基于落实核心素养的三角函数单元教学的探索与思考 论文

11基于落实核心素养的三角函数单元教学的探索与思考摘要：针对单元教学更有利于促进学生深度学习的现象，为了更好落实发展学生数学核心素养的任务，本文以“三角函数”单元为例，利用大概念的理念，探索单元教学的一般流程以及对单元教学的思考.关键词：单元教学核心素养大概念一、问题的背景础上，进一步优化了课程结构,将高中课程内容划分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模与数学探究活动等主题,每个主题由联系密切的几个知识单元组成.要发展学生核心素养,就需要我们教师对这些单元知识有一个整体、准确、深刻的理解,这样才能在日常教育教学中落实发展学生数学核心素养的要求，保证课堂效率.大概念是指向学科核心内容和教学核心任务、反映学科本质的，能将学科关键思想和相关内容联系起来的特殊的概念.大概念不仅是知识概念，还可以是某种思想、某个观点、某项主题.《普通高中数学课程标准》(2017年版)中强调:“学生数学核心素养水平的达成是具有阶段性、连续性、整体性等特点，教师不仅应关注每一节课的教学目标,更要关注主题、单元的教学目标.”由此可见，教师在进行教学时要着眼于整个单元,要体现整体性、逻辑性、系统性,深入揭示单元内知识之间的联系与衔接.三角函数单元是人教A版新教材必修第一册第五章的内容，在教材中占有较大篇幅，本章内容丰富，其中公式多，变形灵活，其整体性、逻辑性更强，因此也是学生普遍感觉学习比较困难的一章.为了帮助学生和教师更好把握这一章的教学重难点以及知识间的逻辑关系，下面我们以三角函数单元教学为例，22谈谈个人的一些实践与思考.二、单元内容分析2.1知识层面三角函数单元是人教A版新教材必修第一册第五章的内容，根据课程标准的要求学生能借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;面几何和代数运算的相关知识;探索、发现三角函数恒等关系，为解决实际问题，借助三角函数知识构建数学模型等.从具体章节上看，如表1.本单元具体章节安排本单元具体章节安排5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质5.5三角恒等变换5.6函数y=Asn(x+)5.7三角函数的应用表1结合这一章在新教材中的地位以及本章的内容，我将本章其拆分为三个(I)概念单元:任意角和弧度制,三角函数的概念.本单元是概念单元，给出基础的概念，为后续函数性质研究、应用提供概念支撑.(2)性质单元:同角三角函数的两个基本关系（揭示同一角在不同函数下的内在关系）,诱导公式（可以看作是一个任意角和一些特殊角之间的运算）,三PAGEPAGE10角恒等变换（两个甚至更多任意角之间的运算）.本单元主要侧重三角函数的运算性质.(3)应用单元:从实际问题抽象出函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质，三角函数应用.本单元侧重于应用.2.2思想方法层面三角函数章节作为利用几何直观与代数运算来研究的典范.在本章数学研究中，学生可以借助类比、特殊化、化归等思想方法发现问题、解决问题.例如：通过类比长度、质量的度量单位引入弧度制；利用探究指对数函数性质的思路来研究三角函数的性质；在两角和差的公式推导中引导学生体会化归思想等，这些思想方法的理解有助于学生数学核心素养的形成和提高.2.3数学核心素养层面课程标准中所提出的六大学科核心素养在教学过程中应当是一个有机的整体,它们既相对独立、又相互交融.教师应当根据呈现内容的不同,有所侧重.例如：概念单元中从自然界的月亮圆缺变化、潮汐变化到物理中匀速圆周运动、单摆运动等周期性现象来构建任意角概念,发展学生的数学抽象;在性质单元推导诱导公式、进行三角恒等变换侧重发展学生逻辑推理和数学运算;在性质单元学习三角函数的图像与性质时侧重发展学生的直观想象,在运用三角函数解决一些实际问题时侧重发展学生的数学抽象与数学建模素养等.三、学生的认知基础分析3.1对周期性现象的认知自然界的月亮圆缺变化、潮汐变化等,物理中匀速圆周运动、单摆运动等，学生对于客观世界中循环往复变化规律的认识经验可以作为学习三角函数的认知基础.3.2以往学习经验的积累从平面几何方面，初中对圆的性质、圆中对称问题的研究，使学生具有利用单位圆对称性来探寻三角函数诱导公式的基础.在学习三角函数之前，学生已经学习了幂函数、指数函数和对数函数，对于研究函数的一般路径和方法有了一定的经验，养成了对一般性问题的研究的良好习惯.3.3认知困难分析在初中锐角三角函数的教学中，往往学生只关注的是三角函数值，到了高中阶段,需要以函数的角度来认识三角函数.在三角函数内容中，对应关系不在以“代数运算”为媒介，而是“θ与x，y应，学生在已有学习经验中没有这种认知，而且缺乏用联系的观点看问题的经验，这是主要的学习难点.四、单元教学的“主线索”我们教师需要让学生学会用数学眼光看问题、用数学的语言表达思想.让学生认识到知识结构的整体性和内在逻辑性,数学知识不再是孤立的知识点的积累,而是围绕基本概念的知识链命相互联系的知识结构.有了前面研究基本初等函数的经验，不难得到本章的学习思路为:实际问题（周期现象）——基本概念（角、弧度制、三角函数的概念）——公式、性质——应用（三角函数模型应用）五、单元教学目标设计核心素养是无法直接教授或习得的,它需要由数学知识作为载体,在长期潜移默化的熏陶中逐渐形成.就要求我们教师必须先理解所教知识的本质，明白数学概念的背景,把握概念的逻辑意义,这样才能设置合理的教学目标,促进核心素养的落实.因此，我们单元目标分解成小单元目标（表对应的重难点（表3）.大单元教学目标分解成小单元教学目标（表2）概念单元(1)了解任意角的概念和弧度制;(2)理解三角函数的定义;性质单元(3)理解同角三角函数的基本关系;(4)推导诱导公式;(5)推导两角差(和)的余弦公式;(6)推导其他恒等变换公式;(7)能进行简单的三角恒等变换;(8)能画出正弦、余弦、正切函数图像，借助图像理解性质;应用单元(9)理解函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质;(10)利用三角函数知识解决简单的实际问题.表2小单元教学目标对应的子目标以及重难点(表3)小单元目标子目标重难点（1）了解了解任意角，弧度制的概念;重点:任意角的推广，弧度与角任意角的能进行弧度与角度的互化;了度的换算.概念和弧解弧度制下弧长及扇形面积难点:弧度的概念及引入的必要度制公式.性.(2)理解三利用单位圆来理解三角函数重点:任意角三角函数的定义.|角函数的的定义.难点:用角终边的点坐标刻画三定义;角函数.(3)理解同利用单位圆推导同角三角函重点:同角三角函数的基本关系.角三角函数的基本关系;数的两个基本关系.难点:三角恒等式的变形化简.(4)推导诱导公式;借助单位圆的对称性,利用定义推导诱导公式.重点:诱导公式的推导过程,运用公式进行简单的求值化简.难点:利用圆的对称性来解释诱导公式.(5)推导两角差(和)的余弦公式;推导两角差的余弦公式;推导两角和的余弦公式.重点:推导两角差(和)的余弦公式.难点:两角差的余弦公式的探索与证明过程.(6)推导其他恒等变换公式;推导两角差(和)的正弦公式;推导两角差(和)的正切公式;推导二倍角公式;了解公式间的内在联系.重点:由两角差的余弦公式出发，推导其他两角和差的公式.难点:理解公式间的内在联系,为简单恒等变换做出铺垫.(7)能进行简单的恒等变换;能进行简单的恒等变换,包括半角公式、积化和差、和差化积等重点:学习三角变换的思路、方法.难点:在三角变化过程中，掌握变换的能力.(8)能画出正弦、余弦、正切借助单位圆能画出正弦、余弦、正切函数的图像;会利用“五点法”作简图;通过观察重点:正弦、余弦、正切函数的图像以及性质.难点:正弦、余弦函数间的关系,函数图像,借助图像性质;[0,2π]图像理解正弦函数、余弦函数的性质;借助图π π像理解正切函数在（-2 2，上的性质.）周期(函数)的意义.(9)理解函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质;能借助y=Asin(wx+φ)图像理解参数A,w,φ的意义,了解参数的变化对图像的影响.重点:能借助y=Asin(wx+φ)图像理解参数A,w,φ的意义,了解参数的变化对图像的影响.难点:图像变换与A,w,φ参数的关系.(10)用三角函数解决简单的实际问题.利用三角函数解决简单的实际问题;体会三角函数构建描述周期变化的特点.重点:借助三角函数解决实际问题.难点:将某些实际问题抽象成数学中的三角函数模型.表3六、单元教学的建议单元教学的目标是否实现，关系着核心素养是否能落实.而目标的落实需要我们精心设计合理的学习活动，在活动中发展学生的核心素养.以下是笔者在实施单元教学中的几点建议.6.1创设适应性情境,激发学生探索问题是数学的心脏,因此核心素养的培养应该落实在发现问题、思考问题、解决问题的过程之中.通过在适应性的情境中探索，引导学生学会用数学眼光思考问题、解决问题.结合教材的设计理念，以下是对三角函数章节的引入：一、章节导入同学们，古代人常常将观察到自然现象的变化写入优美诗词中借以抒发自象的变化呢？随后介绍月亮随时间变化而发生圆缺变化的特点，潮汐现象以及物理学中匀速圆周运动和单摆运动的特点，引入周期性的概念.设计意图：从学生熟悉的诗词出发，回顾生活学习中的循环往复、周而复始的规律，揭示周期性无处不在.结合之前所学的函数是刻画客观世界变化规律的模型，为引入本章的三角函数作出了铺垫.二、情境引入问题1：钟表慢了5分钟，应如何校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？问题2：钟表快了1.25小时，应如何校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？设计意图：通过学生对熟悉的钟表问题的思考，从运动的角度，旋转得到一个角，突破了学生已有角的范围，导致学生的认知冲突，迫切需要扩大角的范围.在这个情景中教师应强调：先确定分针的起始位置，再考虑旋转方向，最后有旋转量确定终止位置.这个过程旨在唤起学生初中角的动态定义，找到学生的认知基础.生活中还有哪些超过3600的角么？介绍里约奥运会上陈艾森跳水勇夺10米台金牌，以及齿轮旋转过程中主动轮和被动轮上角的角的变化.设计意图：从跳水的动作名称的介绍到齿轮工作时的旋转，让学生感受到想要准确的描述这些现象，需要不仅需要知道旋转量，而且还需知道旋转方向，突显角的概念推广的必要性.在此过程中让学生充分体会到角可以从00趋向无穷大，为角的规定作出了铺垫.6.2围绕目标、重难点选择合适的策略在弧度制课时设计中的一个难点就在于如何使学生体会到用弧长半径之比度量角度的合理性.结合学生已有的学习经验和认知基础，我从学生初中学过的弧长公式l=nπr作为突破口，通过化简变形得到l=nπ，就可以发现弧长lr

180与n之间的函数关系，对应且是一一对应的,进而说明用弧长半径之比度量角度是合理的.在此过程中可以让学生采用小组合作的方式完成数据的计算、表格的填写以及最后的实践活动,通过对数据进行处理、分析，发展学生的数据分析素养.6.3借助单位圆的辅助作用，提升学生直观想象素养直观想象是借助直观的感知，利用对图形的理解，解决问题的素养.在本章中，任意角、三角函数定义、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数图像和性质都可以利用单位圆来理解.本章利用单位圆这一工具来研究三角函数的工具,加强整体性的同时,提高教学质量.例如:(1)借助单位圆直观感知1弧度的大小;(2)借助单位圆定义三角函数;(3)依靠单位圆发现三角函数同角的两个基本性质;(4)借助圆的几何对称来发现诱导公式;(5)利用圆的旋转对称性推导两角和差角公式等等6.4利用多种有效评价帮助学生总结提高教学评价是教学的重要环节，反映出学生对于知识、技能、思想方法等的理解程度，因此有效的评价能让教师了解学生的切实情况，更好帮助学生总结提高.在平时的教学中，采用形成性评价和总结性评价相结合的方式，利用不同形式的形成性评价，如数学写作、实践活动、研究报告和小论文等多种形式，来测量学生的掌握程度.例如笔者在上完三角函数单元后，就安排班级的学生完成三角函数单元的思维导图的任务，在思维导图中能反映出同学对于三角函数单元中知识的内在联系、公式间的逻辑关系的理解，从而了解学生能否从整体上把握这一章的内容等.除了知识的掌握，在教学中，还要多关注学生在学习活动中的收获、感悟等方面，多角度多维度去评价学生.例如：在任意角这节课的总结归纳环节，除了知识的掌握，还通过问题的解决，让学生体会特殊到一般、化归转化以及数形结合等思想方法在解决问题中的作用，经历“现象与本质”的关系.在总结性评价时，要结合学生现有的基础，聚焦单元核心概念考查，落实发展核心素养的任务，利用大数据等现代化信息技术，帮助每个学生建立自己错题库，弥补学习上的不足.单元教学的实施，能够让学生从整体上把握本章的内容，理解章内知识之间的联系，通过精心设计的学生活动，使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法,以实现其