重庆市沙坪坝区名校2023-2024学年高一上学期9月测试数学试题（含答案）

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一、选择题（本大题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合的意义是（）

A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集

C．第二、四象限内的点集D．不在第一、三象限内的点的集合

2．已知集合，则集合的真子集个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3．已知集合，且，则实数为（）

A．2B．3C．0或3D．0，2，3

4．下列集合中表示同一集合的是（）

A．B．

C．D．

5．已知集合，且，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（）

A．1B．C．1或D．1或

7．若集合的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称为互斥集．若，且为互斥集．则的最大值为（）

A．B．C．D．

8．已知集合．若，且对任意，均有，则集合中元素个数的最大值为（）

A．5B．9C．15D．19

二、选择题（本大题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．下列关于集合的命题错误的有（）

A．很小的整数可以构成集合

B．集合与集合是同一个集合

C．1、2、、0.5、这些数组成的集合有5个元素

D．空集是任何集合的子集

10．设全集，集合，则包含的集合可以是（）

A．B．C．D．

11．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（）

A．B．

C．若，则D．若，则

12．对非空有限数集，定义运算“”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集，定义集合，我们称为集合之间的“距离”，记为．则下列命题为真命题的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．对于任意有限数集，均有

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）

13．方程组的解集是______．

14．若集合，实数的值为______．

15．若集合．则实数的取值范围是______．

16．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是______．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合中有三个元素：，集合中也有三个元素：．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

18．（12分）已知集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（12分）集合

（1）若，写出集合的真子集；

（2）若，求实数的取值范围．

20．（12分）已知全集，集合．

（1）若时，存在集合使得，求出所有这样的集合；

（2）集合能否满足？若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由．

21．（12分）已知集合规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集

（1）当时，分别写出集合的衍生和集；

（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．

22．（12分）设集合，若集合中的元素同时满足以下条件：

①恰好都含有3个元素；

②为单元素集合；

③

则称集合为“优选集”．

（1）判断集合是否为“优选集”；

（2）证明：若集合为“优选集”，则至多属于中的三个集合；

（3）若集合为“优选集”，求集合的元素个数的最大值．

数学参考答案：

一、单选题

12345678

DCBDCCCD

二、多选题

9101112

ABCADACDAC

三、填空题

13141516

6

四、解答题

17．解：（1）集合A中有三个元素：，

∴或，解得或，

当时，，成立；

当时，，成立．

∴的值为0或．

（2）集合中也有三个元素：，当取时，都有，

∵集合中的元素都有互异性，∴，，∴．∴实数的值为．

18．解：（1）解不等式，得，即，

当时，，所以．

（2）由（1）知，，由，得，

当，即时，，满足，因此；

当，即时，，即有，

则，解得，因此，所以实数的取值范围．

19．解：（1）由题知，，若，则，

所以，解得或，

当时，，所以集合的真子集为：；

当时，，所以集合的真子集为：．

综上，当时，集合的真子集为：；当时，集合的真子集为：．

（2）对于集合中的方程，，因为，所以，

当，即，此时，显然满足；

当，即，此时，满足；

当，即，当才能满足条件，

由韦达定理有，，即，无解．

故实数的取值范围是．

20．（1）解：当时，可得，

因为，所以，

又由，又因为，

所以这样的集合共有如下6个：．

（2）解：能：

由，可得，

若时，此时满足是的一个子集，此时，解得；

若时，由（1）知，

当时，，此时，此时不是的一个子集；

当时，，此时，此时是的一个子集；

当时，，此时，此时是的一个子集，

综上可得，当或时，满足，

此时实数的取值范围为．

21．解：（1）由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集．

（2）当时，设集合且；

∴，

∴集合的衍生和集的元素个数的最小值为9；

若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为15；

∴最大值为15，最小值为9．

22．（1）解：对于集合，

满足条件①：和恰好都含有3个元素；

满足条件②：为单元素集合；

但不满足条件③：，则不是“优选集”；

对于集合，

满足条件①：和恰好都含有3个元素；

满足条件②：为单元素集合；

满足条件③：．所以集合是“优选集”．

（2）证明：由集合为“优选集”，

结合（1）显然可以属于中的零个集合，一个集合，两个集合，

取集合，其中，，

此时可以属于中的两个集合，三个集合，

假设存在，使得可以属于中的四个集合，即，其中，

为了满足条件③，显然还存在，

为了满足条件②，中的元素必须在中除外的另外两个元素中各选一个，

此时中有4个元素，显然不满足条件①，

因此假设不成立，

故若集合为“优选集”，则至多属于中的三个集合；

（3）解：