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文档简介
2021年上海市虹口区高考数学二模试卷
一、填空题(1〜6题每小题4分,7〜12题每小题4分,本大题满分54分)
1.(4分)已知集合4={丁|丁=10",xeR},B={y\y=x2,啜*2},则4nB=-
、3"-1
2.(4分)lim----=.
…3"+1
3.(4分)在(x+」)6的二项展开式中,常数项为一.
4.(4分)某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动,则选出的3人
中既有男生又要有女生的概率等于—.
5.(4分)给出下列命题:
①若两条不同的直线垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行;
②若两个不同的平面垂直于一条直线,则这两个平面互相平行;
③若一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.
其中所有正确命题的序号为—.
6.(4分)已知P为抛物线C:/=2px(p>0)上一点,点P到抛物线C的焦点的距离为7,
到y轴的距离为5,则〃=.
7.(5分)若sin9=Acos。,则sin6-8se的值等于.(用4表示)
8.(5分)设函数/(x)的定义域为。.若对于。内的任意为,x2(x,^x2),都有
(x2-x,)[/(x2)-/(x,)]>0,则称函数/(x)为“Z函数有下列函数:①f(x)=l;②
,/(%)=-2x4-1;③f(x)=V;④/(x)=/gx.其中“Z函数”的序号是—(写出所有的正
确序号)
9.(5分)己知直三棱柱的各棱长都相等,体积等于18(0/).若该三棱柱的所有顶点都在
球。的表面上,则球O的体积等于—(cm3).
10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,定义A(x「y,),,必)两点的折线距离
2
J(A,B)=|A1-x2|+|y1-j2|.设点尸(M,n),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若d(P,O)=l,
则d(Q,C)的取值范围.
11.(5分)已知MN为圆Y+y2=i的一条直径,点P(X»)的坐标满足不等式组
x-y+2,,0
-3x+y+\O..O,则PA八所的取值范围是.
.%2
12.(5分)在数列{4}中,对任意〃eN*,an=k,当且仅当2。〃<21,keN,若满足
4“++%,+他“+*•52,则机的最小值为.
二、选择题(每小题5分,满分20分)
2
13.(5分)双曲线5=1的两条渐近线的夹角的大小等于()
A.-B.—C.—D.—
6336
14.(5分)已知函数/(x)=2sin(2x+s),则“9=('是"/⑴为偶函数”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
15.(5分)复数z满足|z|=l,且使得关于x的方程/+23+2=0有实根,则这样的复数z
的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
16.(5分)在平面上,已知定点A(立,0),动点P(sina,cosa).当c在区间[-工,工]上变
44
化时,动线段”所形成图形的面积为()
A.0-%B.g-三C.工D.三
4364
三、解答题(本大题满分76分)
17.(14分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=2yf2,BA=BC=2,O是线段AC
的中点,M是线段8c的中点.
(1)求证:PO_L平面ABC;
(2)求直线P/W与平面P3O所成的角的大小.
p
18.(14分)设a>0且"1,teR,已知函数/(©=1。8“(》+1),g(x)=21og“(2x+/).
(1)当f=-l时,求不等式/(x),,g(x)的解;
(2)若函数F(x)=〃")+疗-2f+l在区间(-1,2]上有零点,求t的取值范围.
19.(14分)如图某公园有一块直角三角形A8C的空地,其中NACB=工,ZABC=-,AC
26
长。千米,现要在空地上围出一块正三角形区域D"■建文化景观区,其中。、E、P分别
在BC、AC、AB上.设ZDEC=e.
(1)若,=&,求ADEF的边长;
3
(2)当,多大时,AD£F的边长最小?并求出最小值.
20.(16分)已知椭圆C的方程为丁+丁=1.
(1)设M(x”,y“)是椭圆C上的点,证明:直线孝+%y=l与椭圆C有且只有一个公
共点;
(2)过点N(l,&)作两条与椭圆只有一个公共点的直线,公共点分别记为A、8,点N在
直线河上的射影为点Q,求点。的坐标;
(3)互相垂直的两条直线4与4相交于点p,且《、6都与椭圆C只有一个公共点,求点P
的轨迹方程.
21.(18分)若数列{a,J满足“对任意正整数i,/,j,都存在正整数3使得%=qq”,
则称数列{4}具有“性质尸”.
(1)判断各项均等于。的常数列是否具有“性质尸”,并说明理由;
(2)若公比为2的无穷等比数列{%}具有“性质P”,求首项q的值;
(3)若首项q=2的无穷等差数列{%}具有“性质P”,求公差”的值.
2021年上海市虹口区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(1〜6题每小题4分,7〜12题每小题4分,本大题满分54分)
1.(4分)已知集合4={y|y=10',xeR},B={y\y=x2,啜k2},则峭,=—口
【解答】解:♦.•A={y|y>0},3={y|瑜少4},
始8=口,4].
故答案为:[1,4].
3"-1
2.(4分)lim-——=1.
"一"3"+1-------
3〃_13〃+1—22
【解答】解:lim-------=lim:-----------=l-lim(---------)=1-0=1,
M-+O03〃+]3"+1“T83"+1
故答案为:1.
3.(4分)在(尤+1)6的二项展开式中,常数项为20.
X
【解答】解:(X+,)6的展开式的通项公式为(”=墨./3,
X
令6-2厂=0,求得厂=3,.•.展开式中的常数项等于C;=20,
故答案为:20.
4.(4分)某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动,则选出的3人
中既有男生又要有女生的概率等于--
一7-
【解答】解:某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动,
基本事件总数〃=C;=35,
选出的3人中既有男生又要有女生包含的基本事件个数胆=G-仁-C;=30,
则选出的3人中既有男生又要有女生的概率:
m306
I--=--——.
n357
故答案为:
7
5.(4分)给出下列命题:
①若两条不同的直线垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行;
②若两个不同的平面垂直于一条直线,则这两个平面互相平行;
③若一条直线平行于一个平面,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.
其中所有正确命题的序号为②③.
【解答】解:对于①,若两条不同的直线垂直于第三条直线,则这两条直线有三种位置关系:
平行、相交或异面,故①错误;
对于②,根据线面垂直的性质可知,若两个不同的平面垂直于一条直线,则这两个平面互相
平行,故②正确;
对于③,若一条直线平行于一个平面,则与该平面垂直的直线与该直线垂直,故③正确.
其中所有正确命题的序号为②③.
故答案为:②③.
6.(4分)已知P为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线C的焦点的距离为7,
至!1y轴的距离为5,则〃=4.
【解答】解:已知尸(x,y)为抛物线。:>2=2*(0>0)上一点,点尸到抛物线。的焦点的距
离为7,到y轴的距离为5,
所以:x+—=7,
2
整理得5+2=7,
2
解得:p=4.
故答案为:4.
7.(5分)若sin8=Acos〃,则sin,-8s。的值等于——.(用左表示)
—j+]-
【解答】解:由sin6=%cos。,得sin。-cos,=4?"cos?
sin10+cos2d
_kcos20_k
k2cos20-^cos20k2+1
故答案为:
k2+\
8.(5分)设函数/(x)的定义域为。.若对于。内的任意占,占(为二马),都有
(x2-x,)[/(x2)-/(x,)]>0,则称函数f(x)为“Z函数”.有下列函数:①f(x)=l;②
f(x)=-2x+\;③f(x)=f;®f(x)=lgx.其中“Z函数”的序号是③④(写出所有
的正确序号)
【解答】解:由题意,不妨设司〈马,所以马—%>()
因为Q-Jq)[/(x2)-/(xl)]>0,
所以/(.)-/(&)>0,即/(玉)</®),
所以f(x)为增函数,即增函数为“Z函数”
对于①,f(x)=l为常量函数,对任意X1,七,都有(々-4)"(工2)-故①不是"Z
函数”;
对于②,/(x)=-2x+l是R上的减函数,不符合题意,故②不是“Z函数”;
对于③,〃幻=^是A上的增函数,符合题意,故③是“Z函数”;
对于④,,f(x)=/gx是定义域(0,+oo)上的增函数,符合题意,故④是“Z函数”.
故答案为:③④.
9.(5分)已知直三棱柱的各棱长都相等,体积等于18(cw?).若该三棱柱的所有顶点都在
球O的表面上,则球O的体积等于竺也^(cl).
-3-
【解答】解:如图,•.•三棱柱A8C-A4G是直三棱柱,且所有棱长都相等,
该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且三棱柱的体积为18,
设三棱柱的棱长为。,贝lj1xaxaxsin60Oxa=18,
2
解得a=20分别设上下底面中心为,Q,则4Q的中点。即为三棱柱外接球的球心,
QA=|{(2心)2-(百3=2,
球的半径R=862+OO;=x/4+3=V7,
则球O的体积等于±7x(")3=身立乃.
33
故答案为:28"式.
10.(5分)在平面直角坐标系xQy中,定义A(XI,y),B(x2,y?)两点的折线距离
d{A,B)^x,-x2\+\yx-y2\.设点尸(疗,tv),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若d(P,O)=l,
则d(Q,C)的取值范围—[1-2+后]
【解答】解:由题意可知,d(P,O)=m2+n2=l,d{Q,C)=\m-2\+\n\,
即点(见〃)在以原点为圆心,半径为1的圆上,则有〃?-2<0,
当〃..0时,d{Q,C)=\m-2\+\n\=2-m+n,
d(Q,C)-2为直线y=x+d(Q,C)-2与半圆/+y2=i(y1.0)有公共点时的纵截距,
当直线与半圆相切时.,”(Q,C)-2取得最大值,此时“=-亚,n=—,
一22
即d(Q,C)mav=2-(―-y-)+=2+V2.
当机=1,〃=0时,d(Q,C)—2取得最小值,此时d(Q,C)加“=2—1+0=1,
当几,()时,d(Q,C)=]m-2\+\n\=2-fn-n,
2-1(。,0为直线〉=一工一〃(。,。+2与半圆/+尸=1(为0)有公共点时的纵截距,
当直线与半圆相切时,2-"(QC)取得最小值,此时机=〃=-等,
即“(Q,C)„„“=2-(-等)一(-¥)=2+&•
当%=1,〃=0时,2-d(Q,C)取得最大值,此时4(。,C)而“=2-1-0=1,
故d(Q,C)的取值范围为[1,2+72].
11.(5分)已知为圆f+丁=1的一条直径,点p(x,y)的坐标满足不等式组
x-y+2,,0
<3x+y+10..0,则•丽的取值范围是
.以2
x-y+2,,0
【解答】解:由不等式组上x+y+10..0作出可行域如图,
M,2
PMPN=(OM-OPy(ON-OP)=OP-]=x2+y2-],
.,.当x=Y,y=2时,PM•尸N取最大值19,
当x=_l,y=l时,丽^两取最小值为1.
PM,PM的取值范围是[1,19].
故答案为:口,19].
12.(5分)在数列中,对任意〃eN*,an=k,当且仅当2。”<2川,keN,若满足
4“+%“+/+/”+-32.则,〃的最小值为512・
【解答】解:不妨设2*,,5<2*",keN*,inwN*,
由题意可得,a,„=k,
因为27,,2m<2k+2,
所以a2,„=%+1,
问理可得,4^=k+2,dgm=k+3><J|6m=«+4,...
所以am+a2m+a4m+々+(A+D+伏+2)+(Z+3)+(A+4)=5%+10,
因为4+a2m+a4m+%,“+52,
所以5A+10..52,
解得女…生,又kwN*,
5
所以%的最小值整数解为9,
故用的最小值为29=512.
故答案为:512.
二、选择题(每小题5分,满分20分)
13.(5分)双曲线d-;=l的两条渐近线的夹角的大小等于()
A.-B.-C.—D.—
6336
【解答】解:双曲线丁-(=1的两条渐近线的方程为丫=士百X,
由直线y=的斜率为石,可得倾斜角为?,
y=-限的斜率为-G,可得倾斜角为y,
所以两条渐近线的夹角的大小为巴.
3
故选:B.
14.(5分)己知函数/(x)=2sin(2x+°),则“”是"/(x)为偶函数”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【解答】解:①当9=]时,/(x)=2sin(2x+y)=2cos2x,
/(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=/(x),/(x)为偶函数,
②当/(x)为偶函数时,(p=%+k兀,ZeZ,
综上所述,夕=5是/(x)为偶函数的充分不必要条件.
故选:A.
15.(5分)复数z满足|z|=l,且使得关于x的方程%2+5.x+z=0有实根,则这样的复数z
的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:z=a+bi(a,bGR),
由|z|=1,得a?+A?=],
x24-z-X+z=0,BPx2+(a-bi)x+a+bi=0,
即/+以+a+s一bx)i=0,
x2+ax+a=0
b—bx=Q
若6=0,则a=l或a=—l,
检验得,a=l时,/无实数根(舍),
当a=T时,x=■^且
2
当b#0时,得x=l,a
复数z的个数为3个.
故选:C.
16.(5分)在平面上,已知定点A(a,0),动点尸(sin%cosa).当c在区间[-工,工]上变
44
化时,动线段”所形成图形的面积为()
A.0/B.43--C.工D.工
4364
【解答】解:由si/a+cos2a=1,所以动点P(sina,cosa)在单位圆上,
现在关键是求点。运动的圆周范围;
由sina=cos弓-a),cosa=sin(^-a),
所以P(cos(--a),sin(—-a))是其与x轴正方向的有向角为工-a;
222
当a在区间[-1马上变化时,P在角度为巴到包对应的一段圆弧;
4444
当a=-工时,点尸对应的位置是3,a=工时点P对应的位置是C,如图所示:
所以动线段针所形成图形的面积为阴影部分图形的面积,
又AOBC与A48C是同底等高的三角形,
所以阴影部分的面积为:
S阴影=S弓形8PC+S&ABC=S扇形OBPC=W,乃J-=Z.
故选:D.
三、解答题(本大题满分76分)
17.(14分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=242,BA=BC=2,O是线段AC
的中点,M是线段8C的中点.
(1)求证:PO_L平面ABC;
(2)求直线PM与平面P8O所成的角的大小.
P
B
【解答】证明:(1)BA=BC=2,AC=2A/2,
由于BT+8C2=AC?,
所以NABC=工,
2
所以8O_LAC,且80=2,
由于MAC为等边三角形,
所以PO_LAC,PO=R,又PB=2近,
所以PB=PO'+BO?,
所以NP08=工,
2
故POJ_8O,
故PO_L平面45c.
解:(2)过点。交BO亍N,
连接PN,
如图所示:
由(1)得:PO_L平面ABC,
得到/WNJ_PO,由于似V_L8O,
所以MVL平面MC,
故ZMPN为直线与平面PBO的夹角,
由(1)知:BOA.AC,
从而点N为线段80的中点,
所以MV」OC=LAC=0
242
PM==^PC--MC-=y/l,
fesinZMPZV=—=—.
PM14
故直线PM与平面PBO所成的角的大小为arcsin巫.
14
18.(14分)设a>0且awl,tGR,已知函数/'(不)=108〃(%+1),g(x)=21og“(2x+/).
(1)当1=-1时,求不等式/(戏,g(x)的解;
(2)若函数/(功=〃⑶+/-2f+l在区间(一1,2]上有零点,求,的取值范围.
【解答】解:(1)当1=-1时,不等式/(X)"g(x)可化为log/x+1),,2k)g“(2x-1),
当0<a<l时,则有卜+L(2x-1/,解得1<匕9,
[2x-l>024
所以不等式/(x)„g(x)的解集为:
当a>l时,则有[°<X+L,2X-1)2,解得"2.
[2x-l>04
所以所以不等式f(幻,,g(x)的解集为[-,+=0).
4
综上所述,当0<〃<1时,不等式f(x),,g(x)的解集为d,;];
当4>1时,所以不等式/(x),,g(x)的解集为[W,+O0).
4
(2)函数/++++
令状2+*_2£+2=0,即«X2-2)=-(X+2),
因为xe(-l,2],所以x+2e(l,4],
所以rwO,X2-2^0,
1r2-29
故_=------=4(X+2)+——1+4,
tx+2x+2
12
设〃?=x+2w(l,4],则有一二一。〃+—)+4,
tm
故!<0或0」,,4-20,
2tt
解得4,—2或f..卫史,
故r的取值范围为f”-2或
4
19.(14分)如图某公园有一块直角三角形ABC的空地,其中NAC3=工,ZABC=-,AC
26
长a千米,现要在空地上围出一块正三角形区域。所建文化景观区,其中。、E、尸分别
在8C、AC、A3上.设NDEC=8.
(1)若。=%,求AD£F的边长;
3
(2)当,多大时,AD£F的边长最小?并求出最小值.
【解答】解:(1)设ADE尸的边长为x千米,由〃=工得CE=1x,AE=a--x,
322
△A£F中,ZFEA=TT-O--=-,ZA=-,
333
AA£F为等边三角形,AE=x=a——x,
2
故x二口,
3
即AD斯的边长为生;
3
(2)设AD£F的边长为九千米,
所以CE=xcos0,AE=a—xcos0,
AAEF中,ZFEA=--0,ZA=-,/EFA=。、
33
工十力…TB/口xa—XCQSO
由正弦定理得,----=-------)
sin生sin。
3
划了6a疯z
故x=-------7=-----=-----------------,
2sin6+,3cos。q..J3、
V7sin(n0+arctan—)
当e=e-arctan立时x取得最小值华=—,即ADEF的边长最小值画a.
227777
20.(16分)已知椭圆C的方程为工+V=1.
2
(1)设M(x“,y”)是椭圆C上的点,证明:直线当+%y=l与椭圆C有且只有一个公
共点;
(2)过点N(l,夜)作两条与椭圆只有一个公共点的直线,公共点分别记为A、B,点、N在
直线4?上的射影为点。,求点。的坐标;
(3)互相垂直的两条直线乙与4相交于点。,且4、4都与椭圆C只有一个公共点,求点2
的轨迹方程.
【解答】解:(1)证明:当y“=0时,x.=±0,
直线线券+y“y=l即直线x=±&,与椭圆C只有一个公共点,
罟+%产1
当%X0时,由,
T+/=,
得—名工+士—匚。,
2
24加-yM-yM
X~]-2+2)>w
2
加42Xw
又亨+H=1,
所以有△=(),从而方程组只有一组解,
所以直线号+%y=l与椭圆C有且只有一个公共点.
(2)设4(»,.),B(X2,%),
则两条直线为等+yy=l,^+y2y=\,
又NQ,壶),是它们的交点,
所以.+应y=l,5+夜%=1,
从而有4(X1,yj,B(X2,%)的坐标满足直线方程夜y=i,
所以直线他的方程为5+0y=l,
直线NQ的方程为y-垃=20(x-l),
—+42y=12J??J2
由2>,得X-,y=—,即Q/,—),
y->/2=2y/2(x-1)333
y—y/2=k(x—1)
由V21,
一+y=1
12
得(1+2k2)x2+4&(应-k)x+2(72一A)?—2=0,
由△=(),得/+2&%-1=0,
解得k=—>/2±\[?).
(3)设产(玉),%),
当直线《与4有一条斜率不存在时,尸(士正,±1),*+尤=3,
当直线《与4有一条斜率存在时,设为匕和网,
y-y0=k(x-x0)
由V2.得(1++4%(%—kxQ)x++yj—2.kx()y0—1)=0,
—+V=1
2-
2
所以△=[4々(%-fcr0)]-4(1+24).2.(I片+4-25%T)=0,
整理得(2-片正+2x0y0k+1-^=0,片w2,
所以左,网是这个方程的两个根,
所以桃2==^=-1,
2一%
所以片+y;=3,
所以点P的轨迹方程为/+V=3.
21.(18分)若数列{4}满足
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