多视角切入巧方法破解-一道安徽江南十校模考题的探究 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选多视角切入，巧方法破解——一道安徽江南十校模考题的探究摘要：解三角形是历年高考必考的知识点，常常以三角形的“四心”作为背景，与转化等数学思想，一直深受命题者的喜欢，是考试中的热点问题之一.此类问题方式全、方法多样，思维各异的主战场，具有较好的选拔性和区分度，备受各方关注.关键词：基底思维，坐标思维，几何思维，代数化，大单元教学引 言：解三角形问题一直是高考的必考点和重点，三角形的四心问题一直是此类问题的难点，解决此类问题通常是从几何的角度分析问题、解决问题，这也是学生经常一贯的思维模式。新课标强调：“教学需要关注同一主线内容的逻辑联系，关注不同主者在对三角函数复习大单元教学的基础之上，将知识进行整合，从高三复习模考中遇到的一道江南十校解三角形模考题出发，从向量、坐标以及几何等不同的角度与学生一起彰显数学思想方法，从而将知识点形成知识链，进行系统化，进一步提升学生的分析问题、解决问题的数学素养，取得了一定的成效，现整理成文，与各位同仁分享.一、问题呈现届安徽省高三下学期江南十校联考试题·17）已知三角形ABC的内角B,C的对边分别为a,b,c，tanC=

sinA .（1）求b的值；c

2-cosA（2）设M和N分别是三角形ABC的重心和内心，若MN||BC且c=2，求a的值.此题第（1）问比较常规，主要考查正、余弦定理的简单应用，即三角形边与角的，结合线的平行关系来确定边的与渗透，处理此类问题可以从基底思维、坐标思维、几何思维进行分析.从而确定解决12022年安徽省中小学教育教学论文评选质进行形的转化，都可以达到很好的效果.二、问题破解思维视角一：基底思维方法1：（基底法）

r解析：设三角形ABC的内切圆半径为r，在边AB和AC上分别取向量AG=ACr|AC|HH=

，再取向量AP=AB+AH，于是可知|AP|=AB=2cosA，|AN|=r ，|AB|又三角形ABC的面积为S

=1(a，2

2 sinA2

2S

2bccosA2

ABAC 所以|AN|==

，由向量AN=mAP=m(

+)，A a2

|AB| |AC|可得m= ，可得m= ，=

|AP|

a+b+c

故AN= bc

B C b(+)=(

AB+ c

AC，a

|AB| |AC|

aa由AM

1AB

1AC，= +3 3b 1c 1所以MN=AN-AM- )AB- )AC，- = ，a- = ，

a3又根据MN=AC-

AB且MN||BC，可得 c 1 1- b 由c=2,b=2，可得a.c

a+b+c

3 3 a相关的平面向量，再根据向量的模的求解以及共线向量的知识得到参数满足的等量方程，进而求出边长a.在此方法过程中，对于基底的选择没有一定的标准，不同的基底选择决定了不同的线性运算，而本题为了方便选择以AB和AC作为基底，再将几何图形直线的平行关系转化成向量的共线问题，使问题迎刃而解.22022年安徽省中小学教育教学论文评选思维视角二：坐标思维方法2：（坐标法）AE是三角形ABCCE=b=2BE=2DEDE=m，c于是以E为原点，EB为x所在直线垂直的直线为yE(0,0)，D(-m,0)，B(2m,0)，C(-4m,0)-2cosB,2sinB).由点M是三角形

ABC的重心，且

MN||BC，可知12m-2B2sinBEN= EA，从而可得N( , )，

图（1）3直线AB的方程为y=-

3 3sinB(x-2m)得sinB*x+cosB*y-2msinB，cosB由点N是三角形ABC的内心，可知点N到直线AB距离与到x轴的距离相等，进一步有|2msinB-2sinBcosB+2sinBcosB-2msinB|=|2sinB|，3 3 3于是有|4msinB|=|2sinB|，又asinB，于是可得m=1，3 3 2从而得到a=BC=6a=3.点评：根据题目的已知条件，选择合适的原点，建立恰当的平面直角坐标系，从坐标视角切入，利用三角形角平分线定理及中线知识，从而确定边长之间的关系，将各个点用坐标来进行表示，根据角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质，再结合距离公式，从而将平面几何问题进行代数化，从代数的角度计算和分析问题，从而求出边长有时会达到事半功倍的效果.思维视角三：几何思维方法3：（三角形相似法）MN交AC于GAB于HCN，BN，由于点M,N分别是三角形ABC的重心和内心，且MN||BC，可知角GCN=角BCN=角GNC，得GN=CG，图（2）32022年安徽省中小学教育教学论文评选又由三角形AGN和三角形ACE相似，可得GN=CG=4；3同理，可得HN=HB=2，于是GH=GN+NH=2，3又由三角形AGH和三角形ABC相似，可得a=BC=3GH=3.2的三角形相似的有关知识，确定图形中线段的大小，从而得到了所求边的长度大小.这时也有所涉及.方法4：（角平分线定理法）解析：连接BN，CM，由点M是三角形ABC的重心，且MN||BC，可知AN=AM=2，又点N是角B的平分线，可得BA=AN=2，于是有BE=1，NE DMNE 2同理，可得CE=1AC=2,从而有a=BC=CE+BR=3.2点评：根据题目条件中的三角形的重心性质及平行关系，可以得到边的比例关系，达到意想不到的效果，在平时复习中需要学生好好地体会与理解.方法5：（等面积转化法）解析：根据第（1）问，可知b=2且c=2，进一步有b=4，c设三角形ABC的内切圆的半径为r，则内心N到BC边的距离为r，又因为MN||BC，所以重心M到BC边的距离也为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，根据三角形等面积转化，可得1(a=3ar，从而解得a=3.2 2大小.42022年安徽省中小学教育教学论文评选选择.三、推广延伸ABC的内角B,C的对边分别为a,b,cM和N分别是ABC的重心和内心，若MN||BC，则b,a,c三边成等差数列.解析：由上述方法四，即角平分线定理法，可知BE=c，CE=b,2 2从而可知a=BC=CE+BR=b+c，故b,a,c三边成等差数列.2四、解后反思数学的本质是转化与化归，通过几何与代数的转化降低问题的难度，彰显思想方法的优越性.在遇到解三角形问题时，我们要深入的理解与熟练掌握以上三种破解此类问题的思想与常规技巧.基底法需要我们选择合适的向量作为基底，通过平面向量的线性关系来进行分析；坐标法需要我们选择适当的坐标原点，建立简便的平面直角坐标系，此过程最关键的是要使我们点的坐标便于求解，利用坐标来进行代数运算，将几何问题代数化；在涉及到一些基本图形的几何问题时，往往可以通过几何图形进行直观分析，可以基于大单元教学的思想，灵活的梳理前后知识板块之间的有效衔接，寻找知识板块之间的深层次关系，这样可以很好