平差模型误差与半参数估计

函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。

随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测量）及其相互间统计相关性质的模型。1、测量平差数学模型第1页/共40页经典平差模型R（A）=UR（Q）=nX为非随机参数

第2页/共40页经典平差公式第3页/共40页最小二乘统一理论广义高斯—马尔柯夫模型，最小二乘统一理论Rao在文中提出的最小二小乘准则是R（A）=tR(D)=gn≥g>tu≥tX非随机第4页/共40页不存在，第5页/共40页陶本藻、刘大杰[5]（[5]1990）从奇异正态分布的密度函数

第6页/共40页2、平差系统的模型误差模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类

最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些良好的统计性质都是基于模型误差不显著的情况。但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似，例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更为突出。第7页/共40页3、测量中的半参数回归模型及估计方法3.1、测量中的半参数回归模型和平差估计准则（补偿最小二乘原理）半参数回归模型：第8页/共40页1997吉洪诺夫(Tikhonov)正则化算法构造正则化函数第9页/共40页平差估计准则：是一个适当给定的矩阵，称为正规化矩阵；

是一个给定的纯量因子，在极小化过程中对和起平衡作用，称为平滑因子。第10页/共40页3.2、正规化矩阵正定时半参数模型的估计由拉格朗日乘数法，构造函数

第11页/共40页参数估计：非参数估计：第12页/共40页3.3、最小二乘配置与补偿最小二乘半参数：配置：第13页/共40页3.4、正规化矩阵的一个选择如果观测值是在时刻得到的一个时间序列，若假设相邻时刻的模型误差与的差别不应太大。因此可令：第14页/共40页随机序列的差分一次差分二次差分第15页/共40页第16页/共40页第17页/共40页3.5、确定的周江文方法时间序列系统误差模型设为第18页/共40页例如的协方差阵为第19页/共40页4、半参数估计的自然样条函数法4.1半参数回归模型中的自然样条插值函数设为区间上的自然样条插值函数，为节点，且，满足插值条件：

满足上述条件的插值函数中，自然样条函数是最光滑的。(Green,Silverman1987)第20页/共40页4.2补偿最小二乘原理及其解

(Fessler,1991)

第21页/共40页G矩阵为严格的对角占优矩阵，即正定矩阵。第22页/共40页设：，是半正定矩阵补偿最小二乘准则项表示为：按照求条件极值的拉格朗日乘数法，构造函数

第23页/共40页得到法方程为：法方程系数阵满足：时可逆。

第24页/共40页4.3平滑参数的确定（交叉核实法）去除时刻的观测值，也就是以作为观测值，对于给定的平滑参数得到观测值估计和系统误差估计。通过三次样条函数，可以内插出时刻的系统误差估计，记为，从而得到时刻的观测值估计如果平滑参数选取的比较合适的话，那么若选取的值，使

(Green.Silverman1994)第25页/共40页等价模型

5、半参数模型假设检验第26页/共40页

(1)假设检验

(2)第27页/共40页

（1）、（2）联合平差

拒绝域

第28页/共40页6、时间序列分析与残差分析6.1、AR（P）模型第29页/共40页求解：第30页/共40页平差求解可得第31页/共40页F检验定阶第32页/共40页给定显著性水平（例如＝0.05，0.01），查F分布表可得临界值若，则是合适的（检验不显著）；若，则是不合适的（检验显著）；

第33页/共40页6.2、半参数模型模型：Y=X+S+A式中，

第34页/共40页A=S=X=，=第35页/共40页6.3、两模型的比较分别用AR(p)模型和半参数模型对香河台东西向长约700米的短水准观测数据进行计算比较。第36页/共40页AR(p)模型求得的平差值图第37页/共40页半参数模型求得的平差值图第38页/共40页分别用AR(p)模型和半参数模型求得的平差值比较图第39页/共40页

谢谢！第40页/共40页不存在，第5页/共40页参数估计：非参数估计：第12页/共40页随机序列的差分一次差分二次差分第15页/共40页4