数列通项求和的基本方法和技巧(方法、习题、详细答案)-2

数列通项求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：常用公式：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例1、求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………①………………②（设制错位）①－②（错位相减）∴三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求证：证明：设…………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②:（反序相加）∴四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：[例9]求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例13]数列{an}：，求S2002.解：设S2002＝由可得……∵（找特殊性质项）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝5七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2．若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：裂项求和评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;=3\*GB3③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2．若，则两边分别相乘得，例4已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列{an}的通项公式.答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中，，求数列的通项公式。解法一：又是首项为2，公比为2的等比数列，即解法二：两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列中，求通项。答案：2．形如：(其中q是常数，且n0,1)=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可.=2\*GB3②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：=1\*romani.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即：,令，则,然后类型1，累加求通项.=2\*romanii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，=3\*romaniii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略练习.（2003天津理）设为常数，且．证明对任意≥1，；3．形如(其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为;解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，=1\*GB3①时，，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即=2\*GB3②再由累加法可得.亦可联立=1\*GB3①=2\*GB3②解出.例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.4．形如(其中a,b,c是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得，所以由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案：.四、迭代法(其中p,r为常数)型例12已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.（2005江西卷）已知数列，（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）略（2）所以又bn=－1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0，例14.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.答案：例15已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得 设 （同类型四）比较系数得，由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法适用于含根式的递推关系例17已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则代入得即因为，则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例18已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：∵对任意有=1\*GB2⑴∴当n=1时，，解得或当n≥2时，⑵=1\*GB2⑴-⑵整理得：∵各项均为正数，∴当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中,且,求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列例20已知数列满足，求的通项公式。解：因为 ①所以 ②用②式－①式得则故所以 ③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21已知数列中，，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1∴，……类型二：形如分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令,解之得t=1,-2代入得,,相除得,即{}是首项为，公比为的等比数列,=,解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.例23已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。练习1：已知满足，求的通项答案：练习2。已知数列满足，求数列的通项答案：练习3.（2009陕西卷文）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。十一。特征方程法形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例25已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，练习1．已知数列满足，求数列的通项练习2．已知数列满足，求数列的通项说明：(1)若方程有两不同的解s,t,则,,由等比数列性质可得,,由上两式消去可得.(2)若方程有两相等的解，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以．例26、数列满足，且求数列的通项。解：……①令，解得，将它们代回①得，……②，……③，③÷②，得,则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，十二、四种基本数列1．形如型等差数列的广义形式，见累加法。2.形如型等比数列的广义形式，见累乘法。3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例27.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.例28.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为 以下同上例，略 答案4.形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例29.已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.5．形如型(1)若是常数，同题型1.(2)若是一次式同题型1(3)若是二次式。例1．(2006年陕西理20)已知正项数列，其前n项和S满足成等比数列，且10S=，求数列的通项公式.解:∵10S==1\*GB3①∴又10S=(2),=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②,得，即.∵∴.当.此时不成等比数列，∴.当.此时有.∴.∴.评注:该题用即的关系,.消去,也可用的方法求出.例2．（2007年重庆理科21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：．解：（=1\*ROMANI）解由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．（=2\*ROMANII）证法一：由可解得；从而．因此．令，则．因，故．特别地，从而．即．证法二：同证法一求得及，由二项式定理知，当时，不等式成立．由此不等式有证法三：同证法一求得及．令，．因．因此．从而．证法四：同证法一求得及．下面用数学归纳法证明：．当时，，，因此，结论成立．假设结论当时成立，即．则当时，；因．故．从而．这就是说，当时结论也成立．综上对任何成立．例3．（2008年全国理科2）设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设，整数．证明：．解：（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数．（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，．由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；（ⅱ）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得：.而，则，，也就是说当时，也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立．（Ⅲ）证明：由．可得：．1、若存在某满足，则．2、若对任意都有，则：成立．例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则．6.形如型例１．（2008年湖南理科）（本小题满分12分）数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当解(Ⅰ)因为一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当6时，，即当6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，．于是当时，．综上所述，当时，．7.形如型例1．（2008年重庆理科22）设各项均为正数的数列{}满足.（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）；（Ⅱ）记对2恒成立，求的值及数列{bn}的通项公式.解：(Ⅰ)因，由此有，故猜想的通项为．∴（Ⅱ）令．由题设知x1=1且，①②因②式对n=2成立，有③下面用反证法证明：由①得． 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故④又由①知因此是是首