线性代数第三章

PAGEPAGE14向量组的线性相关性第一节n维向量及其线性运算一、n维向量定义3.1列向量，=（）行向量。定义3.3如果存在数使线性组合，线性表出（线性表示）。称为组合系数（或表出系数，表示系数）。定义3.4如果存在个不全为零的常数，，使满足（3-4）则称向量是线性相关的，否则，便称则个向量是线性无关的。注：给定向量组，，讨论其相关性的方法是：设，求出，，，如果只有零解，则线性无关；如果有非零解，则线性相关；例3.3讨论向量，，的线性相关性解设由于=++=从而有由此推得，这表明只有全为零才使成立，所以线性无关。例3.4已知向量线性无关，又讨论向量的线性相关性解设 = 由于向量组线性无关，所以由式推得由此解得。上面表明，要使式成立，只要取即可，显然，这样的有无穷多组，不妨取，这三个不全为零的数，它使式成立，所以线性相关。设有个维列向量由向量等式（3-5）从而有（3-6）定理3.2如下条件等价：（1）维向量线性相关（线性无关）（2）齐次线性方程组有非零解（仅有零解）。（3）r（A）m（r（A）=m）。其中.推论个维向量线性相关(无关)的充分必要条件是|A|=0(|A|0) 其中推论（mn）个维向量必线性相关。线性组合与线性相关性的关系定理3.3向量（m2）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余个向量的线性组合定理3.4若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。第三节向量组的秩一、向量组的等价下面定义两个向量组之间的关系定义3.6两组列向量A：B：向量组A可有向量组B线性表示当且仅当=（）K，即A=BK。向量组A与向量组B是等价的二、最大无关组定义3.7设向量组是向量组中部分向量所组成的。如果（1）向量组是线性无关的（2）向量组A可由向量组线性表示那么称向量组为向量组A的最大线性无关向量组，简称最大无关组。命题3.2一个向量组与它的最大无关组等价（若有最大无关组的话）。一个向量组的任意两个最大无关组等价。推论两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数必相等。三、向量组的秩定义3.8向量组的最大线性无关向量组所含向量的个数称为向量组的秩。记为r（）命题3.3向量组线性无关的充分必要条件是r（）=m。四、向量组的秩与矩阵的秩的关系将mn矩阵按行分块得到：将A按列分块得到：定理3.8设A是mn矩阵，则A的列向量组的秩等于矩阵A的秩。THr（A）=A的列秩=A的行秩例3.5设有向量组（1）判别向量组的线性相关性，并求它的秩（2）如相关，求其一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出。解构造矩阵，对A作初等变换，将其化为行阶梯形，即即得第四节向量空间二、子空间定义3.9若的一个非空子集对向量的加法与数乘运算也构成一个向量空间，称是的一个子空间。定理3.9的非空子集是子空间当且仅当对向量加法及数乘运算是封闭的，即若，，则，。例3.7证明的子集W=是的子空间。例3.8设均是的子空间。记，则是的子空间。三、基底、维数定义3.10设V为向量空间，如果向量空间V的向量且满足（1）线性无关；（2）V中任一向量都可由线性表出；例3.10设A=，B=验证是的一个基，并把用这个基线性表示。解：要证是的一个基，只要证线性无关，对矩阵（A|B）施行行初等变换，若A能变成E，则为的一个基，且当A变为E时，B就变为即为X。（A|B）=因有A~E，故是的一个基，且=（）第五节齐次线性方程组（3-8）写成向量方程的形式，即为A=0（3-9）性质3.1如果=，=是（3-9）的两个解，则=也是（3-9）的解。性质3.2如果=是（3-9）的解，为一常数，则=也是（3-9）的解。第六节非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组（3-11）A=（3-12）性质3。3设=及=都是（3-12）的解，则=-为对应的齐次线性方程组A=（3-13）的解。性质3.4设=是方程（3-13）的解，=是方程（3-12）的解，则=+仍是方程（3-12）的解定理3.11设方程（3-12）有无穷多个解，若已知=是方程（3-12）的其中一个解（又称特解），对应的齐次方程（3-13）的基础解系为，，…，，则表达式=+++…+习题三已知向量，求。设,其中,求设，求数k使得。判断下列命题是否正确，为什么？（1）若向量线性相关，线性无关，则，线性无关。（2）如果向量可由向量组线性表出，即，则表出系数比全为零。（3）如果向量组线性无关，则一定可由线性表出。（4）如果线性无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出（5）如果存在个不全为零的常数，，使则向量组线性无关（6）如果当数===0时成立，则向量组线性无关。把向量表示成向量的线性组合，其中（1）=，（2）=，（3）=，6、设向量组=，问：（1）x，y取何值时，向量是向量的线性组合，并写出时的表达式（2）x，y取何值时，向量不能由向量线性表出。7、（1）若向量组线性无关，则向量组线性相关。（2）若向量组线性无关，则向量组线性无关。8、证明如果n维单位坐标向量组可以有n维向量组线性表出，则向量组线性无关。9、判断下列向量组的线性相关性（1）； （2）；（3）。10、求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组。（1）（2）（3） 11、求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合。（1）（2）（3）12、设是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可有它们线性表出。13、设,问是不是向量空间？为什么？14、试证：由所生成的向量空间就是。15、由所生成的向量空间记作，由所生成的向量空间记作，试证=。16、验证为的一个基，并把用这个基线性表示。17、求下列齐次方程组的基础解系（1）（2）（3）（4）（5）18、设，求一个42矩阵B，使AB=O，且r（B）=2。19、求一齐次线性方程组，使它的基础解系为20、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且求该方程组的通解。21、设A，B都是n阶矩阵，且AB=O，证明r（A）+r（B）n22、设n阶矩阵A满足，E为n阶单位矩阵，证明r（A）+r（A-E）=n。23、求下列非齐次线性方程组通解及相应的齐次线性方程组的基础解系（1）（2）（3）（4）（5）（6）24、设是齐次线性方程组的s个解，为实数，满足。证明 =也是它的解。25、设是非齐次线性方程组的一个解，，，…，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明（1），，，…，线性无关；（2），，，…，线性无关。26、设非齐次线性方程组的秩为R，是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 =二、模拟自测题填空题设则=,=;设线性相关,则=齐次线性方程组有唯一解，则为（4）设４×４阶方阵Ａ＝,Ｂ＝其中均是４维列向量，且已知=4，=1，则=（5）n阶齐次线性方程组有非零解时，其解向量构成的线性空间维数为（6）齐次线性方程，的基础解系是（7）已知齐次线性方程有