基础过关练8：幂函数及函数的应用(一) 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基础过关练8幂函数及函数的应用(一)一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是()A．幂函数的图象一定经过(0,0)和(1,1)B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称C．幂函数的图象一定不经过第四象限D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点2.如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是()A．y＝x3 B．y＝eq\r(x)C．y＝x2 D．y＝x3．某商场在国庆期间举办促销活动，规定顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元的部分分两档享受折扣优惠，折扣率如表所示：可享受折扣优惠的金额折扣率不超过400元的部分5%超过400元的部分15%若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为()A．935元B．1000元C．1035元D．1100元4．若幂函数f(x)＝(m2＋5m－5)(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为()A．－6B．1C．6D．1或－65．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(600,x)－30))元(试剂的总产量为x单位，50≤x≤200)，则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为()A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位6．已知函数f(x)＝3x5＋x3＋5x＋2，若f(a)＋f(2a－1)>4，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．(－∞，3)D．(3，＋∞)二、多项选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)7．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则()A．函数f(x)为增函数 B．函数f(x)为偶函数C．当x≥4时，f(x)≥2 D．当x2>x1>0时，eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))8.某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则()A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.8元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．若函数f(x)是幂函数，满足f(4)＝8f(2)，则f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝________.10．请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数f(x)＝________.①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③f(x)的值域是[0，＋∞)．11.如图，有一长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x米．则矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为____________________．12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<a，,x2，x≥a，))当a＝0时，f(x)的值域为________；若f(x)在定义域上是增函数，则a的取值范围是________．四、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(13分)已知幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1在(0，＋∞)上单调递减．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(eq\r(2－a))<f(eq\r(a－1))，求a的取值范围．14．(13分)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点M(4,16)．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝eq\f(fx＋1,x).①利用定义证明函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；②若g(x)≥eq\f(1,2)t2－2t在[2，＋∞)上恒成立，求t的取值范围．15．(14分)某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，设该公司一年内生产x(x∈N*)万部手机并全部销售完，当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入R(x)＝400－5x万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入R(x)＝eq\f(9000,x)－eq\f(40000,x2)万元．(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；(2)当年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．

答案精析1．C[函数y＝eq\f(1,x)的图象不经过点(0,0)，所以A不正确；y＝是非奇非偶函数，所以B不正确；对于幂函数y＝xα，当x>0时，y>0一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确；y＝x3，y＝x，令x3＝x，解得x＝0或x＝1或x＝－1，所以幂函数y＝x3和y＝x有三个交点，所以D不正确．]2．B[由幂函数的图象性质可得，选项中的四个幂函数的图象①②③④分别对应的解析式依次为y＝eq\r(x)，y＝x，y＝x2，y＝x3.则其中①对应的幂函数可能是y＝eq\r(x).]3．C[当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，享受折扣优惠的金额最多为400×5%＝20元，故该顾客购物总金额一定超过了800元，设顾客购物总金额为x(x>800)元，则400×5%＋(x－800)×15%＝65，解得x＝1100，则此顾客实际所付金额为1100－65＝1035元．]4．B[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m－5＝1，,m2－3m<0，))且m2－3m为偶数，所以m＝1.当m＝1时，m2－3m＝－2满足条件，因此m＝1.]5．D[设生产每单位试剂的成本为y元，因为试剂总产量为x(50≤x≤200)单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为(7500＋20x)元，后续保养总费用为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(600,x)－30))元，则y＝eq\f(50x＋7500＋20x＋x2－30x＋600,x)＝x＋eq\f(8100,x)＋40≥2eq\r(x·\f(8100,x))＋40＝220，当且仅当x＝eq\f(8100,x)，即x＝90时等号成立，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．]6．A[设g(x)＝f(x)－2，x∈R，则g(－x)＝3(－x)5＋(－x)3＋5(－x)＝－(3x5＋x3＋5x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，可判断g(x)在R上单调递增，把f(a)＋f(2a－1)>4转化为f(a)－2>－[f(2a－1)－2]，所以g(a)>－g(2a－1)＝g(1－2a)，所以a>1－2a，解得a>eq\f(1,3)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).]7．ACD[设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，解得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝＝eq\r(x)，所以f(x)的定义域为[0，＋∞)，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故A正确；因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)不是偶函数，故B错误；当x≥4时，f(x)≥f(4)＝＝2，故C正确；当x2>x1>0时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－eq\f(\r(x1)－\r(x2)2,4)<0，又f(x)≥0，所以eq\f(fx1＋fx2,2)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，故D正确．]8．ABD[由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y＝kx＋b，代入点(0,1)，(6,4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,6k＋b＝4，))解得k＝0.5，b＝1，所以甲厂的总费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y1＝0.5x＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C错误；设当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y＝mx＋n，代入点(2,3)，(6,4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝3，,6m＋n＝4，))解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(5,2)，所以当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)，故D正确．]9.eq\f(28,27)解析设f(x)＝xα，因为f(4)＝8f(2)，所以4α＝8×2α，即22α＝23＋α，所以2α＝3＋α，解得α＝3，所以f(x)＝x3，则f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝13＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(28,27).10．x2(答案不唯一)解析因为f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)的值域是[0，＋∞)，所以同时满足三个条件的幂函数f(x)可以为f(x)＝x2.11.S＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)解析在Rt△NAM中，eq\f(DC,AM)＝eq\f(DN,AN)，所以eq\f(x,30)＝eq\f(20－AD,20)，所以AD＝20－eq\f(2,3)x，所以S＝x(20－eq\f(2,3)x)＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)，所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝－eq\f(2,3)x2＋20x(0<x<30)．12．R[0,1]解析当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<0，,x2，x≥0，))当x<0时，f(x)＝x3∈(－∞，0)；当x≥0时，f(x)＝x2∈[0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x<a，,x2，x≥a))在定义域上是增函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a3≤a2，))解得0≤a≤1，所以a的取值范围是[0,1]．13．解(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－2＝1，,2m＋1<0，))解得m＝－eq\f(3,2)，故f(x)＝x－2.(2)由(1)可知，f(x)＝x－2＝eq\f(1,x2)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由f(eq\r(2－a))<f(eq\r(a－1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a－1>0，))解得1<a<2，因为幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则eq\r(2－a)>eq\r(a－1)，解得1<a<eq\f(3,2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).14．(1)解设f(x)＝xα，则4α＝16，得α＝2，所以f(x)＝x2.(2)①证明由(1)得g(x)＝eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x).任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x1－x2＋eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2).因为1≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增．②解由①知g(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以在[2，＋∞)上，g(x)min＝g(2)＝eq\f(5,2).因为g(x)≥eq\f(1,2)t2－2t在[2，＋∞)上恒成立，所以eq\f(5,2)≥eq\f(1,2)t2－2t即t2－4t－5≤0，解得－1≤t≤5.所以t的取值范围是[－1,5]．15．解(1)依题意，生产x(x>0)万部手机，成本是(50＋20x)万元，故利润y＝xR(x)－(50＋20x)，而R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－5x，0<x<40，,\f(9000,x)－\f(40000,x2)，x≥40，))x∈N*，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x400－5x－50＋20x，0<x<40，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs