2021年上海市松江区高考数学一模试卷

2021年上海市松江区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.（4分）lim"—>8-----=.

"3"+2”----

2.（4分）若集合A={x|-l<x<3},8={1,2,3,4},则AB=.

3.（4分）已知复数z满足z-（l-i）=l+9为虚数单位），则|z|=—.

4.（4分）若sina=1，贝!]cosQr-2a）=.

3

5.（4分）抛物线的准线方程是.

6.（4分）已知函数f（x）图象与函数g（x）=2'的图象关于y=x对称，则/（3）=.

7.（5分）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到

的概率—.

8.（5分）在（f+的二项展开式中，常数项等于_.

X

9.（5分）在AABC中，角A,B,C对的边分别为〃，h,c,^|^+2c&2rz|=（）^则

cosB&l

角A=.

10.（5分）从以下七个函数：y=x,y=—,y=x2,y=2x,y=log_2x,y=sinx,y=cosx

x

中选取两个函数记为f（x）和g（x）,构成函数尸（%）=/（/>+g（x）,若尸（X）的图象如图所示,

则/（外=.

11.（5分）已知向量|a|=|b|=|c|=1,若〃•/?='，且。=%助，则x+y的最大值为.

2

12.（5分）对于定义域为。的函数f（x）,若存在冗_1,x_2e。且x_lw%_2,使得

/*_12）=/*_22）=2/（%」+工_2）,则称函数/（幻具有性质〃，若函数8（幻=|1。「2工-1|,

具xw（0,有性质则实数〃的最小值为.

二.选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.（5分）已知两条直线/_1,/_2的方程为/_1:«x+y-l=0和/_2:x-2y+l=0,贝！|a=2

是“直线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.（5分）在正方体中，下列四个结论中错误的是（）

A.直线8」C与直线AC所成的角为60。

B.直线与平面AO_1C所成的角为60。

C.直线8」C与直线所成的角为90。

D.直线与直线所成的角为90。

15.（5分）设x>0,y>0,若2x+1=l,则上的（）

yx

A.最小值为8B.最大值为8C.最小值为2D.最大值为2

16.（5分）记为数列｛〃_〃｝的前〃项和,已知点（〃,〃_〃）在直线y=10-2%上,若有且

只有两个正整数〃满足S_〃囱,则实数k的取值范围是（）

Q1

A.（8,14]B.（14,18]C.（18,20|D.（18,—]

4

三、解答题（共5小题，满分76分）

17.（14分）如图1,在三棱柱45。-4」8」（?_1中，已知A8J.AC,AB=AC=1,AA_i=2,

且平面A8C,过4」，C_l,8三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个

四棱锥（如图2）.

（1）求异面直线BC」与AA_1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥8-ACC_L4_l的体积和表面积.

G

18.(14分)已知函数f(x)=bsinxcosx+cos?x+1.

（1）求f（x）的最小正周期和值域;

（2）若对任意xeR,尸（工）一女f（x）—z,o的恒成立，求实数上的取值范围.

19.（14分）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查测

算，花费3万元）进行促销后，商品的剩余量3-x与促销费t之间的关系为3-x=±（其

r+1

中k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.

（I）要使促销后商品的利余量不大于01（万件），促销费f至少为多少（万元）？

（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均

成本为32+』（元），若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出

X

商品平均促销费的一半”之和，则当促销费/为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润

最大？此时商品的剩余量为多少？

22

20.（16分）已知椭圆「:二+与=1（〃>6>0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴长的0

ab"

倍，直线/交「椭圆于不同的两点"和N,

（1）求椭圆「的方程；

（2）若直线/经过点P（0,4）,且AOMN的面积为2点，求直线/的方程；

（3）若直线/的方程为y=kx+f（kH0）,点〃关于x轴的对称点为“，直线MN,MW分

别与x轴相交于P、。两点，求证：|OP|・|OQ|为定值.

y

21.(18分)对于由，"个正整数构成的有限集M={〃_1,a_2,a_3,,a_m},记

P(M)=a_\+a_2+...+a_m,特别规定尸(0)=0,若集合〃满足：对任意的正整数

k?P(M),都存在集合M的两个子集A、B,使得k=P(A)-P(B)成立，则称集合M

为“满集”.

(1)分别判断集合M」={1，2}与M_2={1,4}是否为“满集”，请说明理由;

(2)若。_2,…，a_加由小到大能排列成公差为"(deN")的等差数列，求证：集

合用为“满集”的必要条件是。」=1,d=l或2；

(3)若a」，a_2,…,。_机由小到大能排列成首项为1,公比为2的等比数列，求证：

集合M是“满集”.

2021年上海市松江区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

3〃

1.（4分）lim〃------=1.

-3〃+2〃-----

3〃11

［解答］解：lim_n-^oo-----=lim_n—>oo------=---=1.

3"+2“1+（知I—

故答案为：1.

2.（4分）若集合A={x|-l<x<3},8={1,2,3,4},则4B=_{\^2］_.

【解答］解：A={x|-l<x<3},B={1,2,3,4),

.•.A8={1,2}.

故答案为：{1,2}.

3.（4分）己知复数z满足=l+为虚数单位），贝！J|z|=1

【解答】解：由z<l-i）=l+i,

1-/(1-0(1+0

z|=l.

故答案为1.

17

4.（4分）若sina=-，则cosO-2a）=——.

3一9一

【解答】解：sina=-,

3

2227

cosO-2a）=-cos2a=-（1-2sin-a）=-\+2sin-a=-\+—=・

故答案为：

9

5.（4分）抛物线V=Tx的准线方程是_x=l_.

【解答】解：抛物线的方程y2=-4x,，2p=4,得5=1,

因此，抛物线的焦点为尸（-1,0）,准线方程为x=l.

故答案为：X=1

6.（4分）已知函数f（x）图象与函数g（x）=2”的图象关于y=x对称，则f（3）=_log_23

【解答】解：函数/*)的图象与函数g(x)=2'的图象关于直线y=x对称，

.•・函数/(x)与函数g(x)=2*互为反函数，

/(x)=log_2x,

:.f(3)=log_23,

故答案为：k>g_23.

7.(5分)从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到

的概率--

一15一

【解答】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，

基本事件总数〃=C」200w),

学生甲被抽到包含的基本事件个数〃?=C_120079C_L

二学生甲被抽到的概率P=-=0=_L.

nC_12OO8015

故答案为：

15

8.(5分)在(f+2)<>的二项展开式中，常数项等于240.

X

【解答】解：在(f+2)6的二项展开式中，通项公式为7；M=C；2,产-3,,

X

令12-3r=0,求得/•=%可得展开式的常数项为C；24=240,

故答案为：240.

9.(5分)在AABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,且|""十？c&2a卜。，则

cos8&1

角A=

-6-

【解答】解：在AABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,且|四+2c&2a卜0,

cosB&1

可得小b+2c=2acosB,

由正弦定理可得J^sinB+sinC=2sinAcosB,

即5/3sinB+sin(A4-B)=2sinAcosB，可得cosA=-且,

所以A=3.

6

故答案为：—.

6

2x

10.(5分)从以下七个函数：y=x,y=—,y=xfy=2fy=log_2x,y=sinx,y=cosx

x

中选取两个函数记为/(x)和g(x),构成函数尸(%)=/(为+g(N),若F(x)的图象如图所示,

则尸(x)=_2*+sinx_.

4

【解答】解：由图象可知，函数尸(X)的定义域为R,故排除y=Ly=\og_2x,

X

又尸(x)的图象过定点(0,1),

当x>0时，/(工)>1且为增函数，当x<0时，尸。)大于0与小于0交替出现，

2

故排除y=x,y=xf

y=2xH(0,1),且当x>0时，y>1,当x<0时，0<y<l.

若包含y=cosx,当x=0时，y=l,y=2*+cosx不满足过点(0,1),

/.只有y=2x+sinx满足.

故答案为：2、+sinx.

11.(5分)已知向量|〃|=|b|=|c|=l,若=g,且。诲鼾，则元+y的最大值为_2表

【解答】解：|。|=|切，且。为=」，

2

二.a与b的夹角为60。,

设a=(1,0),则b=(g,亭)'

c=xa+yb,

,I小、

..c=(x+-y,—y),

又|c|=l,

(x+；y)2+(T>)2=1，化简得f+初+丫2=1,

，(x+y)2—1=孙,，巨士汉，当且仅当x=y=巫时，等号成立，

43

..X+%---.

3

故答案为：子.

12.(5分)对于定义域为。的函数/(x),若存在x_l,x_2e£>且x_lxx_2,使得

/(x_l2)=/(x_22)=2/(x_l+x_2),则称函数/(x)具有性质M,若函数g(x)=|k)g_2x-\\,

具xw(O,a］有性质A7,则实数a的最小值为_h壶+2一

【解答】解：设x_l<x_2,由f(x」2)=f(x_22)得，|/og_2x」2-lR/og_2x_22-l|,

则l-/og_2x_F=log_2x_22-1,log_2x_12x_22-2,

x_l2x_22=4(x_l2<2,x_22>2),

又2.f(x」+x_2)h2/og_2(x」+x_2)-2R/og_2(x」+x_2)2-2|,

：.log_2(x_i+x_2)2-2=i-log_2x_i2,

44

X_F=—/，log_2(x_\2+—万+4)-2=l-/og_2x_F,

x_2'x_\

贝lJZog_2(x_『+4X_P+4)=3,.X_14+4X_12+4=8,

x_l-小2直-2>故x_2=J2&+2,

a..J2&+2,则实数a的最小值为。2出+2.

故答案为：《2丘+2.

二.选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.(5分)已知两条直线//，/_2的方程为/_l:ar+y-l=O和/-2:x-2y+l=0,则a=2

是''直线/_U/_2”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答］解：若a=2,则/」:2x+yT=4)和/一2:x-2y+l=0,k_l-k_2=-2xl=-l,

2

所以直线满足充分性；

若直线则“xl+lx（-2）=0,解得”=2,满足必要性.

所以。=2是“直线的充要条件.

故选：C.

14.（5分）在正方体ABCD-A_1B_1C_1O_1中，下列四个结论中错误的是（）

5G

A.直线8」C与直线AC所成的角为60。

B.直线B_1C与平面AO_1C所成的角为60。

C.直线B」C与直线所成的角为90。

D.直线8」C与直线AB所成的角为90°

【解答】解：连接A8_l,/XABJC为等边三角形，二ZAC8」=60。，即直线8_1C与AC

所成的角为60。，故选项A正确;

连接AB_\=B_\C=CD_\=AD_\,四面体AB_\CD_\是正四面体,

.•.点8」在平面上的投影为△的中心，设为点。，连接B」O,OC,则

OC=—BC,

3

设直线B_1C与平面AZ）_1C所成的角为。，

远BCr

则cosO="L=g—=世/2.,故选项B错误;

B_\C及BC32

连接8C_1,AO」//8C_1,且B」C_LfiC」，，直线B」C与AD_1所成的角为90。,

故选项C正确;

Afi，平面即直线B_1C与AB所成的角为90。，故选项。正

确.

故选：B.

15.（5分）设x>0,y>0,若2x+1=l,则上的（）

yx

A.最小值为8B.最大值为8C.最小值为2D.最大值为2

【解答】解：由已知2尤+,=1可得y=—

yl-2x2

所以2=1

2

X41-2x)-2x+x_2(x_h+j_

48

当V时，生+』q,此时3=8,

故选：A.

16.（5分）记S_〃为数列｛〃一〃｝的前〃项和，已知点（九,。_九）在直线y=10-2x上,若有且

只有两个正整数〃满足S_〃卤，则实数k的取值范围是（）

Q1

A.（8,14]B.（14,18]C.（18,20]D.（18,—]

4

【解答】解：由已知可得a_〃=10-2〃，由a_〃-=-2,所以数列｛〃_"｝为等差数

列，首项为8,公差为-2,

所以S_n=Sn+^——x（-2）=-n2+9n,

2

当”=4或5时，S_〃取得最大值为20,

因为有且只有两个正整数〃满足S_〃卤,

所以满足条件的"=4和"=5,

因为S_3=S_6=18，

所以实数k的取值范围是（18,20|.

故选：C.

三、解答题（共5小题，满分76分）

17.（14分）如图1,在三棱柱48（7-4_18_1（7_1中，已知AB_LAC,AB=AC=\,A4_l=2,

且44」，平面ABC,过A」，C_l,8三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个

四棱锥（如图2）.

（1）求异面直线3C」与A4」所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥8-ACCJA」的体积和表面积.

【解答】解：(1)A4」//CC_1,.•.NBC」C即为异面直线8C」与AA」所成角,

A4_1_L平面A8C,「.CC」，平面ABC,

/.ZC_1CB=9O°.

22

CB=y/AB+AC=-J\+l=-j2fCC_1=2,

tanZC_lCB=-^-,Z.C_\CB=arctan,

22

即异面直线BC_1与AA_1所成角的大小为arctan-y

1o4

(2)VB-ACC1Al=-xlx22=-;

一__33

S全=^ABAC++S%G+,^C4AC,

=—xlxl+—xlx24--xlx^+—x>/2x2+1x2

2222

2+i+正+应+2,+员苴.

2222

四棱锥B-ACC」A_1的体积为表面积为g+0+亭

18.(14分)己知函数/'")=68m》85%+852工+1.

(1)求/(X)的最小正周期和值域；

(2)若对任意xeR,尸(幻-4/(x)-N,0的恒成立，求实数上的取值范围.

解答】解(1)

21G.ecos2x+l1G.eIc3.%\3

/(X)=。3sinxcosx+cos-x+1=——sin2x+-------+1=——sin2x+—cos2x+—=sin(2x+—)+—

2222262

所以/（x）的最小正周期7=二="，值域为［L-］.

222

（2）iEf（x）=t,则>

22

由尸（x）-A:/（x）-2,0恒成立，知产-h-2„0恒成立，即公..严-2恒成立，

因为"0,所以4..二/=/一/,因为g«）=-7在|］时单调递增，

,、W5417

^（0=^（-）=---=—»

所以上的取值范围是".U.

10

19.（14分）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件），经市场调查测

算，花费1万元）进行促销后，商品的剩余量3r与促销费f之间的关系为3-x=±（其

r+1

中k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.

（1）要使促销后商品的利余量不大于0.1（万件），促销费r至少为多少（万元）？

（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均

成本为32+之（元），若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出

X

商品平均促销费的一半”之和，则当促销费f为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润

最大？此时商品的剩余量为多少？

k

【解答】解：（1）由3—x=当"。，1=1时，得k=2,

r+1

29

3—x=,由---,,0.1,得九.19,

r+lr+1

故要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费，至少为19（万元）;

（2）设网店的利润为y（万元），由题意可得,

/3+32X-，、/rre、

y=M------xl.5d---)一(3+32x+r)

x2x

9932t32

_£±_l=50-(—42.

~2t+\2r+l

当且仅当生=山即t=7时取等号，此:时3-x=0.25.

t+\2

.••当促销费f为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量

为0.25(万件).

22

20.(16分)已知椭圆「:=+与=1(4＞。＞0)的右焦点坐标为(2,0),且长轴长为短轴长的先

ab

倍，直线/交「椭圆于不同的两点用和N,

(1)求椭圆「的方程；

(2)若直线/经过点P(0,4),且AOMN的面积为2&,求直线/的方程；

(3)若直线/的方程为y=kx+«kw0),点M关于x轴的对称点为AT,直线MN,M'N分

别与x轴相交于P、。两点，求证：|OP|“OQ|为定值.

【解答】解：(1)由题意可得/-从=4,

解得a=2-J2,b=2,

所以椭圆的方程为工+匕=1;

84

(2)设点〃，N的坐标为y_l),N(x_2,y_2),

y=kx+4

直线/的方程为丫=口+4,联立方程Vy2,

---1---=1

84

消去y可得：(l+2k2)x2+16kx+24=0,

-16k

则x_l+x_2=xlx2=24

l+2k2一一l+2k2

所以S_\OMN=--4-J(X_1+X_2)2_4X_1X_2=8*J2k3=2点,

2v一一-l+2k-

解得k=士芈，所以直线/的方程为y=±"x+4；

(3)证明：由题意知AT点的坐标为“(x_l,-y_l),

将丫=口+£代入椭圆方程可得：(l+2k2)f+4k优+2*-8=0,

-4kt2r2-8

所以x_l+x_2=x_lx_2=

l+2k21+21?

所以y_i+y_2=k(x_l+x_2)4-2/=-—

对于直线^二心+人令y=o,得工=一2_,所以|OPR一_L\,

kk

对于直线MW:y-y_2=y_2_y」Q_x_2),令y=0,^x=~y-2(X-2~X-l)+x_2

x_2-x_ly_2+y_l

_x\y2+x2y\_x\(kx2+1)+x2(kxl+1)

y_2+y_ly_2+y_l

=."回2型(=.』2)二型,所以|OQ|=|一四i，

y-2+y_ltt

tRk

所以|0p-|0。|=|一！卜|一竺|=8为定值，

kt

故原结论成立.

21.(18分)对于由他个正整数构成的有限集A7=伍_1,a_2,(z_3,...,a_m},记

P(M)=a_]+a_2+...+a_m,特别规定P(0)=Q,若集合M满足：对任意的正整数

k?P(M),都存在集合”的两个子集A、B,使得k=P(A)-P(B)成立，则称集合M

为“满集”.

(1)分别判断集合M」={1,2}与M_2={1,4}是否为“满集”，请说明理由;

(2)若a」，a_2,....相由小到大能排列成公差为"(deN")的等差数列，求证：集

合M为“满集”的必要条件是。」=1,d=l或2；

(3)若。_1,a_2,…,相由小到大能排列成首项为1,公比为2的等比数列，求证：

集合M