数值分析 第4章 数值积分和数值微分

第四章数值积分与数值微分数值积分概论牛顿-柯特斯公式

复合求积公式龙贝格求积公式自适应求积公式高斯求积公式多重积分数值微分10/23/20231数值积分与数值微分4.1.1数值求积的基本思想4.1数值积分概论数值求积的产生背景困难原函数无法用初等函数表示Newton—Leibniz公式f(x)是一张数据表数值求积的基本思想

在[a,b]内存在一点,有f(

)

积分中值定理[a,b]上的平均高度10/23/20232数值积分与数值微分平均高度f(

)的算法梯形公式

(1.1)(1.2)中矩形公式式中

xk

称为求积节点；Ak

称为求积系数，亦称为伴随节点

xk

的(1.3)在区间[a，b]上适当选取某些节点xk

，用

f(xk

)加权平均得到平均高度

f(ζ)的近似值权．权Ak

仅仅与节点xk

的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)使积分公式具有通用性机械求积特点将积分求值问题归结为函数值的计算10/23/20233数值积分与数值微分

定义1

如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地

一般地，欲使求积公式

具有m次代数(1.4)4.1.2代数精度的概念成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度．精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm

都能准确成立，这就要求确定代数精度的方法10/23/20234数值积分与数值微分f(x)abf(a)f(b)解：逐次检查公式是否精确成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：

代数精度=1例1：

考察其代数精度。

(1)如果事先选定求积节点，譬如，以区间的等距分点作为节点，这时取，求解方程组(1.4)即可确定求积系数，而使求积公式(1.3)至少具有次代数精度.构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题.求积公式的构造10/23/20235数值积分与数值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.

94

34

f(x)dx

f(0)+f(2h)3h49h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;而当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边

右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814例2

试构造形如

f(x)dx

A0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)

的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0令公式对

f(x)=1,x,x2

均准确成立,则有10/23/20236数值积分与数值微分

(2)在（1.4）中如果节点和系数都不确定，那么（1.4）就是关于及的个参数的非线性方程组，该方程组在时求解是很困难的.当时，求积公式为可令，由（1.4）知于是中矩形公式再令，代入故它的代数精度为1.10/23/20237数值积分与数值微分

例3

给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.解当时，得当时，得令分别代入求积公式使它精确成立当时，得解得,于是得当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.10/23/20238数值积分与数值微分近似计算思路利用插值多项式

则积分易算。

在[a,b]上取a

x0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多项式，即得到Ak由决定，与无关。节点f(x)插值型积分公式4.1.3

插值型的求积公式关键是f(x)10/23/20239数值积分与数值微分当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是反之，如果求积公式(1.5)至少具有次代数精度，则它必定是插值型的.公式对于插值基函数应准确成立，即有具有次代数精度.函数本身，余项为零，所以这时插值型求积公式至少（1.5）误差注意到上式右端实际上即等于，因而成立.10/23/202310数值积分与数值微分定理1：形如的求积公式至少有n

次代数精度

该公式为插值型（即：）（1.5）例

对于[a,b]上1次插值，有此即梯形公式。4.1.4求积公式的余项代数精度为m的求积公式余项(1.8)其中为不依赖于的待定参数,

显然地，当是次数小于等于的多项式时，由于，故此时，即求积公式精确成立.10/23/202311数值积分与数值微分(1.9)其中余项(1.10)当时，上式右端，求得梯形公式的代数精度为1，余项为代数精度为m的求积公式余项的求法梯形公式的余项10/23/202312数值积分与数值微分代数精度为1，其中余项(1.11)例4

求例3中求积公式的余项。由于此求积公式的代数精度为2，故余项为故得解.令，得，于是有中矩形公式的余项10/23/202313数值积分与数值微分4.1.5求积公式的收敛性与稳定性其中在求积公式中，由于计算可能产生误差，参与运算的是，即则称该求积公式是收敛的.记定义2

在求积公式中，若(1.12)收敛性稳定性就有定义3

对任给

若

只要成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.10/23/202314数值积分与数值微分定理2

若求积公式(1.3)中系数则此求积公式是稳定的.证明取对任给都有若对则当时有由定义3，知求积公式(1.3)是稳定的.只要求积系数，就能保证计算的稳定性.结论10/23/202315数值积分与数值微分4.2牛顿-柯特斯公式

4.2.1柯特斯系数与辛普森公式牛顿—柯特斯求积公式设将积分区间划分为等分，选取等距节点构造出的插值型求积公式(2.1)称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数.步长引进变换则利用等距节点的插值公式10/23/202316数值积分与数值微分(2.2)Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和k，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。10/23/202317数值积分与数值微分当时，梯形公式当时，按(2.2)式，辛普森(Simpson)公式（2.3）柯特斯系数为柯特斯公式（2.4）这里10/23/202318数值积分与数值微分柯特斯系数表当时，柯特斯系数出现负值，假定有且则有初始数据误差引起计算结果误差增大，即计算不稳定，的牛顿-柯特斯公式是不用的.10/23/202319数值积分与数值微分（2）(-1)n+k=(-1)n-k特点：Cotes系数特点：10/23/202320数值积分与数值微分n=1时的求积公式梯形公式/*TrapezoidalFormula*/1次代数精度用梯形面积近似-10/23/202321数值积分与数值微分n=2时的求积公式Simpson公式用抛物形面积近似-10/23/202322数值积分与数值微分例5：分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分的近似值。解：10/23/202323数值积分与数值微分4.2.2偶阶求积公式的代数精度阶的牛顿-柯特斯公式至少具有次的代数精度.代数精度是否会高于n？牛顿-柯特斯公式的代数精度辛普森公式的代数精度2阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有2次代数精度.用进行检验，按辛普森公式计算又这时有，即辛普森公式对次数不超过3次的多项式均能准确成立，而它对是不准确的，因此，辛普森公式实际上具有3次代数精度.10/23/202324数值积分与数值微分定理3

当阶为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有次代数精度.

证明当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零.

此时作变换又有所以若为偶数，则为整数，令则为奇函数，所以因为被积函数偶数阶牛顿—柯特斯公式的代数精度10/23/202325数值积分与数值微分4.2.3几种求积公式的余项梯形公式的余项辛普森公式的余项代数精度为3，余项表达式为其中为余项（2.5）10/23/202326数值积分与数值微分代数精度为5，可证明余项（2.6）柯特斯公式的余项积分中值定理求余项10/23/202327数值积分与数值微分n=1:代数精度=1n=2:代数精度=3几种低阶求积公式的余项构造三次多项式H3(x),使满足H3(a)=(a),H3(b)=(b),插值误差为

(x)C2[a,b]10/23/202328数值积分与数值微分Newton—Cotes求积方法的缺陷：从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致（1）插值多项式出现Runge现象；（2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（n>7）余项：对于给定的被积函数而言，积分区间缩短时，求积误差以更快的速度减小。

(x)C4[a,b]10/23/202329数值积分与数值微分4.3复合求积公式复合求积的基本思想4.3.1复合梯形公式将区间划分为等分，分点在每个子区间上采用梯形公式把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，然后把他们加起来作为整个区间上的积分，目的是提高精度.(3.1)10/23/202330数值积分与数值微分复合梯形公式(3.2)由由于,且所以使复合梯形公式的截断误差余项(3.3)10/23/202331数值积分与数值微分当时有收敛另一方面设，可得其中定积分与区间分法和的取法无关的求积系数为正。复合梯形公式稳定复合梯形公式的收敛性10/23/202332数值积分与数值微分复合梯形公式复合梯形公式的几何意义小梯形面积之和近似-10/23/202333数值积分与数值微分4.3.2复合辛普森求积公式将区间分为等分，在每个子区间上采用辛普森公式，若记，则得(3.4)复合辛普森公式(3.5)10/23/202334数值积分与数值微分由复合辛普森公式的截断误差设时，(3.6)有收敛类似地，只要就有计算稳定10/23/202335数值积分与数值微分例6

对于函数，给出的函数表(见表4-2)，试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分并估计误差.解：复合梯形将积分区间划分为8等分，而如果将分为4等分，复合辛普森公式

计算量基本相同积分的准确值2位有效数字，6位有效数字.，然而精度却差别很大.10/23/202336数值积分与数值微分误差估计复合梯形公式误差复合辛普森公式误差10/23/202337数值积分与数值微分例7

计算积分若用复合梯形公式，问区间应分多少等份才能使误差不超过，若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等份？本题要根据余项公式求截断误差应满足的精度.由复合梯形公式的余项公式得误差的上界为由于解：因此有，可取，即将区间213等份，即可使误差不超过若采用复合辛普森公式计算积分，则由余项公式，要满足精度要求，必须使10/23/202338数值积分与数值微分由此得可取，即用的复合辛普森公式计算即可达到精度要求，此时区间实际上应分为8等份.从这个例子可以看出，为达到同样的精度，复合辛普森公式只需计算9个函数值，而复合梯形公式则需214个函数值，工作量相差近24倍.10/23/202339数值积分与数值微分复合Simpson公式复合Simpson公式的几何意义小抛物面积之和近似-10/23/202340数值积分与数值微分（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长；（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。注意事项：10/23/202341数值积分与数值微分4.4龙贝格求积公式4.4.1梯形法的递推化变步长复合求积公式的思想将积分区间逐次分半，建立递推公式计算，直到满足精度要求.变步长复合梯形公式逐次分半算法直到满足精度要求为止。10/23/202342数值积分与数值微分设将区间分为等分，共有个分点，如果将求积区间再二分一次，则分点增至个，每个子区间经过二分增加了一个分点用复合梯形公式求该子区间上的积分值复合梯形递推公式(4.1)实际计算时的递推公式直到为止，作为积分的近似值.10/23/202343数值积分与数值微分上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。终止条件由复合梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式误差控制条件10/23/202344数值积分与数值微分逐次分半的复合梯形递推公式10/23/202345数值积分与数值微分解例7计算积分值定义它在的值而梯形公式先对整个区间使用梯形公式.对于函数将区间二等分，求出中点的函数值利用递推公式(4.1)进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值再利用式(4.1)10/23/202346数值积分与数值微分这样不断二分下去，计算结果见下表.它表明用复化梯形公式计算积分要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次，即要有分点1025个，计算量很大.10/23/202347数值积分与数值微分变步长复合辛普森公式实际计算过程：利用复合梯形公式前后两次积分近似值和，按照(＊)式作出的线性组合得到了具有更高精度的积分值。印象：(＊)10/23/202348数值积分与数值微分4.4.2外推技巧当分为等份时，有记当区间分为等份时，则有梯形公式余项的级数形式定理4

设则有

(4.2)其中系数与无关.定理4表明是阶。10/23/202349数值积分与数值微分(4.3)记(4.4)这里是与无关.其误差阶为。在(4.2)中，若用代替，有外推算法在数值积分中的应用将计算的近似值的误差阶由提高到的方法称为外推算法，也称为(Richardson)外推算法.类似地(4.5)10/23/202350数值积分与数值微分(4.6)它就是把区间分为个子区间的复合柯特斯公式，，它的精度为由辛普森法二分前后的两个积分值与组合得到(4.7)(4.8)利用外推技巧还可得到逼近阶为的算法公式(4.9)余项(4.10)记递推公式10/23/202351数值积分与数值微分10/23/202352数值积分与数值微分T0(k)

：区间2k等分的复合梯形公式T1(k)

：区间2k等分的复合辛普森公式T2(k)

：区间2k等分的复合柯特斯公式T3(k)

：区间2k等分的复合龙贝格公式一般地10/23/202353数值积分与数值微分公式4.4.3龙贝格算法

(1)取令

(2)求梯形值即按递推公式(4.1)计算

(3)求加速值，按公式(4.11)逐个求出T表(见表4-4)的第行其余各元素求

(4)若(预先给定的精度)，则终止计算，并取否则令转(2)继续计算.（4.11）10/23/202354数值积分与数值微分

可以证明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值，即对于不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复合辛普森公式计算.10/23/202355数值积分与数值微分例8

用龙贝格算法计算积分的近似值.外推3次解k01230.34657360.37601940.38699950.38564390.38583470.38625950.38629200.38628780.38629420.386292010/23/202356数值积分与数值微分解在上仅是一次连续可微，

例9

用龙贝格算法计算积分用龙贝格算法计算结果见表4-5.从表中看到用龙贝格算到的精度与复合辛普森求积精度相当.这里的精确值为10/23/202357数值积分与数值微分4.5自适应积分方法

(了解)复合求积方法适合用于计算被积函数变化不太大的积分.如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，有的部分变化平缓，这时将区间等分用复合求积公式计算工作量会很大.要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分，而平缓部分则可用大步长，即针对被积函数在区间上不同情形采用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算的工作量尽可能小.针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定相应的步长.自适应积分方法以常用的复合辛普森公式为例说明方法的基本思想.10/23/202358数值积分与数值微分例10

计算积分若用复合辛普森法，计算结果见表4-6.（此处即为公式中的，积分精确值为4）计算到为止，此时的近似值，若再用龙贝格法则得到整个计算是将做32等分，即需要计算33个的值.方法一10/23/202359数值积分与数值微分0.210.60.80.4方法二当时有自适应积分法故要对及两区间再用做积分.10/23/202360数值积分与数值微分先计算的积分故在区间的积分值为0.210.60.80.40.30.5下面计算子区间的积分，其中10/23/202361数值积分与数值微分而对可求得因此还要分别计算及的积分.而当时可求得故可得的积分近似0.210.60.80.30.410/23/202362数值积分与数值微分而对区间，其误差不小于0.005，故还要分别计算及的积分，且小于允许误差0.0025，故有其中，当可求得最后子区间的积分可检验出它的误差小于0.0025，且可得0.210.60.80.40.30.5计算17个的值.10/23/202363数值积分与数值微分其中设给定精度要求，计算积分的近似值.（5.1）若把区间对分，步长，在每个小区间上用辛普森公式，则得（5.2）先取步长，应用辛普森公式有其中10/23/202364数值积分与数值微分(5.2)即为（5.2）’与(5.1)比较，若在上变化不大，可假定从而可得与(5.2)比较，则得这里.如果有则可得到（5.3）此时可取作为的近似，则可达到给定的误差精度.10/23/202365数值积分与数值微分若不等式(5.3)不成立，则应分别对子区间及再用辛普森公式，此时步长,得到及.对满足要求的区间不再细分，对不满足要求的还要继续上述过程，直到满足要求为止，最后应用龙贝格法求出相应区间积分的近似值.只要分别考察及是否成立.10/23/202366数值积分与数值微分前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复合求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n

。我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n

。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择n+1个节点x0x1,x2,……,xn

,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。10/23/202367数值积分与数值微分4.6.1一般理论当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次.求积公式的代数精度是否会提高？4.6高斯求积公式例10

求积公式（6.1）试确定节点及和系数，使其具有近可能高的代数精度.解令公式(6.1)对于准确成立，得（6.2）引例10/23/202368数值积分与数值微分由此得代入前式由此得出与异号，即，从而有于是可取.再由第1式得，于是有（6.3）当时，(6.3)式两端分别为及，(6.3)式对不精确成立，故公式(6.3)的代数精度为3.一般节点的求积公式的代数精度最高为次.10/23/202369数值积分与数值微分为权函数（6.4）为不依赖于的求积系数.为求积节点，可适当选取及使(6.4)具有次代数精度.定义4

如果求积公式具有次代数精度，则称其节点为高斯点，相应公式称为高斯求积公式.（6.5）高斯求积公式的概念如何构造高斯求积公式？10/23/202370数值积分与数值微分如果确定了节点，则(6.5)求是关于的线性方程组.如何选取节点才能使求积公式具有次代数精度.高斯求积节点的选取设上的个节点的拉格朗日插值多项式为其中则10/23/202371数值积分与数值微分其中余项显然当取为时有，此时有即求积公式至少具有次代数精度.

如何选取节点才能使求积公式精度提高到次?要求为次多项式时而当时，为次多项式.若要求对，积分10/23/202372数值积分与数值微分即相当于要求与每个在上带权正交.也就是以节点为零点的次多项式是上带权的正交多项式，故有定理5

插值型求积公式的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，(6.7)即10/23/202373数值积分与数值微分证明设则必要性.

是高斯点，因此，如果即有精确成立，则求积公式对于(6.8)因故充分性.用除，记商为，余式为，即，其中.对于由由于求积公式(6.4)是插值型的，它对于是精确的，10/23/202374数值积分与数值微分即又知从而因此，为高斯点.

定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点.利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：1、以次正交多项式的零点作为积分点（高斯点）.2、利用解此方程则得10/23/202375数值积分与数值微分或(2)由构造Lagrange插值多项式求出求积系数

例11

确定求积公式

的系数及节点和，使它具有最高的代数精度.解具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为关于权函数的正交多项式零点及,设得由正交性知与1及带权正交，即得10/23/202376数值积分与数值微分由此解得即令，则得由于两个节点的高斯求积公式具有3次代数精度，故公式对精确成立，即当时当时由此解出10/23/202377数值积分与数值微分利用在节点的埃尔米特插值于是即(6.9)其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故(6.10)高斯求积公式的余项10/23/202378数值积分与数值微分高斯求积公式的稳定性与收敛性定理6

高斯求积公式的系数全是正的.考察它是次多项式，因而是次多项式，注意到故上式右端实际上即等于从而证明得证.推论

高斯求积公式是稳定的.定理7

设则高斯求积公式(6.4)收敛，即10/23/202379数值积分与数值微分4.6.2高斯-勒让德求积公式由于勒让德多项式是区间上的正交多项式，勒让德多项式的零点区间为则得公式若取权函数(6.11)常用的高斯求积公式求积公式(6.11)的高斯点:一点高斯-勒让德求积公式中矩形公式两点高斯-勒让德求积公式10/23/202380数值积分与数值微分三点高斯-勒让德求积公式表4-7列出高斯-勒让德求积公式的节点和系数.高斯-勒让德求积公式的余项估计由这里是最高项系数为1的勒让德多项式.又余项得(6.12)10/23/202381数值积分与数值微分一般区间的Gauss-Legendre求积公式当积分区间是时，做变换可将化为,(6.13)从而可使用高斯-勒让德求积公式计算.例12

用4点()的高斯-勒让德求积公式计算

解先将区间化为，得

根据表4-7中的节点及系数值可求得10/23/202382数值积分与数值微分4.6.3高斯-切比雪夫求积公式若且取权函数有(6.14)高斯点是次切比雪夫多项式的零点，即系数使用时将个节点公式改为个节点，由(6.16)(6.15)10/23/202383数值积分与数值微分计算奇异积分.高斯-切比雪夫求积公式的应用—例13

用5点()的高斯-切比雪夫求积公式计算积分

解由这里当时由公式可得得10/23/202384数值积分与数值微分4.6.4无穷区间的高斯型求积公式(了解)Gauss-Laguerre公式（6.17）节点为次拉盖尔多项式的零点，系数为（6.18）余项其节点系数可见表4-8（6.19）10/23/202385数值积分与数值微分例14

用高斯-拉盖尔求积公式计算如下积分的近似值。取，查表得.

故若取，可得若取，可得而准确值，它表明取的求积公式已相当精确.解10/23/202386数值积分与数值微分高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数可见表4-9.（6.20）节点为次埃尔米特多项式的零点，求积系数为（6.21）余项（6.22）Gauss-Hermite公式10/23/202387数值积分与数值微分例15

用两个节点的高斯-埃尔米特求积公式计算积分于是先求节点，由，其零点为，由(6.21)可求得高斯型求积公式的代数精度为3，故对求积公式精确成立，从而得解10/23/202388数值积分与数值微分4.7多重积分考虑二重积分它是曲面与平面区域围成的体积，对于矩形区域，化成累次积分（7.1）分别将分为等份，步长令则复合辛普森求矩形域上的二重积分10/23/202389数值积分与数值微分从而得用复合辛普森公式分别计算求出积分值.例14

用复合辛普森公式求如下二重积分的近似值：例15

用的高斯求积公式求例14中的二重积分.10/23/202390数值积分与数值微分取，即，得例14

用复合辛普森公式求如下二重积分的近似值：解此积分的真值是（保留小数后10位）.10/23/202391数值积分与数值微分或等价于于是例15

用的高斯求积公式求例14中的二重积分.

先将区域变换为区域，其中对于取时的高斯求积公式节点及系数，即解10/23/202392数值积分与数值微分用的高斯求积公式计算积分可得这里只需计算9个函数值.而例14中需求15个函数值，这里的精度也比例14高，达到8位有效数字.10/23/202393数值积分与数值微分非矩形区域的二重积分用辛普森公式可转化为其中.然后再对每个积分使用辛普森公式，则可求得积分的近似值.10/23/202394数值积分与数值微分4.8数值微分数值微分——用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.

在实际问题中，往往会遇到某函数f(x)是用表格表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有:一、运用差商求数值微分二、运用插值函数求数值微分三、运用样条插值函数求数值微分四、运用外推算法求数值微分10/23/202395数值积分与数值微分导数定义其中为一增量，称为步长.

（8.1）中点公式4.8.1中点方法与误差分析最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商。差商近似导数数值微分公式的导出及估计误差利用Taylor展开10/23/202396数值积分与数值微分中点公式步长的选取截断误差其中（8.2）步长越小，计算结果越准确.结论舍入误差按中点公式，当很小时，因与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的.10/23/202397数值积分与数值微分

例用中点公式求在处的一阶导数取4位数字计算.结果见表4-10(导数的准确值).逼近效果最好则计算的舍入误差上界为这是因为当及分别有舍入误差及若令它表明越小，舍入误差越大，故它是病态的.10/23/202398数值积分与数值微分用中点公式计算的误差上界为要使误差最小，步长应使，由可得如果，有；如果，有.由此得出时最小.假定，则.与表4-10基本相符.当时，10/23/202399数值积分与数值微分4.8.2插值型的求导公式列表函数我们取的值作为的近似值，这样建立的数值公式

（8.3）插值型的求导公式

设Pn(x)是f(x)的过点{x0，x1，x2，…xn}[a，b]的n次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给定的x[a，b]，有:余项分析式中误差无法预估.对随意给出的点，10/23/2023100数值积分与数值微分如果限定求某个节点上的导数值，那么变为零，（8.4）结论：插值型求导公式常用于求节点处的导数值。余项为假定所给节点是等距的1.两点公式设已给出两个节点上的函数值上式两端求导，记，有线性插值求导公式：带余项的两点公式10/23/2023101数值积分与数值微分2.三点公式设已给出三个节点上的函数值，二次插值令上式为两端对求导，有（8.5）式中撇号（′）表示对变量求导数.分别取得到三种三点公式：10/23/2023102数值积分与数值微分带余项的三点求导公式（8.6）中点公式用插值多项式作为的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：（8.5）有带余项的二阶三点公式：（8.7）10/23/2023103数值积分与数值微分

4.8.3三次样条求导三次样条函数与，不但函数值很接近，而且导数值也很接近，并有（8.8）因此利用三次样条函数得到这里为一阶均差.其误差10/23/2023104数值积分与数值微分4.8.4数值微分的外推算法中点公式对在点做泰勒级数展开有其中