2021年上海市虹口区高考数学二模试卷（学生版+解析版）

2021年上海市虹口区高考数学二模试卷

一、填空题(1〜6题每小题4分，7〜12题每小题4分，本大题满分54分)

1.(4分)已知集合4={丁|丁=10",xeR},B={y\y=x2,啜*2},则4nB=-

、3"-1

2.(4分)lim----=.

…3"+1

3.(4分)在(x+」)6的二项展开式中，常数项为一.

4.(4分)某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人

中既有男生又要有女生的概率等于—.

5.(4分)给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为—.

6.(4分)已知P为抛物线C:/=2px(p>0)上一点，点P到抛物线C的焦点的距离为7,

到y轴的距离为5,则〃=.

7.(5分)若sin9=Acos。，则sin6-8se的值等于.(用4表示)

8.(5分)设函数/(x)的定义域为。.若对于。内的任意为，x2(x,^x2),都有

(x2-x,)[/(x2)-/(x,)]>0,则称函数/(x)为“Z函数有下列函数：①f(x)=l；②

,/(%)=-2x4-1；③f(x)=V；④/(x)=/gx.其中“Z函数”的序号是—(写出所有的正

确序号)

9.(5分)己知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(0/).若该三棱柱的所有顶点都在

球。的表面上，则球O的体积等于—(cm3).

10.(5分)在平面直角坐标系xOy中，定义A(x「y,),,必)两点的折线距离

2

J(A,B)=|A1-x2|+|y1-j2|.设点尸(M,n),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若d(P,O)=l,

则d(Q,C)的取值范围.

11.(5分)已知MN为圆Y+y2=i的一条直径，点P(X»)的坐标满足不等式组

x-y+2,,0

-3x+y+\O..O,则PA八所的取值范围是.

.%2

12.（5分）在数列｛4｝中，对任意〃eN*,an=k,当且仅当2。〃<21，keN,若满足

4“++%,+他“+*•52，则机的最小值为.

二、选择题（每小题5分，满分20分）

2

13.（5分）双曲线5=1的两条渐近线的夹角的大小等于（）

A.-B.—C.—D.—

6336

14.（5分）已知函数/（x）=2sin（2x+s）,则“9=（'是"/⑴为偶函数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

15.（5分）复数z满足|z|=l,且使得关于x的方程/+23+2=0有实根，则这样的复数z

的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.（5分）在平面上，已知定点A（立，0）,动点P（sina,cosa）.当c在区间［-工，工］上变

44

化时，动线段”所形成图形的面积为（）

A.0-%B.g-三C.工D.三

4364

三、解答题（本大题满分76分）

17.（14分）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=2yf2,BA=BC=2,O是线段AC

的中点，M是线段8c的中点.

（1）求证：PO_L平面ABC；

（2）求直线P/W与平面P3O所成的角的大小.

p

18.(14分)设a>0且"1,teR,已知函数/(©=1。8“(》+1),g(x)=21og“(2x+/).

(1)当f=-l时，求不等式/(x),,g(x)的解；

(2)若函数F(x)=〃")+疗-2f+l在区间(-1,2］上有零点，求t的取值范围.

19.(14分)如图某公园有一块直角三角形A8C的空地，其中NACB=工，ZABC=-,AC

26

长。千米，现要在空地上围出一块正三角形区域D"■建文化景观区，其中。、E、P分别

在BC、AC、AB上.设ZDEC=e.

(1)若，=&，求ADEF的边长；

3

(2)当，多大时，AD£F的边长最小？并求出最小值.

20.(16分)已知椭圆C的方程为丁+丁=1.

(1)设M(x”，y“)是椭圆C上的点，证明：直线孝+%y=l与椭圆C有且只有一个公

共点；

(2)过点N(l,&)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、8,点N在

直线河上的射影为点Q,求点。的坐标；

（3）互相垂直的两条直线4与4相交于点p，且《、6都与椭圆C只有一个公共点，求点P

的轨迹方程.

21.（18分）若数列｛a,J满足“对任意正整数i,/,j,都存在正整数3使得%=qq”,

则称数列｛4｝具有“性质尸”.

（1）判断各项均等于。的常数列是否具有“性质尸”，并说明理由；

（2）若公比为2的无穷等比数列｛%｝具有“性质P”，求首项q的值；

（3）若首项q=2的无穷等差数列｛%｝具有“性质P”，求公差”的值.

2021年上海市虹口区高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（1〜6题每小题4分，7〜12题每小题4分，本大题满分54分）

1.（4分）已知集合4={y|y=10',xeR},B={y\y=x2,啜k2},则峭，=—口

【解答】解：♦.•A={y|y>0},3={y|瑜少4},

始8=口，4].

故答案为：[1,4].

3"-1

2.（4分）lim-——=1.

"一"3"+1-------

3〃_13〃+1—22

【解答】解：lim-------=lim:-----------=l-lim（---------）=1-0=1,

M-+O03〃+]3"+1“T83"+1

故答案为：1.

3.（4分）在（尤+1）6的二项展开式中，常数项为20.

X

【解答】解：（X+，）6的展开式的通项公式为（”=墨./3,

X

令6-2厂=0,求得厂=3,.•.展开式中的常数项等于C；=20,

故答案为：20.

4.（4分）某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人

中既有男生又要有女生的概率等于--

一7-

【解答】解：某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，

基本事件总数〃=C；=35,

选出的3人中既有男生又要有女生包含的基本事件个数胆=G-仁-C；=30,

则选出的3人中既有男生又要有女生的概率：

m306

I--=--——.

n357

故答案为：

7

5.（4分）给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为②③.

【解答】解：对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：

平行、相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相

平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确.

其中所有正确命题的序号为②③.

故答案为：②③.

6.(4分)已知P为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线C的焦点的距离为7,

至!1y轴的距离为5,则〃=4.

【解答】解：已知尸(x,y)为抛物线。：>2=2*(0>0)上一点，点尸到抛物线。的焦点的距

离为7,到y轴的距离为5,

所以：x+—=7,

2

整理得5+2=7,

2

解得：p=4.

故答案为：4.

7.(5分)若sin8=Acos〃，则sin，-8s。的值等于——.(用左表示)

—j+]-

【解答】解：由sin6=%cos。，得sin。-cos，=4?"cos?

sin10+cos2d

_kcos20_k

k2cos20-^cos20k2+1

故答案为：

k2+\

8.(5分)设函数/(x)的定义域为。.若对于。内的任意占，占(为二马)，都有

(x2-x,)[/(x2)-/(x,)]>0,则称函数f(x)为“Z函数”.有下列函数：①f(x)=l；②

f(x)=-2x+\；③f(x)=f；®f(x)=lgx.其中“Z函数”的序号是③④(写出所有

的正确序号)

【解答】解：由题意，不妨设司〈马，所以马—%>()

因为Q-Jq)[/(x2)-/(xl)]>0,

所以/(.)-/(&)>0,即/(玉)</®)，

所以f(x)为增函数，即增函数为“Z函数”

对于①,f(x)=l为常量函数，对任意X1,七，都有(々-4)"(工2)-故①不是"Z

函数”；

对于②，/(x)=-2x+l是R上的减函数，不符合题意，故②不是“Z函数”；

对于③，〃幻=^是A上的增函数，符合题意，故③是“Z函数”；

对于④，,f(x)=/gx是定义域(0,+oo)上的增函数，符合题意，故④是“Z函数”.

故答案为：③④.

9.(5分)已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(cw?).若该三棱柱的所有顶点都在

球O的表面上，则球O的体积等于竺也^(cl).

-3-

【解答】解：如图，•.•三棱柱A8C-A4G是直三棱柱，且所有棱长都相等，

该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为18,

设三棱柱的棱长为。，贝lj1xaxaxsin60Oxa=18,

2

解得a=20分别设上下底面中心为,Q，则4Q的中点。即为三棱柱外接球的球心，

QA=|{(2心)2-(百3=2,

球的半径R=862+OO；=x/4+3=V7,

则球O的体积等于±7x(")3=身立乃.

33

故答案为：28"式.

10.(5分)在平面直角坐标系xQy中，定义A(XI,y),B(x2,y?)两点的折线距离

d{A,B)^x,-x2\+\yx-y2\.设点尸(疗,tv),Q(m,n),0(0,0),C(2,0),若d(P,O)=l,

则d(Q,C)的取值范围—[1-2+后]

【解答】解：由题意可知,d(P,O)=m2+n2=l,d{Q,C)=\m-2\+\n\,

即点(见〃)在以原点为圆心，半径为1的圆上，则有〃?-2<0,

当〃..0时,d{Q,C)=\m-2\+\n\=2-m+n,

d(Q,C)-2为直线y=x+d(Q,C)-2与半圆/+y2=i(y1.0)有公共点时的纵截距，

当直线与半圆相切时.，”(Q,C)-2取得最大值，此时“=-亚，n=—,

一22

即d(Q,C)mav=2-(―-y-)+=2+V2.

当机=1,〃=0时，d(Q,C)—2取得最小值，此时d(Q,C)加“=2—1+0=1,

当几，()时，d(Q,C)=]m-2\+\n\=2-fn-n,

2-1(。,0为直线〉=一工一〃(。,。+2与半圆/+尸=1(为0)有公共点时的纵截距，

当直线与半圆相切时，2-"(QC)取得最小值，此时机=〃=-等，

即“(Q，C)„„“=2-(-等)一(-¥)=2+&•

当%=1,〃=0时，2-d(Q,C)取得最大值，此时4(。,C)而“=2-1-0=1,

故d(Q,C)的取值范围为[1,2+72].

11.(5分)已知为圆f+丁=1的一条直径，点p(x,y)的坐标满足不等式组

x-y+2,,0

<3x+y+10..0,则•丽的取值范围是

.以2

x-y+2,,0

【解答】解：由不等式组上x+y+10..0作出可行域如图，

M，2

PMPN=(OM-OPy(ON-OP)=OP-]=x2+y2-],

.,.当x=Y,y=2时，PM•尸N取最大值19,

当x=_l,y=l时，丽^两取最小值为1.

PM,PM的取值范围是[1,19].

故答案为：口，19].

12.(5分)在数列中，对任意〃eN*,an=k,当且仅当2。”<2川，keN,若满足

4“+%“+/+/”+-32.则，〃的最小值为512・

【解答】解：不妨设2*,,5<2*",keN*,inwN*,

由题意可得，a,„=k,

因为27,,2m<2k+2,

所以a2,„=%+1，

问理可得，4^=k+2,dgm=k+3><J|6m=«+4,...

所以am+a2m+a4m+々+(A+D+伏+2)+(Z+3)+(A+4)=5%+10，

因为4+a2m+a4m+%,“+52,

所以5A+10..52,

解得女…生，又kwN*,

5

所以％的最小值整数解为9,

故用的最小值为29=512.

故答案为：512.

二、选择题(每小题5分，满分20分)

13.(5分)双曲线d-；=l的两条渐近线的夹角的大小等于()

A.-B.-C.—D.—

6336

【解答】解：双曲线丁-(=1的两条渐近线的方程为丫=士百X,

由直线y=的斜率为石，可得倾斜角为?，

y=-限的斜率为-G,可得倾斜角为y,

所以两条渐近线的夹角的大小为巴.

3

故选：B.

14.(5分)己知函数/(x)=2sin(2x+°),则“”是"/(x)为偶函数”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【解答】解：①当9=]时，/(x)=2sin(2x+y)=2cos2x,

/(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=/(x),/(x)为偶函数，

②当/(x)为偶函数时，(p=%+k兀，ZeZ,

综上所述，夕=5是/(x)为偶函数的充分不必要条件.

故选：A.

15.(5分)复数z满足|z|=l,且使得关于x的方程%2+5.x+z=0有实根，则这样的复数z

的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：z=a+bi(a,bGR),

由|z|=1,得a?+A?=],

x24-z-X+z=0,BPx2+(a-bi)x+a+bi=0,

即/+以+a+s一bx)i=0,

x2+ax+a=0

b—bx=Q

若6=0,则a=l或a=—l,

检验得，a=l时，/无实数根(舍),

当a=T时，x=■^且

2

当b#0时，得x=l,a

复数z的个数为3个.

故选：C.

16.(5分)在平面上，已知定点A(a,0),动点尸(sin%cosa).当c在区间［-工,工］上变

44

化时，动线段”所形成图形的面积为()

A.0/B.43--C.工D.工

4364

【解答】解：由si/a+cos2a=1,所以动点P(sina,cosa)在单位圆上,

现在关键是求点。运动的圆周范围;

由sina=cos弓-a),cosa=sin(^-a),

所以P(cos(--a),sin(—-a))是其与x轴正方向的有向角为工-a；

222

当a在区间［-1马上变化时，P在角度为巴到包对应的一段圆弧;

4444

当a=-工时，点尸对应的位置是3,a=工时点P对应的位置是C,如图所示:

所以动线段针所形成图形的面积为阴影部分图形的面积,

又AOBC与A48C是同底等高的三角形，

所以阴影部分的面积为：

S阴影=S弓形8PC+S&ABC=S扇形OBPC=W,乃J-=Z.

故选：D.

三、解答题(本大题满分76分)

17.(14分)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=242,BA=BC=2,O是线段AC

的中点，M是线段8C的中点.

(1)求证：PO_L平面ABC；

(2)求直线PM与平面P8O所成的角的大小.

P

B

【解答】证明：(1)BA=BC=2,AC=2A/2,

由于BT+8C2=AC?,

所以NABC=工，

2

所以8O_LAC,且80=2,

由于MAC为等边三角形，

所以PO_LAC,PO=R,又PB=2近,

所以PB=PO'+BO?,

所以NP08=工，

2

故POJ_8O,

故PO_L平面45c.

解：(2)过点。交BO亍N,

连接PN,

如图所示：

由(1)得：PO_L平面ABC,

得到/WNJ_PO,由于似V_L8O,

所以MVL平面MC,

故ZMPN为直线与平面PBO的夹角，

由(1)知：BOA.AC,

从而点N为线段80的中点，

所以MV」OC=LAC=0

242

PM==^PC--MC-=y/l,

fesinZMPZV=—=—.

PM14

故直线PM与平面PBO所成的角的大小为arcsin巫.

14

18.(14分)设a>0且awl,tGR,已知函数/'(不)=108〃(％+1),g(x)=21og“(2x+/).

(1)当1=-1时，求不等式/(戏,g(x)的解；

(2)若函数/(功=〃⑶+/-2f+l在区间(一1,2］上有零点,求，的取值范围.

【解答】解：(1)当1=-1时,不等式/(X)"g(x)可化为log/x+1),,2k)g“(2x-1),

当0<a<l时，则有卜+L(2x-1/，解得1<匕9,

［2x-l>024

所以不等式/(x)„g(x)的解集为：

当a>l时，则有［°<X+L,2X-1)2,解得"2.

［2x-l>04

所以所以不等式f(幻,,g(x)的解集为［-,+=0).

4

综上所述，当0<〃<1时，不等式f(x),,g(x)的解集为d,；];

当4>1时，所以不等式/(x),,g(x)的解集为[W,+O0).

4

(2)函数/++++

令状2+*_2£+2=0,即«X2-2)=-(X+2),

因为xe(-l,2],所以x+2e(l,4],

所以rwO,X2-2^0,

1r2-29

故_=------=4(X+2)+——1+4,

tx+2x+2

12

设〃?=x+2w(l,4],则有一二一。〃+—)+4,

tm

故！<0或0」,,4-20,

2tt

解得4,—2或f..卫史，

故r的取值范围为f”-2或

4

19.(14分)如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中NAC3=工，ZABC=-,AC

26

长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域。所建文化景观区，其中。、E、尸分别

在8C、AC、A3上.设NDEC=8.

(1)若。=%，求AD£F的边长；

3

(2)当，多大时，AD£F的边长最小？并求出最小值.

【解答】解：(1)设ADE尸的边长为x千米，由〃=工得CE=1x,AE=a--x,

322

△A£F中，ZFEA=TT-O--=-,ZA=-,

333

AA£F为等边三角形，AE=x=a——x,

2

故x二口，

3

即AD斯的边长为生；

3

(2)设AD£F的边长为九千米，

所以CE=xcos0,AE=a—xcos0,

AAEF中，ZFEA=--0,ZA=-,/EFA=。、

33

工十力…TB/口xa—XCQSO

由正弦定理得，----=-------)

sin生sin。

3

划了6a疯z

故x=-------7=-----=-----------------,

2sin6+，3cos。q..J3、

V7sin(n0+arctan—)

当e=e-arctan立时x取得最小值华=—,即ADEF的边长最小值画a.

227777

20.(16分)已知椭圆C的方程为工+V=1.

2

(1)设M(x“，y”)是椭圆C上的点，证明：直线当+%y=l与椭圆C有且只有一个公

共点；

(2)过点N(l,夜)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为A、B,点、N在

直线4?上的射影为点。，求点。的坐标；

(3)互相垂直的两条直线乙与4相交于点。，且4、4都与椭圆C只有一个公共点，求点2

的轨迹方程.

【解答】解：(1)证明：当y“=0时，x.=±0,

直线线券+y“y=l即直线x=±&，与椭圆C只有一个公共点,

罟+%产1

当％X0时，由，

T+/=,

得—名工+士—匚。,

2

24加-yM-yM

X~]-2+2)>w

2

加42Xw

又亨+H=1,

所以有△=(),从而方程组只有一组解,

所以直线号+%y=l与椭圆C有且只有一个公共点.

(2)设4(»,.),B(X2,%)，

则两条直线为等+yy=l,^+y2y=\,

又NQ,壶),是它们的交点，

所以.+应y=l,5+夜%=1，

从而有4(X1,yj,B(X2,%)的坐标满足直线方程夜y=i，

所以直线他的方程为5+0y=l,

直线NQ的方程为y-垃=20(x-l),

—+42y=12J??J2

由2>,得X-,y=—,即Q/,—),

y->/2=2y/2(x-1)333

y—y/2=k(x—1)

由V21,

一+y=1

12

得(1+2k2)x2+4&(应-k)x+2(72一A)?—2=0,

由△=(),得/+2&%-1=0,

解得k=—>/2±\[?).

(3)设产(玉)，％),

当直线《与4有一条斜率不存在时，尸(士正，±1),*+尤=3,

当直线《与4有一条斜率存在时，设为匕和网,

y-y0=k(x-x0)

由V2.得(1++4%(%—kxQ)x++yj—2.kx()y0—1)=0,

—+V=1

2-

2

所以△=[4々(%-fcr0)]-4(1+24).2.(I片+4-25%T)=0，

整理得(2-片正+2x0y0k+1-^=0,片w2,

所以左，网是这个方程的两个根，

所以桃2==^=-1,

2一%

所以片+y；=3,

所以点P的轨迹方程为/+V=3.

21.(18分)若数列｛4｝满足