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文档简介

13.3.2

等边三角形第十三章轴对称第1课时

等边三角形的性质与判定13.3

等腰三角形学习目标1.探索等边三角形的性质和判定;(重点)2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.(难点)

小明想制作一个三角形的相框,他有四根木条长度分别为

10cm,10cm,10cm,6cm,你能帮他设计出几种形状的三角形?问题引入导入新课10cm10cm6cm10cm10cm10cm等腰三角形等边三角形一般三角形

在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底与腰相等,即三角形的三边相等,我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.名称图形定义性质判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等边三角形的性质一讲授新课类比探究ABCABC问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系?等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°结论:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角

都等于60°.已知:△ABC

中,AB=AC=BC.求证:∠A

=∠B=∠C=60°.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).同理,∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.ABCABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴?结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴图形等腰三角形性质

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合3条对称轴等边三角形1条对称轴两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是

60°两条边相等三条边都相等知识要点三个角都相等,

例1

如图,△ABC是等边三角形,E是

AC上一点,D是

BC延长线上一点,连接

BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°.∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.ABCDE典例精析方法总结:等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是60°,这个性质常应用在求三角形角度的问题上,一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解.

如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,延长

BC到

E,使得

CE=CD.求证:BD=DE.变式训练:证明:∵△ABC

是等边三角形,BD

平分∠ABC,∴∠ABC

=∠ACB

=

60°,∠DBC

=

30°.又∵

CE

=

CD,∴∠CDE

=∠CED.又∵∠BCD

=∠CDE

+∠CED

=

60°,∴∠CDE

=∠CED

=

30°.∴∠DBC

=∠DEC.∴

BD

=

DE(等角对等边).ABCED例2△ABC为正三角形,点

M是

BC边上任意一点,点

N是

CA边上任意一点,且

BM=CN,BN与

AM相交于

Q点,∠BQM等于多少度?解:∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.又∵BM=CN,∴△AMB≌△BNC(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM

=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.ACBMNQ方法总结:此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用,一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等,而后利用全等及等边三角形的性质,求角度或证明边相等.类比探究等边三角形的判定二图形等腰三角形等边三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形从角看:两个角相等的三角形是等腰三角形从边看:两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”,你同意吗?理由是?等边三角形的判定方法:

有一个角是

60°的等腰三角形是等边三角形.辩一辩:根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.不是是是是是不一定是(1)554(2)555(3)60°60°(4)60°(5)5560°(6)5560°

例3如图,在等边三角形ABC中,DE∥BC.求证:△ADE是等边三角形.ACBDE证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C.∵

DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想:本题还有其他证法吗?典例精析证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.∵DE∥BC,∴∠ABC=∠ADE,

∠ACB=∠AED.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.变式1若点

D、E分别在边

AB、AC的延长线上,且DE∥BC,结论还成立吗?ADEBC变式2

若点

D、E分别在边

AB、AC的反向延长线上,且

DE∥BC,结论依然成立吗?证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠B=∠D,∠C=∠E.∴∠EAD=∠BAC=∠D=∠E.∴△ADE是等边三角形.ADEBC变式3上题中,若将条件

DE∥BC改为

BD=CE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,AB=AC.∵

BD=CE,∴

AB-BD=

AC-CE,即

AD=

AE.又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.例4

等边△ABC中,点

P在△ABC内,点

Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.解:△APQ为等边三角形.证明如下:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵BP=CQ,∠ABP=∠ACQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.∴△APQ是等边三角形.BCQAP方法总结:判定一个三角形是等边三角形有以下方法:一是证明三角形三条边相等;二是证明三角形三个内角相等(或两个内角等于60°);三是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60°.证明:∵

△ABC

为等边三角形,且

AD

=

BE

=

CF,∴

AF

=

BD

=

CE,∠A

=∠B

=∠C

=

60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS).∴

DF

=

ED

=

FE.∴△DEF

是等边三角形.针对训练:如图,等边△ABC

中,D、E、F

分别是各边上的点,且

AD

=

BE

=

CF.求证:△DEF

是等边三角形.ACBDEF当堂练习

2.如图,等边三角形

ABC的三条角平分线交于点

O,过点

O作

DE∥BC,则这个图形中的等腰三角形共有(

)A.4个

B.5个C.6个

D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是()

A.105°B.120°C.135°D.150°

B3.如图,在等边△ABC

中,BD

平分∠ABC,BD

=

BF,则∠CDF

的度数是()A.10°B.15°

C.20°D.25°

4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,已知△ABC的周长为

18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是

cm.ACBDE12BBCDAF证明:∵△ABD

是等边三角形,∴∠DAB=60°.∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,∴∠EBC=180°-90°-30°=60°.∴∠FAE=∠EBC.∵

E

AB

的中点,∴

AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC(ASA).5.如图,在△ABC

中,∠ACB

=

90°,∠CAB

=

30°,以

AB

为边在△ABC

外作等边△ABD,E

AB

的中点,连接

CE

并延长交

AD

F.求证:△AEF≌△BEC.BCDAFE6.如图,A、O、D三点共线,△OAB和△OCD是两

个全等的等边三角形,求∠AEB的大小.CBODAE解:∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.∴

AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三点共线,∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设

OB与

EA相交于点

F.∵∠EFB=∠AFO,∴∠AEB=∠AOB=60°.F7.图①、图②中,点

C为线段

AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.

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