九年级数学上册 222 二次函数与一元二次方程典型例题2素材新

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《二次函数与一元二次方程》典型例题

例1已知：二次函数y=x+2ax-2b+1和y=-x+(a-3)x+b-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a，b的值。

例2已知二次函数y?ax?bx?c的图像如下图.（1）试确定

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a,b,c,b2?4ac,2a?b,2a?b,a?b?c,a?b?c的符号；（2）求OA?OB的值；（3）求

?AMB的面积；（4）若OA?OC，求a,b,c之间的关系.

例3抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且

2AQ?BQ，则ak的值等于（）.

（A）?1（B）?2（C）2（D）3.

例4如下图，直线AB是一次函数y?x?n的图像，直线AC是一次函数y??2x?m的图像（m?n?0）.（1）用m,n表示A点坐标；（2）若?ABC的面积为12，且A点在抛物线y?3x?2x?3上，求直线AB与AC的函数解析式.

例5已知抛物线y?212x?x?2.2（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

（2）如图，若直线l:y?kx(k?0)分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线y??x?4相交于点P，试证

OPOP??2；OAOB（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？假使存在，求出k值；假使不存在，请说明理由.

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参考答案

例1解：方法一依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，则x1，x2为方程x+2ax-2b+1=0

的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1。

由于x1，x2又是方程-x+(a-3)x+b-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b．由此得方程组

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当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以a=1，b=0舍去。当a=1，b=2时，二次函数为y=x+2x-3和y=-x-2x+3符合题意，所以a=1，b=2。方法二由于二次函数y=x+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数

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a?3，又两个二次函数图象都经过x2a?3轴上两个不同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以?a?，

2y??x2?(a?3)x?b2?1的图象的对称轴为x?解得a=1.所以两个二次函数分别为y=x+2x-2b+1和y=-x-2x+b-1。依题意，令y=0得

x+2x-2b+1=0，(1)-x-2x+b-1=0，(2)

(1)+(2)得b-2b=0，解得b1=0，b2=2。以下解法同方法一。

注意：此题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图

象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x20)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解。

方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，由于两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解:x1、x2都是方程(1)和(2)的解,不妨设

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x12?2x1?2b?1?0,同时也应有?x12?2x1?b2?1?0,所以x12?2x1?2b?1?b2?1.从而推出2b=b2得解。

最终提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意。

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例2分析：（1）观测图象，由二次函数的图象和性质或令x取?1，就可以确定几个式子的符号．（2）关键要能明白OA?OB与x1x2之间的关系．

解：（1）∵抛物线开口向下，∴a?0.

又∵抛物线的顶点在y轴的右侧，∴?b?0，而a?0，∴b?0.2a又抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方，∴c?0.

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b?4ac?0.又?x??2b?1,a?0，∴2a?b?0.2a?x??b??1,a?0，∴2a?b?0.2a当.x?1时，y?0，∴a?b?c?0.当x??1时，y?0，∴a?b?c?0.（2）设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0).∴OA?x1??x1,OB?x2?x2，

?x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个不同的实数根，

∴x1x2?cc.∴OA?OB??x1x2??.aa222cb2?4ac?b?（3）而(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?????4??.?AB?x1?x2，2aa?a?b2?4ac?a?0,b?4ac?0，∴x1?x2?.

?a2∴S?AMB1(b2?4ac)b2?4ac?AB?DM?.28a2（4）?OA?OC，∴?x1?c即x1??c.

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又?x1是方程ax?bx?c?0的一个根，由OA?OC知?c是它的另一个根，由方程根的定义，知ac?bc?c?0.

说明：此题是一道综合性较强的题目，把二次函数的问题转化成二次方程的问题，然后利用韦达定理来解决．

例3分析要解决此题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与y轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为y?ax?bx?k.这样就把问题转化为：“抛物线y?ax?bx?k与x轴交于A、B两点,与y轴交于Q点，若AQ?BQ，则ak=，〞从而把问题“化繁为简〞.根据射影定理与韦达定理可得ak=?1.例4分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组?2'2'22?y?x?n,的解；（2）要求直线AB与

?y??2x?mAC的解析式，就是要确定m,n的值.因A点在抛物线y?3x2?2x?3上，把A点的坐标代

入抛物线解析式得到一个关于m,n的方程，再由?ABC的面积为12，又得到一个关于m,n的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.

m?n?x?,??y?x?n,?3

解：（1）解方程组?得?

m?2ny??2x?m??y?.?3?

∴A点的坐标为??m?nm?2n?,?.

3??3（2）∵A点在抛物线上，

m?2nm?n?m