k.当a＋b＋c≠0时,k＝2；当a＋b＋c＝0时,a＋b＝－c,,∴k＝－1．∴当k＝2时,＝k3＝8；当k＝－1时,＝k3＝－1．[变式题组]01．已知x、y、z满足＝＝,则的值为〔A．1B．C．D．02．<天津竞赛题>已知a、b、c为非零实数,且a＋b＋c≠0,若＝＝,求的值.[例6]已知abc＝1,求证：＋＋＝1[解法指导]反复整体利用,选取其中一个的分母不变,将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵＝＝＝＝＝＝∵＋＋＝＋＋＝1[变式题组]01．〔XX省初二数学联赛试题已知＝＝,a≠b≠c则a2＋b2＋c2＝〔A．5B．C．1D．02．〔XX省初二数学联赛试题已知不等于零的三个数满足.求证：a、b、c中至少有两个数互为相反数.03．若：a、b、c都不为0,且a＋b＋c＝0,求的值.演练巩固反馈提高01．已知x－＝3,那么多项式x3－x2－7x＋5的值是〔A．11B．9C．7D．502．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子－的值是〔A．B．C．D．003．〔内江已知5x2－3x－5＝0,则5x2－2x－＝.04.〔XX设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0,则＝.05.已知a＝1＋2n,b＝1＋,则用含a的式子表示b是.06.a＋b＝2,ab＝－5,则＝.07.若a＝,b＝－,c＝,试把a、b、c用"＜"连接起来为.08.已知＝,求的值为.09.若2x＝,＝81,则xy的值为.10.化简为.11．〔XX先化简,再求值：,其中x＝,y＝3．12．〔思施求代数式的值：,其中x＝2＋.13．〔XX先化简,再求值：,其中x＝－3．14.已知：,求常数A、B的值.15.若a＋＝3,求2a3－5a2－3＋的值.培优升级奥赛检测01．〔全国初中数学竞赛试题若＝20,＝10,则的值为〔A．B．C．D．02．〔XX竞赛试题已知x＋y＝x－1＋y－1≠0,则xy的值为〔A．－1B．0C．1D．203．〔天津初赛试题已知x＋＝7<0＜x＜1>,则－的值为〔A．－B．－C．D．04.〔XX联赛试题已知正实数a、b满足ab＝a＋b,则〔A．－2B．C．D．205.〔荆州市八年级数学联赛试题已知－＝1,则＋的值为〔A．±B．C．±D．06.已知abc≠0,并且a＋b＋c＝0,则a<＋>＋b<＋>＋c<＋>的值为〔A．0B．1C．－1D．－307.设x、y、z均为正实数,且满足,则x、y、z三个数的大小关系是〔A．z＜x＜yB．y＜z＜xC．x＜y＜zD．z＜y＜x08.〔XX八年级竞赛试题如果a是方程x2－3x＋1＝0的根,那么分式的值是.09.〔XX八年级竞赛试题甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试,自动记录表表明：当甲距离终点差1米,乙距离终点2米；当甲到达终点时,乙距离终点1．01米,经过计算,这条跑道长度不标准,则这条跑道比100米多.10.若a＋＝1,b＋＝1,求c＋的值.11．已知a、b、c、x、y均为实数,且满足＝,＝,＝,＝<y≠>〔其中求x的值.12．〔全国联赛当分别取值,,,……,1,2,……2007,2008,2009时,分别计算代数式的值,将所得的结果相加,其和是多少？13．〔全国初中数学竞赛试题在一列数x1,x2,x3…中,已知x1＝1,且当k≥2时,xk＝xk－1＋1－4<[－]>〔取整符号[a]表示不超过实a数的最大整数,例如[2．6]＝2,[0.2]＝0求x2010的值.14.〔全国初中数学竞赛试题已知对于任意正整数n,都有a1＋a2＋…＋an＝n3,求＋＋…＋的值.第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程<组>的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母,将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子<整式>的次数高于等于分母<整式>的次数时,可利用分拆思想,把分式化为"整式＋分式"的形式,化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子<或分母>相等的分式,再利用分母<或分子>相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程,或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时,通常将分式方程两边同时乘以最简公分母<化为整式方程>,这就扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.因此,解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围<解是正数,或解是负数>时,要注意剔除正数解或负数解中的增根<因为增根不是分式方程的根>.3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的,但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验,①检验是否是增根,②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析[例1]解下列方程:⑴－＝1⑵－－＝4⑶＋＝＋[解法指导]对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式,找到最简公分母,然后将分式方程转化为整式方程,求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂,若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点,先化简,如＝＝1＋,按照上述变形,原方程可变为＋＝＋再移项后分组通分求解较简单.解:⑴－＝1<x－2>2－16＝<x＋2><x－2>x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时<x＋2><x－2>＝0,∴x＝－2是增根,原分式方程无解.⑵＋－＝4x－2＋4x2－2<x＋2>＝4<x＋2><x－2>∴x＝10当x＝10时,<x＋2><x－2>≠0,∴原分式方程的解为x＝10.⑶原方程变形为＋＝＋1＋＋1＋＝1＋＋1＋∴＋＝＋－＝－两边分别通分得:＝∴<x－5><x－6>＝<x－8><x－9>∴x＝7检验知x＝7是原方程的解.[变式题组]⑴＝－2⑵＋2＝⑶－＝－⑷＋＋＝1[例２]当m为何值时,分式方程－＝会产生增根?[解法指导]我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x＝1或x＝－1,只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程,即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得<m－2>x＝5＋m假设产生增根x＝1,则有:m－2＝5＋m,方程无解,所以不存在m的值,使原方程产生增根x＝1;假设产生增根x＝－1,则有:2－m＝5＋m,解得m＝－.∴m＝－时,分式方程－＝产生增根.[变式题组]01．分式方程－＝的增根是__________.02．若分式方程－＝1有增根,则它的增根为<>A．0B．1C．－1D．1,－103．<XX>若关于x的方程＝1－无解.则m的值为___________.04．分式方程－＝无解,则m的值为___________.[例３]<XX>已知关于x的方程＝3的解是正数,则m的取值范围是_________.[解法指导]求出方程的解x＞0且x≠2即可解:＝32x＋m＝3x－6x＝m＋6∴∴m＞－6且m≠－4[变式题组]01．<XX>关于x的方程＝1的解是正数,则a的取值范围是<>A．a＞－1B．a＞－1,且a≠0C．a＜－1D．a＜－1,且a≠－202．当m为何值时,关于x的方程＝－的解是正数?[例４]<XXXX>某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元?[解法指导]⑴设商场第一次购进x套运动服,由题意得:－＝10解这个方程,得x＝200,经检验,x＝200是原方程的解.2x＋x＝600∴商场两次共购进这种运动服600套.⑵设每套运动服的售价为y元.则有≥20%,y≥200∴每套运动服售价至少200元.[变式题组]01．<XX>某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划每天加工x套,则根据题意可得方程为<>A．＋＝18B．＋＝18C．＋＝18D．＋＝1802．<XX>铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折售完,那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03．<广西XX>由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程,甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2,两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后,学校付给他们20000元报酬,若按各自完成的工程量分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01．<XX>关于x的分式方程＝1,下列说法正确的是<>A．方程的解是x＝m＋5B．m＞－5时,方程的解是正数C．m＜－5时,方程的解是负数D．无法确定02．<XX>甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效