导数在不等式证明中的应用 数学专业

目录TOC\o"1-3"\h\u99851引言 4289011.1选题的意义 4215871.2国内外发展状况 4107942导数的相关概念 576652.1导数的定义 5168102.2导数的几何意义 5318752.3函数的可导性与连续性 5123832.4基本初等函数的导数公式 692853导数在不等式证明中的应用 792363.1利用函数单调性证明不等式 7133903.1.1函数的单调性 7118013.1.2函数的单调性证明 7299493.1.3函数单调性的应用 8.203963.2利用函数的凹凸性证明不等式 12179743.2.1函数的凹凸性 1245093.2.2凹凸性的几个定理 12309823.2.3凹凸性的应用 1386713.3利用函数的最值证明不等式 1556993.3.1函数的最值与极值 1519753.3.2最值在不等式中的应用 17136133.4泰勒公式 2277543.4.1泰勒公式的概念 22270513.4.2泰勒公式的应用 2386533.5微分中值 28243903.5.1微分中值的概念 2859313.5.2微分中值定理的应用 30309073.6利用两导数的不等性证明不等式 34270753.6.1两导数的不等性 343103.6.2两导数不等性的应用 35143813.7利用导数的定义证明不等式 3593503.7.1导数的定义 36205283.7.2两种形式 36199073.8利用导数的几何意义证明不等式 3769823.8.1导数的几何意义 3718487结论 392148参考文献 407312致谢 41摘要:导数不管是在初等或是高等数学中都具备十分关键的地位。其关键作用就表明其具备非常广泛的使用范围。本文重点叙述导数在不等式证明中的使用。本文利用多道例题开展分析用导数高效证明不等式的多种方式，因此指出导数在不等式证明中的关键影响。关键词：导数；不等式证明；泰勒公式；微分中值定理；函数性质Abstract：Derivativeinelementarymathematicsandhighermathematicsplaysaveryimportantrole。Inthispaper，bywayofexample，summarizesthreekindsofmethodsofprovinginequalitiesbythiseffectivetoolderivative，indicatingtheimportantroleofderivativeintheproofofinequality。Keywords：derivatives；theproofofinequality；taylorformula；thedifferentialmeanvaluetheorem；propertiesoffunction1引言1.1选题的意义大众普遍都知道，不等式证明方式被大范围使用，一般的证明方式为：比较法、反证法、数学归纳法、构造法等众多方式。然而部分不等式通过以上方式证明的时候并不简单，此时可以利用函数有关常识去查看不等式，将导数当做工具，将上述证明转变成通过导数来分析函数特点的过程。通过函数理念去了解不等式，本质就是通过不等式和函数两者的完善关系，把不等式或多或少的投射到函数中，直接或等价改变之后，融合不等式的结构特点，利用函数有关运算来表明。将导数当做工具证明不等式是目前比较高效的方式，其可以让不等式的证明流程更加简单，便于处理问题。本文主要分析了通过函数的单调性、最值、凹凸性、微分中值定理、泰勒公式开展不等式证明的详细方式，且制定了多种方式的适用范畴，融合现实情况整理使用多种方式开展证明的主要观点。1.2国内外发展状况张天德，李勇（2012）指出现在全球各国始终在开展教育变革，逐渐制定了面向未来的课程规划。微积分的设立在数学史有非常关键的影响，被当做“人类精神的最高胜利”，其开启了向近现代数学过发展的全新阶段，为分析变量和函数准备了良好的方式，隐藏了大量的数学思想方式。所以，微积分在全球各个地区大致变成高中教学部分，大多数都将其当做重要的选修内容，这就是全球性的发展趋势。微积分具备几何背景、符号运算和操作以及形式定义以及证明，上述部分之间相互影响，组成微积分以及数学探究的重要观点。利用对众多部分的全面探究，可以寻找到他们分析问题方式的明显差异。上述探究主要是将理论层面的结构工当做前提，结构工作和数学分析的三种不同模式不一样，其造成数学三个部分。首先，将感觉经历当做前提，利用思维试验来展现自身特点；其次，将开展计算以及操作时对符号体系的使用方式当做前提；最后，将概念以及证明当做前提创建形式主义理论。蔡子华（2013）指出高级数学思维使用认知结构出现的数学活动创建了全新的观点，创建以及延伸了之前明确的定理的发展系统。个体从早期到高级数学思维的认知情况，可被假定成源自外部环境的感知以及行为，利用两个平行方式的发展得到良好的常见：首先是从视觉空间到符号的形式推测；其次是使用操作符号接连不断的从过程到概念的叙述，双方激发了基于正规目标概念以及系统证明上的开创性思维。TimBozik（2015）指出：将初级数学的进步当做单个进步，还不如通过其他观点将其当做在相同时间内出现的各自发展：首先是视觉空间的图像表征，其次是符号操作流程的动作表征。2导数的相关概念2.1导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量，如果极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为在处的导数，记为，，。如果记，则导数又可表示为。若极限存在，则该极限值称为在点的左导数，记作或若极限存在，则该极限值称为在点的右导数，记作或函数在点可导，且导数为的充要条件是。2.2导数的几何意义导数在几何上表示曲线在()点处的切线斜率[1]。曲线在点的切线方程是。曲线在点的法线方程是(当时)。2.3函数的可导性与连续性若函数在点可导，则在点必连续，但是连续不一定可导[4]。2.4基本初等函数的导数公式(1)(2)(为实数)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)3导数在不等式证明中的应用3.1利用函数单调性证明不等式3.1.1函数的单调性大部分不等式和函数有关或整理之后和其产生紧密的关系。有关人员可通过导数方式证明单调性，之后通过函数单调性的特点去验证不等式，主要是通过导数单调性证明不等式的方式[7]。我们先来了解一下函数单调性的定义，函数单调性的定义是设函数在上连续，在内可导。若在内，则在上单调增加；若在内，则在上单调减少。3.1.2函数的单调性证明该方法使用于某区间上成立的函数不等式，一般地，证明区间上的不等式时，可以选择作为辅助函数。对求导，判断是大于或小于，判定的单调性，从而证明不等式。定理设函数在区间上可导，则在上递增（递减）的充要条件是。例1设，证明不等式成立。证明令，显然当时，有从而在内严格递增，又在处连续，所以，当时，即设，则时，所以在内递减，又在处连续，故时，有即 由上可知，当时，有。注创建合适的辅助函数，然后简化证明流程是非常关键的。因此，一般对待证的不等式进行合适的恒等变形。3.1.3函数单调性的应用例1证明：当时，。证明令，对其求导，得又在上连续，在内，故在上严格增加。当时，，即，故有例2证明：，证明令，且，，由于在上，，从而，则在是单调递减函数，又，从而在恒成立，故有在上成立。例3证明：当时，。证明：即需证，为此，构造函数，此时，，已知当时，亦即在内，因此在内单调增加，而，所以在内有，即在内单调增加，因而当时，，即不等式得证。例4证明:证明：不妨设，原不等式可变形为，令，则上式可转化为，或做辅助函数，则只需证。由于，，，因此在内递增，又，则为单调递增函数，又，得即不等式得证。例5已知函数，且。求证:。分析要证明成立，需要分两步进行；证明，然后再证明。在本题中展现出未知常数，所以在解题的时候要将此处一个当做未知数，其他的当做常数来创建函数。证明因为，所以。设，则当时，当时，因此在区间内为增函数；又因为，且，所以，即。设)-(x-a)ln2，则因此在区间内为减函数；又因为，所以，即。综上所述，。例6已知:是正整数，且求证:分析要证成立，只要证成立，即要证成立。所以我们可以构造函数，然后只要证在是减函数即可。证明要证只要证只要证设函数则因为，，；所以所以在是减函数。又因为，所以，即从而根据以上案例我们可以整理出：通过函数单调性证明不等式非常重要的的流程是创建辅助函数，下面方式可简单的创建需要的函数：对两边开展“求差”创建所需函数；对两边开展合适“求商”创建所需函数；查看两边结构，创建“形似”辅助函数；假如不等式中形式中牵连幂指函数，那么就需要提前把幂指形式转变成容易证明的方式，一般使用取对数，之后依照现实状况利用以上方式创建所需函数。3.2利用函数的凹凸性证明不等式3.2.1函数的凹凸性通过函数凹凸性来证明不等式最关键的是掌握凹凸性的概念，上述概念为假如曲线弧上每个点的切线都处于曲线下方，那么就称作此段弧为凹，假如与之相反，那么就叫做凸的[12]。在全面了解概念之后，我们需要叙述函数凹凸性的判定方式，凹凸性判定法就是设设函数在区间上连续，在区间内具备二阶导数。假如但是在任意子区间中不恒是零，那么曲线弧为凸的；假如然而在任意子区间不恒是零，那么曲线弧为凹。要全面掌握了解凹凸性也要了解拐点有关观点。拐点是接连曲线凹和凸部分的分界点。由于拐点就是曲线凹凸弧的分界点，因此在拐点横坐标左右两边邻近处就是异号，但是在拐点横坐标处就是零或没有。拐点出现的必要条件是设函数在点具备二阶导数，那么点()为曲线的拐点的必要条件为掌握函数凹凸性以及拐点有关概念，可知判断凹凸性或求凹凸区间、拐点的具体流程:1求解函数概念域或指定区域和二阶导数。2在区域内求解所有拐点、疑点(二阶导数是0的点，二阶导数不出现但是函数有作用的点)，边界点和让函数无意义的端点，将上述点标注在表中，依照二阶导数在各个区间中的正负开展评判。3.2.2凹凸性的几个定理定理1（割线斜率性质）：函数为区间上的凸函数的充要条件是：对，，总有。定理2（导数及切线性质）：设为区间上可导，则下列等价：为上凸函数；为上增函数；对上任意两点，总有其中：(3)的几何意义是：曲线总位于切线之上。定理3（凸函数的极值性质）：设为开区间上可导的凸函数，则为的极小值点为的稳定点。设为开区间上严格凸函数，为的极小值点，则必是唯一的极小值点，因而也是最小值点。定理4（凸函数的推广——詹森（Jensen）不等式）设为区间上的凸函数，。这时有如下詹森不等式：3.2.3凹凸性的应用例1证明:当时，有证明设，有则函数对应的曲线在(0，)内为凸的。由于，可见，当时，即。例2证明:当x时，证明令，则因此在或上的曲线弧是凹的，于是即亦即例3设，，，证明不等式证明，，由于所以，在区间或，，是凹的，于是即所以原不等式例4设，当时，证明不等式证明设由于当，对，所以，当时，是上凸的。于是有即故原不等式成立。例5设，证明:证明设，，则所以在上是向上凹的。因此即所以例6设，，，证明不等式。证明，，由于，所以，在区间或，，是凹的，于是，即所以原不等式成立。例7设当时，证明不等式证明设由于当时，对，所以，当时，是上凸的于是有，即，故原不等式成立3.3利用函数的最值证明不等式3.3.1函数的最值与极值要用函数的最值或极值来证明不等式，首先要了解最值与极值的定义。函数的极值的定义为设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果恒有，则称为的极大值，而称为的极大值点；如果恒有，则称为的极小值，而称为的极小值点。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。函数极值的必要条件为设函数在点可导，且在点取得极值，则必有极值的判别法有两种，分别是第一判别法和第二判别法，分别是:（1）极值第一判别法设函数在点的某个邻域内可导，且那么a若当时，当时，则是的极大值。b若当时，当时，则是的极小值。c若在的两侧，的符号相同，则不是极值。（2）极值第二判别法设函数在点处有二阶导数，且则当时，函数在点取得极大值；当时，函数在点取得极小值；了解了极值的判别法之后，我们就可以得出求极值的步骤为:第一，得出函数的所有极值疑点—驻点(的点)和导数不存在但是具备意义的内点；之后，单个开展评判。评判方式通常包含两个:方法一:使用第一种充分条件，得出导函数且开展因式分解，依照极值疑点邻近的符号评判。假如极值疑点很多的时候，也可先列表得出单调区间，之后依照各单调区间开展评判。方法二:使用第二种充分条件，也就是假如是驻点，用二阶导数在上述点的正负评判。(关注方法二的要求就是极值疑点一定是驻点；该点处出现二阶导数且不是0，不然就需要使用其他方式一评判。在出现然而非常繁杂的时候，通常使用方式一评判。)函数最大值和最小值的概念为设函数在上连续，在内只有单独极值点，那么假如是的极大值点，因此就是在上的最大值点；假如为的极小值点，因此就是在上的最小值点。得出函数最值的流程可划分成:1）寻找此区间上的所有极值疑点(也就是驻点、导数没有然而函数有意义的内点)和让函数有定义的边界点。2）分别得出函数在上述点上的函数值且对比大小，此处最大函数值是最大值，最小函数值为最小值。关注，假如函数在特定区间单调且位于边界点处连续，那么其边界点就是最值点。3.3.2最值在不等式中的应用例1证明:若，则对于内任意，有证明构造辅助函数则令得从中求得在上只有一个驻点，又因为，且当时，即在上，曲线是凹的，且在处取得极小值，且为在上的最小值。又，，从而的最大值为1。因此，例2设是大于1的常数，且证明:对于任意，有证明令则令得。因为则所以当时，取极小值，即最小值。从而当时，有即例3设且证明:证明因为连续且具有一阶导数，所以由知。又令，则。由于所以又由知，是的极小值和单调。故只有一个驻点，从而是的最小值。因此即例4求证:分析本题直接证明比较困难，如果构造函数来证明不等式也非常困难。我们可以令则原不等式可变为一个关于的一元二次不等式因此我们可构造函数证明设构造当时，有。当时，有当时，当时，所以时，有最小值。综上所述，；所以成立。例5已知当时，求证:。证明当时，所以在上递减。故在上的最大值为；函数的最小值为，所以在上的值域为。所以，当时，所以，当时，例6设，当时，试证，其中等号仅当时成立。证明令且令，即是唯一驻点。又所以在时取得最大值于是当时恒有其中仅当时等号成立。故成立。其中仅当时等号成立。例7求证:时，证明要证原式，即需证:时成立。设，则因为所以所以在上是增函数，所以的最小值为所以，，时，，即时，成立。例8在上，，且在内取得最小值，证明:证明由在内取得最小值，设。因为在处可导。所以从而所以=例9证明:证明设，则令得，所以在处取得极小值。由于是唯一驻点，所以为函数的最小值。故对一切(且)，，，即例10设，求证:，其中为自然数。证明令，则令，则所以在取到(0，1)上的最大值:注意单调减少，且。于是。从而即例11证明:当，为自然数时证明令则。当时，当时，除时外，均有故在单调上升，在单调减小，因此在上取最大值。于是有==。3.4泰勒公式3.4.1泰勒公式的概念一般的，对函数，设它在点存在直到阶的导数。由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的Taylor多项式，并有，即称该式为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为Peano型余项，称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得也称该式为泰勒公式，但它的余项为，，称为拉格朗日型余项。所以又称为带有Lagrange型余项的泰勒公式。3.4.2泰勒公式的应用例1试证明:若在上存在二阶导数，且则存在使证明将分别在点和泰勒展开，得令则即存在使例2设在上二阶可导，且。在上的最小值等于-1，试证至少存在一点，使证明由题设存在，使，利用泰勒公式令，得(1)(2)若由(1)式得若由(2)式得故结论成立。点评使用泰勒公式的时候，的选择就是重点。假如证明结果中不包含一阶导数的时候，可思考挑选为题设条件已知一阶导数的点或包含为上述点，假如是积分不等式，还可思考选择由于积分后可将包含的项去除。例3设在上具有二阶导数，且满足条件其中都是非负常数，c是(0，1)内任意一点，证明证明其中在上式中，令，则有在上式中，令，则有上述两式相减得，于是又因故例4设在上二阶可导且证明:证明，在点处的泰勒公式分别是：两式相减并由得:因为，所以所以例5设函数在二阶可导，且求证:存在使证明把函数在与分别展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得故在与中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为，使例6设证明:证明由拉格朗日余项的泰勒公式可得注意当时有故例7设二阶可导，且求证证明由于连续，且故有即从而又由的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有(在0与之间)因为故3.5微分中值3.5.1微分中值的概念利用微分中值定理证明不等式首先要了解微分的相关理论。首先是微分的定义，微分的定义是若函数在点的增量可表示为，其中:A是与无关的量；当时，是比高阶的无穷小，则称在点可微，而线性主部称为在点的微分，记为或，即当函数可微时，微分中的系数A=，记，称之为自变量的微分，微分表达式通常写为对称形式而导数就是函数微分与自变量微分之商(微商)[15]。可微的充要条件是函数在点可微的充分必要条件是在点可导，且。可微的必要条件是函数在点可微的必要条件是在点连续。然后介绍一下基本初等函数的微分公式:(1)(2)(为实数)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)还有微分四则运算法则:设函数，可微，则有abc微分形式的不变性是其中比较关键的知识，微分形式不变性为设函数在点可微，函数在对应点处可微，那么复合函数在点可微，那么微分式。其中说明，不管是自变量或中间变量，函数的微分形式都相同，上述形式就是一阶微分形式的不变性。接下来叙述微分中值定理和几何意义。微分中值定理涵盖下面众多部分，主要是费马、罗尔、拉格朗日中值、柯西中值四个定理。(1)费马定理及其几何意义费马定理2。1若在点处可导且取极值，则。注意:若则称点是的驻点，在点处取极值又可导，则点是的驻点，反之不一定。几何意义:若在点取极值且相应的曲线在点()处存在切线但不垂直于轴，则切线必平行于轴。(2)罗尔定理及其几何意义罗尔定理2。2设在上连续，在内可导，又，则存在使得。几何意义:若函数曲线在两点间的每一点都有不垂直于轴的切线，又A，B点的纵坐标相等，则曲线在A，B间至少存在一点P()使得曲线在点P处的切线平行于轴。(3)拉格朗日中值定理及其几何意义拉格朗日中值定理2。3设在上连续，在内可导，则存在使得几何意义:若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于轴的切线，则曲线在A，B间至少存在一点P()使得该曲线在p点的切线与割线平行。(4)柯西中值定理柯西中值定理2。4设，在上连续，在内可导且，则存在使。众多微分中值定理之间的关联拉格朗日中值定理就是柯西中值的独特类型()，罗尔定理还是拉格朗日中值的独特类型()，上述导出就是从特殊到普遍。微分中值定理创建了函数增量，自变量增量和导数两者的关联，函数大部分性质可通过自变量和函数的增量关系来叙述，所以使用微分中值定理来分析函数局面。在通过微分中值定理证明不等式时，一般会遭遇到辅助函数的状况，在此处叙述辅助函数的的常见构造法。构造辅助函数一般使用到常数变易法，其流程为:首先:将结论里面的转换成；其次:利用恒等变形转变成容易去除导数符号的方式；再次:通过观察法或积分得出所有原函数；最后:移项使等式一边是积分常数，将上述常数转变成函数，也就是辅助函数。3.5.2微分中值定理的应用例1证明不等式:，。证明设，在区间上使用拉格朗日中值定理得，其中。由得。故例2若在上连续，在内二阶可导，，且有)，使，则至少存在一点使证明因为在上连续，在内二阶可导，所以满足拉格朗日定理的条件，将函数分别在上应用拉格朗日中值定理，使得。根据已知条件，将在上再次应用拉格朗日中值定理，至少存在一点使例3设在上存在，且，证明:必使证明因为则必存在使在上用拉格朗日中值定理知，必使因为，所以则对在上应用拉格朗日中值定理知，必使例4如果，试证证明将要证明的不等式变形为令则在，()上应用拉格朗日中值定理，得而但在(0，1)上我们不易判别的符号，为此我们由在(0，1)上的二阶导数的符号来判别的单调增减性，因为所以在(0，1)上单调减少。从而有于是即例5设，都是可导函数，且证明:当时，证明因为故单调增加。所以当时，即又在()满足柯西中值定理的条件。故由柯西中值定理知从而故原不等式成立。例6证明:当时，。分析显然这里函数区间为。证明(1)令。(2)在上满足拉格朗日中值定理的条件得:(3)(4)因为所以即当时，例7设在上连续，且，证明:其中证明任取，由微分中值定理有因为，故所以例8证明:当时，有不等式证明函数在满足微分中值定理的条件，有有即3.6利用两导数的不等性证明不等式3.6.1两导数的不等性定理1、设函，满足：在区间上可导，在区间上有，，则在上有。2、设函，满足：在区间上可导，在区间上有，，则在上有。3.6.2两导数不等性的应用例1：证明，。证明设，，显然，求导，得：，。为在上判断与的大小，再求一次导，得:因，即，故即。又因为，在上应用定理即知。再在上应用定理，知，即，通过两导数的不等性证明不等式时，需要关注到，对照的区间上所需要的要求是否达到上述定理标准。其重点流程就是:（1）、由不等式创建两个端点值一样的函数且明确其对照的区间；（2）、对比不同函数在其对照区间内的大小：（3）、在对照区间内使用定理对比不等式大小。3.7利用导数的定义证明不等式导数定义可被当做导数部分的开始，此处开始具备显著的实际影响，其不一致是确定了什么是导数，也为此后知识的创建以及使用准备了良好的基础．在不等式证明中，函数在一点处的导数的使用非常普遍，利用探究题意，寻找出某一函数，上述函数导函数就是需要证明的不等式一端的结构，但是其他端就是上述导函数在某点的值。利用导数概念就可证明对应的不等式。3.7.1导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作3.7.2两种形式在不等式证明中，有关人员要依照现在条件得到有关内容，把信息转变成数学表达式，对比上述两种表达式，查看信息适合怎样的方式，使用符合的方式表达导数定义，然后得出有关结果。了解导数定义的两种等价方式，便于全面的处理问题。例1设并且，证明。证明由题意知，又，则有。又，由导数定义知，故有。本题就是通过导数定义来证明不等式的典型案例，本题目一般展现出下面的特征：（1）对，进行求导后所得结构即为须证明结论的不等式左侧；（2）利用导数定义可得，再由不等关系，可将与建立不等关系，进而证明该不等式。使用导数定义证明不等式，需要之前函数的一阶导函数得出，然后指出函数在特定点的导数值以及函数值，进而使用导数定义证明不等式，处理问题的时候，需要紧紧记住一般函数的极限，全面高效的解决问题。通过导数定义证明不等式重点就是不等式两端函数所叙述的是什么函数，首先两端是某两个函数的导函数形式，上述状况下，对比两导函数，通过导函数的不等关系证明对应的不等式；此外就是所需证明的不等式两端是相同函数的导函数，上述状况下需要寻找导函数所对照的原函数。3.8利用导数的几何意义证明不等式3.8.1导数的几何意义我们已经知道在点的切线斜率，正是割线斜率在时的极限，即。由导数的定义得，，所以曲线在点的切线方程是。这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率。若表示这条切线与轴正向的夹角，则。从而意味着切线与轴正向的夹角为锐角；意味着切线与轴正向的夹角为钝角；表示切线与轴平行。例1函数的定义域是，其中，，证明：[2]。证明由导数的几何意义知函数的导数为函数在定义域内任一点的切线斜率表达式，由二次函数性质可得，由斜率的定义，从而。这道题的解题关键在于将转化为证明的问题，进而联系到用导数表示定义域内某一点的斜率，用导数的几何意义证明不等式。总之，导数几何意义就是和函数图形的切线斜率有紧密的关系。得出某一函数在定义域内任意点的切线斜率表达式，根据案例中的具备内容，对函数在各个点的斜率实施对比，然后得出需要证明的不等式。结论利用探究导数在不等式证明中的使用，本人全面的感悟到上述课题具备明显的分析作用，也感悟到导数工具的全面性以及高效性。根据本文，我们就可以清楚的了解到，即便使用导