专题16一元一次不等式（4个知识点5种题型3个易错点2种中考考法）

专题16一元一次不等式（4个知识点5种题型3个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.一元一次不等式的概念（重点）知识点2不等式的解集（不等式的解）（重点）知识点3.一元一次不等式的解法（重点）（难点）知识点4.利用一元一次不等式解应用题（重点）【方法二】实例探索法题型1.一元一次不等式的特殊解问题题型2.已知不等式的解求字母的取值题型3.方程与不等式的综合题型4.一元一次不等式在决策中的应用题型5.含绝对值不等式的应用【方法三】差异对比法易错点1.不等式两边同除以一个负数时易出错易错点2.去分母时，忘记添括号易错点3.去分母时，漏乘不含分母的项【方法四】仿真实战法考法1.一元一次不等式的解法考法2.列一元一次不等式解应用题【方法五】成果评定法【学习目标】理解一元一次不等式的概念。理解一元一次不等式的解的概念，并会在数轴上表示一元一次不等式的解。掌握解一元一次不等式的一般步骤，并会运用该步骤解一元一次不等式。会在数轴上表示一元一次不等式的解。会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式，并会利用一元一次不等式解决简单的实际问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.一元一次不等式的概念（重点）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1【例1】（2021春•吴江区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．4x﹣5y＜1 B．4y+2≤0 C．﹣1＜2 D．x2﹣3＞5【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B、是一元一次不等式，故本选项符合题意；C、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；D、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解此题的关键．【变式】（2021春•亭湖区校级月考）请写出一个解集为x＜2的一元一次不等式（未知数的系数不能为1）．【分析】根据已知解集写出不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x+4＜8，故答案为：2x+4＜8（答案不唯一）．【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．知识点2不等式的解集（不等式的解）（重点）（1）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（2）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（3）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．【例2】（2022春•如东县期中）不等式0≤x＜2的解（）A．为0，1，2 B．为0，1 C．为1，2 D．有无数个【分析】根据不等式的解集的定义解答即可．【解答】解：不等式0≤x＜2的解有无数个．故选：D．【点评】此题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的定义是解题的关键．要注意：不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．【变式】（2022春•玄武区期末）关于x的不等式ax+b＞c的解集为x＜3，则关于x的不等式a（x﹣2）+b＞c的解集为（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜5 D．x＜1【分析】解法1根据第一个不等式的解集，得出有关a，b，c的代数式的值，从而求出答案．解法2根据第一个不等式的解得出a，b，c的关系，再整体代入求解．【解答】解：解法1：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜3，所以a＜0，且c﹣b＝3a，a（x﹣2）+b＞c可化为：x＜，而＝＝5，∴x＜5．故选：C．解法2：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜3，所以a＜0，且＝3，∴a（x﹣2）+b＞c可化为：x＜，∵＝2+＝2+3＝5，∴原不等式的解集为：x＜5，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键．知识点3.一元一次不等式的解法（重点）（难点）解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。（4）合并同类项。（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【例3】（2023春•菏泽月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【答案】（1）x＞﹣1；（2）x≤2；（3）x≥﹣2；（4）x≤﹣2．【解答】解：（1），x+5﹣8＜4（3x+2），x+5﹣8＜12x+8，x﹣12x＜8+8﹣5，﹣11x＜11，x＞﹣1，解集在数轴上表示为：（2）去括号得，5x﹣1≤3x+3，移项得，5x﹣3x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，系数化为1得，x≤2，解集在数轴上表示为：（3）3x+1≥﹣5，移项得，3x≥﹣5﹣1，合并同类项得，3x≥﹣6，系数化为1得，x≥﹣2，解集在数轴上表示为：（4），去分母得，，去括号得，6﹣16﹣2x≥3x，移项得，﹣2x﹣3x≥﹣6+16，合并同类项得，﹣5x≥10，系数化为1得，x≤﹣2．解集在数轴上表示为：【变式】（2022秋•姑苏区校级期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．3x+1＜2（x+1）．【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，进而可求出不等式的解集；然后将其解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x+1＜2（x+1），∴3x+1＜2x+2，∴x＜1，在数轴上表示不等式的解集为：【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．知识点4.利用一元一次不等式解应用题（重点）（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【例4】（2022春•清江浦区期末）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？【分析】设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，利用总租金＝每辆甲型客车的租金×租用数量+每辆乙型客车的租金×租用数量，结合总租金不超过1530元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（6﹣x）辆，依题意得：280x+220（6﹣x）≤1530，解得：x≤．又∵x为整数，∴x的最大值为3．答：最多租用甲型客车3辆．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．【变式】．（2022秋•苏州期末）小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家每月用水量至少是立方米．【分析】先设小颖每月用水量是x立方米，根据小颖家每月水费都不少于15元及超过5立方米与不超过5立方米的水费价格列出不等式，求解即可．【解答】解：设小颖每月用水量是x立方米，×5+2（x﹣5）≥15，解得，x≥8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．【方法二】实例探索法题型1.一元一次不等式的特殊解问题1．（2022秋•高新区期末）若代数式2m+7的值不大于3，则m的最大整数解是．【分析】根据题意列出不等式，求出解集确定出m的最大整数解即可．【解答】解：根据题意得：2m+7≤3，移项得：2m≤3﹣7，合并同类项得：2m≤﹣4，解得：m≤﹣2，则m的最大整数解是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及代数式求值，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．2．（2022秋•姑苏区校级期末）定义新运算：a⊕b＝1﹣ab，则不等式x⊕2≥﹣3的非负整数解的个数为．【分析】根据新定义的运算得出1﹣2x≥﹣3，求出1﹣2x≥﹣3的非负整数解即可．【解答】解：根据新定义的运算方法可得，x⊕2≥﹣3，即1﹣2x≥﹣3，解得x≤2，而x≤2的非负整数为2、1、0，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提．3．（2022秋•姑苏区校级期末）已知关于x的方程2x﹣a＝3．（1）若该方程的解满足x＞1，求a的取值范围；（2）若该方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整数解，求a的值．【分析】（1）首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据方程的解满足x＞1，可以得到一个关于a的不等式，就可以求出a的范围；（2）首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．【解答】解：（1）解方程2x﹣a＝3，得x＝，∵该方程的解满足x＞1，∴＞1，解得a＞﹣1；（2）解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1），去括号，得：3x﹣6+5＜4x﹣4，移项，得3x﹣4x＜﹣4+6﹣5，合并同类项，得﹣x＜﹣3，系数化成1得：x＞3．则最小的整数解是4．把x＝4代入2x﹣a＝3得：8﹣a＝3，解得：a＝5．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．题型2.已知不等式的解求字母的取值4.（2023春•牡丹区校级月考）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1【答案】B【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，∴1﹣a＜0，解得：a＞1．故选：B．5.（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．a＞3【答案】C【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．6.（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤1【答案】B【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．7.（2022秋•岳阳楼区校级期末）若（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是．【答案】m＜﹣1．【解答】解：∵（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．8．（2022春•崇川区校级月考）x＝1不是不等式（x﹣5）（ax+3a+2）≤0的解，则实数a的取值范围是．【分析】根据题意可知把x＝1代入不等式（1﹣5）（a+3a+2）＞0，进而问题可求解．【解答】解：由题意得：把x＝1代入不等式得：（1﹣5）（a+3a+2）＞0，∴4a+2＜0，解得：；故答案为：．【点评】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．9．（2023春·河南平顶山·八年级校考阶段练习）已知不等式的解集为，则m的值为．【答案】2【分析】由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的值．【详解】解：原不等式系数化1得，，因为不等式的解集是，所以可得，解得：，故答案为：2．【点睛】此题考查不等式的解集，注意当未知数的系数是负数时，两边同除以未知．数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．10．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.【答案】【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．题型3.方程与不等式的综合11．（2023秋·四川泸州·八年级校联考开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果．【详解】解：①+②，得的非负整数为3，2，1，0，的所有非负整数之和为故选D．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．12．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）若关于和的二元一次方程组，满足，求整数的最小值．【答案】0【分析】直接将方程组中两方程相减，进而得出关于m的不等式，进而得出答案．【详解】解：，∴①②得：，，解得：．∴整数m的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的方法步骤是解题的关键．13．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）已知不等式的最大整数解是方程的解，求a的值．【答案】【分析】先求得不等式的解集，可求得的最大整数解是，也就是方程的解是，把代入，即可求得的值．【详解】解：解不等式，得：，该不等式的最大整数解为，将代入，得：，解得：．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解与一元一次方程的解及代数式的求值．解题关键是先求出不等式的解，再代入方程求出的值．14．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如果关于的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定的值．【答案】当时，，当时，【分析】先解一元一次方程得到，再根据的值不大于1，得到关于的不等式，求出的取值范围，再根据是一个正整数即可确定出的值，进而得出的值．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，关于的方程的解不大于1，，解得：，是一个正整数，或，当时，，当时，，当时，，当时，．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知表示出的值，再根据的取值范围得到关于的不等式．15．（2023秋·八年级课时练习）已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围．【答案】且【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【详解】解：，方程两边同乘，得，解得．∵x为正数，∴且，解得且，∴m的取值范围是且【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型4.一元一次不等式在决策中的应用16．（2023春•滨海县月考）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．（1）求这两种毛绒玩具的单价各是多少元？（2）若某商店购进两种玩具共60个，费用不超过8000元，求冰墩墩毛绒玩具最多购进多少只？【分析】（1）设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果．（2）根据题意列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）设冰墩墩单价为x元，雪容融单价为y元，得：，解得：，∴冰墩墩单价为200元，雪容融单价为100元．（2）设购进冰墩墩毛绒玩具a个，依题意得：200a+100（60﹣a）≤8000，解得：a≤20．答：冰墩墩毛绒玩具最多购进20个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．（2023春•涟水县月考）新年伊始，某酒店为了给游客提供更舒适的环境，决定更换酒店的部分空调和电视机．已知购买2台空调和3台电视机共需12300元；购买3台空调和1台电视机共需11100元．（1）求空调和电视机的单价；（2）若该酒店准备购买空调和电视机共50台，且空调数量不少于电视机的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）直接利用“购买2台空调和3台电视机共得12300元；购买3台空调和1台电视机共需11100元”，分别得出等式组成方程组，进而得出答案；（2）根据空调数量不少于电视机的2倍得出购买空调的取值范围，进而利用一次函数的增减性得出答案．【解答】解：（1）设空调的单价为x元，电视机的单价为y元，根据题意可得：，解得：，答：空调的单价为3000元，电视机的单价为2100元；（2）设购买空调m台，则购买电视机（50﹣m）台，根据题意可得：m≥2（50﹣m），解得：m≥，设总费用为w元，则w＝3000m+2100（50﹣m）＝3000m﹣2100m+105000＝900m+105000，当m＝34时，w最小＝900×34+105000＝135600，此时50﹣m＝16，则购买空调34台，购买电视机16台为最省钱的购买方案．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式得出m的取值范围．18．（2023春•灌云县月考）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【分析】（1）根据2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总费用和购进“冰墩墩”小挂件个数的函数关系式，然后根据“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，可以得到购进“冰墩墩”小挂件个数的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最省钱的购买方案，并求出最少费用．【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为a元、b元，由题意可得：，解得，答：“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为8元，10元；（2）设购进“冰墩墩”小挂件x个，则购进“雪容融”小挂件（100﹣x）个，所需总费用为w元，由题意可得：w＝8x+10（100﹣x）＝﹣2x+1000，∴w随x的增大而减小，∵“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的，∴100﹣x≥x，解得x≤75，∴当x＝75时，w取得最小值，此时w＝850，100﹣x＝25，答：最省钱的购买方案是设购进“冰墩墩”小挂件75个，购进“雪容融”小挂件25个，最少费用为850元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．19．（2023春•吴江区月考）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？【分析】（1）题目中的等量关系是：①每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，②3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．（2）题目中的不等关系是：每天搬运的货物不低于1800吨，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决．【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，，解得，∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），100m+80（20﹣m）≥1800．解得：m≥10．w＝3m+2（20﹣m）＝m+40．∵1＞0，∴w随着m的减少而减少．∴当m＝10时，w有最小值，w小＝10+40＝50．∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．【点评】考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决题型5.含绝对值不等式的应用20．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．【详解】解：①当，即时，原式可化为：，解得：，；②当，即时，原式可化为：，解得：，，综上，该不等式的解集是，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．21．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列不等式：（1）（2）【答案】（1）或；（2）【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．【详解】（1）当时，则，解得，，当时，则，解得，，综上，或；（2）当，即时，，解得，，当时，则，解得，，综上，．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．22．（2022秋•姑苏区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完类地结合．研究数轴我们发现了很多有趣的结论和方法．阅读材料（一）：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．阅读材料（二）：例1：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和﹣1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；参考阅读材料，利用数轴探究下列问题：（1）如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6，直接写出线段AB的中点表示的数为；（2）方程|x+4|＝7的解为．（3）不等式|x﹣3|＞4的解集为．（4）|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（5）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得PA+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．【分析】（1）参照材料一，利用线段的中点公式求解；（2）参照材料二中的例1，根据绝对值的几何意义可直接求解；（3）参照材料二中的例2，先求出|x﹣3|＝4的解，再结合数轴可得不等式的解集；（4）根据|x+2|﹣|x﹣6|表示的几何意义，结合数轴求解；（5）分m＜﹣2，﹣2≤m≤6，6＜m≤10，m＞10四种情况，根据PA+PB＝PC列方程，即可求解．【解答】解：（1）由材料一可知，线段AB的中点表示的数为，故答案为：2；（2）|x+4|＝7可写成|x﹣（﹣4）|＝7，在数轴上与﹣4距离为7的点对应的数为﹣4±7，即3或﹣11，因此方程|x+4|＝7的解为x＝3或x＝﹣11，故答案为：x＝3或x＝﹣11；（3）在数轴上与3距离为4的点对应的数为3±4，即7或﹣1，可得方程|x﹣3|＝4的解为x＝7或x＝﹣1则|x﹣3|＞4的解为x＜﹣1或x＞7；故答案为：x＜﹣1或x＞7；（4）由绝对值的几何意义可知，|x+2|﹣|x﹣6|表示x对应的点到﹣2的距离与到6的距离之差，因此当x≥6时，|x+2|﹣|x﹣6|取最大值，|x+2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+6＝8，故答案为：8；（5）存在，设“石室幸运点”P对应的数是m，点C在数轴上对应的数为10，当m＜﹣2时，由PA+PB＝PC得：﹣2﹣m+6﹣m＝10﹣m，解得m＝﹣6；当﹣2≤m≤6时，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+6﹣m＝10﹣m，解得m＝2；当6＜m≤10时，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+m﹣6＝10﹣m，解得，不合题意，舍去；当m＞10时，由PA+PB＝PC得：m﹣（﹣2）+m﹣6＝m﹣10，解得m＝﹣6，不合题意，舍去；综上可知，“石室幸运点”P对应的数是﹣6或2．【点评】本题考查数轴上两点间距离，利用数轴解含绝对值的方程和不等式，解一元一次方程等知识点，掌握绝对值的几何意义，熟练运用分类讨论思想是解题的关键．【方法三】差异对比法易错点1.不等式两边同除以一个负数时易出错23.（2022秋•苏州期末）解下列不等式：．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵，∴3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，3x+9＜10x﹣25﹣15，3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，﹣7x＜﹣49，x＞7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．易错点2.去分母时，忘记添括号24．（2023•盘锦）不等式≥的解集是．【答案】x≥﹣3．【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括号得，3x+3≥2x，移项合并同类项得，x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．易错点3.去分母时，漏乘不含分母的项25．（2023春•铁西区期末）解不等式：．【答案】x≥﹣4．【解答】解：，去分母得：3（3x﹣2）﹣12≤2（5x﹣7），去括号得：9x﹣6﹣12≤10x﹣14，移项得：9x﹣10x≤﹣14+6+12，合并同类项得：﹣x≤4，化系数为1得：x≥﹣4．【方法四】仿真实战法考法1.一元一次不等式的解法1．（2023•攀枝花）下列各数是不等式x﹣1≥0的解的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】移项即可得出答案．【解答】解：∵x﹣1≥0，∴x≥1，故选：D．【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．2．（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．【解答】解：x+1≥2，解得：x≥1，在数轴上表示，如图所示：．故选：B．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．3．（2023•盘锦）不等式≥的解集是．【分析】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可．【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括号得，3x+3≥2x，移项合并同类项得，x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键．4．（2023•泸州）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值．【分析】解方程组得到x+y的关系式，再根据题目所给的x+y＞2求出取值范围即可得出结论．【解答】解：①﹣②得：x+y＝a﹣3．∵x+y＞2，∴a﹣3，解得a．∵，∴．∴，∵a取整数值，∴a可取大于5的所有整数．故本题答案为：6（答案不唯一）．【点评】本题考查了二元一次方程组、不等式以及无理数的估算，能正确估计一个无理数在哪两个整数之间是解决问题的关键．5．（2023•宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：移项，得：x≤1+2，合并同类项，得：x≤3，则不等式的最大整数解为3；故答案为：3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．考法2.列一元一次不等式解应用题6．（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（）A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n【分析】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．【解答】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．7．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为5×x，那么利润为5×x﹣4，所以相应的关系式为5×x﹣4≥4×10%，解得：x≥．答：该商品最多可以打折，故答案为：．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．8．（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人．现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？【分析】（1）设甲团队有x人，乙团队（102﹣x）人，但需要考虑乙团队人数是否大于100，所以分类讨论即可．甲团队按票价是每人80元，乙团队按票价是每人60元，如果乙超过100人，大概需要缴纳4000多元，但是5580元减去4000多元，剩下的钱不足以构成甲的人数，因为此时甲的人数只能是1人，所以这种情况省略；所以甲人数在50以下，乙人数在51到100之间，联列方程即可；（2）两个团队要合起来购票的话，每人40元，列出一共购票的钱和各自购票的钱之和，然后建立不等式即可求解；【解答】解：（1）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；解之得：x＝48，102﹣x＝54；∴甲48人，乙54人；答：甲团队48人，乙团队54人．（2）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；甲乙一起买价格：102×40＝4080（元）；甲乙分开买价格：60x+（102﹣x）50；∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；解之得：x≥18．∴甲最少18人；答：甲团队最少18人．【点评】本题考查学生不等式的基本应用，属于基础题．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．【详解】解：A、没有未知数，故本选项不符合题意；B、含有两个未知数，故本选项不符合题意；C、含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，故本选项符合题意；D、含有一个未知数，但未知数的次数是2，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．2．（2023秋·福建福州·八年级校考开学考试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．【详解】解：不等式中包含等于号，必须用实心圆点，可排除A、B，不等式中是大于等于，折线应向右折，可排除D．故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，即“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设“○”的质量为，“□”的质量为，根据第二幅图可得到求出的值，再根据第一幅图列出不等式，解不等式结果为，找到对应的数轴图即可．【详解】解：设“○”的质量为，“□”的质量为，根据图可知，，解得，，即，解得：，则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图．故选：．【点睛】本题考查了数轴的应用，不等式的求解，一元一次方程的应用，读懂题意根据题中给出的图列出相应的式子是解答本题的关键．4．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）枞阳实验中学为落实“五项管理”工作，促进学生健康和全面发展﹐丰富学生的体育活动，准备从体育用品商店购买一些鞍马、铅球，标枪，鞍马和铅球的单价相同，买一个铅球需要元，买一个标枪需要元．根据实际需要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种体育器材共个，且购买三种体育器材的总费用不超过元，则这所中学最多可购买标枪的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】根据购买三种体育器材的总费用不超过6000元，列不等式求出解集后得出相应的整数解，从而求解．【详解】解：设该中学购买标枪m个，根据题意，得：，解得，∵m是整数，∴m的最大整数解是．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，列出相应总费用的不等式是解决本题的关键．5．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，确定．【详解】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，故表示的解集是，故选B．【点睛】本题考查了数轴表示不等式的解集，熟练掌握解集确定的法则是解题的关键．6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可．【详解】解：，移项，合并同类项得：，未知数系数化为1得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算．7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的解集，即可得到，然后求得即可．【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，∴，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变．8．（2023秋·湖南长沙·八年级校考开学考试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可．【详解】解：，∴，解得：，在数轴上表示如图：；故选D．【点睛】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的求出不等式的解集．9．（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）某城市出租车的起步价为10元（即行驶距离在3千米及以内付10元车费），超过3千米后，每行驶1千米加2元（不足1千米按1千米计）．小张在该市乘出租车从甲地到乙地，支付车费22元，则从甲地到乙地的路程最多有（

）A．11千米 B．10千米 C．9千米 D．8千米【答案】C【分析】求甲地到乙地的路程，根据所支付的车费可知，大于起步的3千米，由多支付的车费列出不等式即可．【详解】解：设甲地到乙地的路程是x千米，∵支付的车费为22元，大于起步价10元，∴甲到乙的路程大于3千米，由题意得，，解得：，∴从甲地到乙地的路程最多有千米，故选C．【点睛】本题考查列不等式组解应用题，解决问题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．10．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（

）A．折 B．折 C．折 D．折【答案】C【分析】设该玩具打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：设该玩具打折销售，根据题意：，解得：该玩具最多可以打折，故选：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．二、填空题11．（2023秋·广东广州·八年级广州市第一一三中学校考开学考试）不等式的解集是．【答案】【分析】直接把未知数的系数化为1即可.【详解】解：∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的方法与步骤是解本题的关键.12．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）“与2的差小于0”用不等式表示为．【答案】/【分析】首先表示“与2的差”，再表示“小于0”即可．【详解】解：与2的差小于0，用不等式表示为：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．13．（2023秋·广东惠州·八年级校考开学考试）某商品进价4元，标价6元出售，商家准备打折出售，但其利润率不能少于，则最多可打折．【答案】8【分析】利润率不能少于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：（打折后的销售价进价）进价，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设这种商品可以按折销售，则售价为，那么利润为，所以相应的关系式为，解得：．答：该商品最多可以打8折，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能少于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值．14．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）某次数学测验，共16道选择题，评分标准为：答对一题给6分，答错或不答一题扣2分，小明想自己的分数不低于72分，他至少要答对道题．【答案】13【分析】根据题意可知：小明答对题目得分+答错或不答题目的扣分=总分数，然后即可列出相应的不等式，再求解即可．【详解】解：设小明答对了x道题，由题意可得：，解得，故小明至少答对13道题，故答案为：13．【点睛】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题，根据题意列出不等式是解答此题的关键．15．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）不等式的非负整数解共有个．【答案】6【分析】先求出不等式的解集，然后再求出不等式的非负整数解即可．【详解】解：，去分母得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：，∴非负整数解有5、4、3、2、1、0共6个．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了解不等式，求不等式的非负整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，得出不等式的解集．16．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）快递运费通常按邮件重量计算，某快递公司规定：省内邮件重量不超过1千克时收费10元；邮件重量超过1千克时，超过的部分按每千克3元收费．若省内寄快递的费用不超过28元，则邮件的重量最多为千克．【答案】7【分析】设邮件的重量为千克，根据题意，列出不等式进行求解即可．【详解】解：设邮件的重量为千克，由题意，得：，解得：，∴邮件的重量最多为7千克；故答案为：7．【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找准数量关系，正确的列出不等式．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）若不等式的解集为，则a的取值范围是．【答案】【分析】分两种情况：当，时，分别求不等式的解集，在确定与条件相符的情况即可求解．【详解】解：解不等式，当，即时，原不等式可化为，即，与已知相矛盾；当时，即时，原不等式可化为，即，符合题意；∴a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质：在不等式两边同时除以一个负数时，要改变不等号的方向是解题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是．【答案】m≤6且m≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x的分式方程的解为：x＝6−m，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m≠2，∴m≠4，∵关于x的分式方程的解是非负数，∴6−m≥0，解得：m≤6，综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．故答案为：m≤6且m≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题19．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）求不等式的负整数解．【答案】负整数解为，，，，，．【分析】直接求出不等式的解集，然后求出负整数解即可．【详解】解：，，，．原不等式的负整数解为，，，，，．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法进行解题．20．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列不等式，并将其解集表示在数轴上．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先去括号，然后移项合并同类项，系数化为1即可；（2）先去分母再括号，然后移项合并同类项，系数化为1即可．【详解】（1）解：去括号得，移项得，。合并同类项得，，解得，；（2）解：，去分母得，去括号得，移项得，，合并同类项得，，解得，．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．21．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）在疫情防控期间，学校给每个班级配备了体温检测仪和雾化消毒器，已知一台雾化消毒器单价比一个体温检测仪的单价多20元，用3000元购进雾化消毒器的数量是用1200元购进体温检测仪的数量的2倍．(1)求雾化消毒器和体温检测仪的单价分别为多少元？(2)学校根据实际情况，购进雾化消毒器的数量是体温检测仪的3倍少5个，总费用没有超过10000元，那么学校最多可能购买了多少个体温检测仪．【答案】(1)雾化消毒器的单价为100元，体温检测仪的单价为80元；(2)最多可能购买了27个体温检测仪．【分析】（1）设雾化消毒器的单价为元，则体温检测仪的单价为元，根据等量关系列出方程，解方程即可求解．（2）设学校购买了个体温检测仪，则购买了台雾化消毒器，根据不等关系列出一元一次不等式并解不等式即可求解．【详解】（1）解：设雾化消毒器的单价为元，则体温检测仪的单价为元，由题意得:，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，则，答：雾化消毒器的单价为100元，体温检测仪的单价为80元．（2）设学校购买了个体温检测仪，则购买了台雾化消毒器，由题意得：，解得：，∵m为整数，∴最多可能购买了27个体温检测仪．【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，根据题意列出方程及不等式是解题的关键．22．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）定义一种新运算“”的含义为：当时，．当时，．例如：，．(1)填空：______；(2)如果，求的取值范围．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根据新定义运算，求解即可；（2）根据新定义运算可得，，求解不等式即可．【详解】（1）解：∵∴，故答案为：6（2）由新定义运算可得：，则解得．的取值范围为．【点睛】此题考查了新定义运算，一元一次不等式的求解，解题的关键是理解新定义运算规则，正确的进行计算．23．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）销售时段周销售数量周销售总利润第一周40盒A水果礼盒85盒B水果礼盒2075元第二周60盒A水果礼盒100盒B水果礼盒2700元(1)若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？(2)第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？【答案】(1)A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元(2)48盒【分析】（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，根据两周的总利润列出方程组，解之即可；（2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．