北京市延庆区2021年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案

北京市延庆区2021年九年级上学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题共8个小题，每小题2分，共16分。下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.抛物线的对称轴是（）A.直线x=3 B.直线x=-3 C.直线x=1 D.直线x=-1【答案】A【详解】解：抛物线的对称轴是直线．故选：A．2.已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；B．因为，所以，故B不符合题意；C．因为，所以，故C符合题意；D．因为，所以，故D不符合题意；故选：C．3.函数的图象如图所示，则该函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【详解】解：观察图象得：此函数的顶点坐标为（1，-1），∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为-1；故选：A．4.如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】，，，，，，，．故选择：D．5.把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：；再向下平移1个单位为：即，故选：B．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A. B. C. D.3【答案】A【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A．7.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】、如图，抛物线开口向下，所以，本选项结论正确；、由图象知道当时，，即，故本选项结论错误；、抛物线交轴的正半轴，所以，本选项结论正确；、抛物线与轴有两个交点，所以，故本选项结论正确；故选：；8.已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，A、若，则，故本选项错误，不符合题意；B、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意；C、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意；D、若，则，故本选项正确，符合题意；故选：D二、填空题共8个小题，每题2分，共16分。9.请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：___________．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可）【答案】（答案不唯一）【详解】解：依题意，写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：，故答案为：（答案不唯一）．10.如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．【答案】∠ABD=∠C（答案不唯一）【详解】∵在△ACB和△ABD中，∠BAD=∠CAB，∴若∠ABD=∠C即可证明△ABD∽△ACB，故答案为：∠ABD=∠C（答案不唯一）．11.将二次函数化成的形式：____________．【答案】【详解】解：．故答案为：12.根据右面的两个三角形中所给的条件计算，那么的值是____________．【答案】3【详解】解：计算两三角形内角都为：∴两三角形相似∴解得：y=3故答案为：313.抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴只有一个交点，那么b＝_____．【答案】±2【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴只有一个公共点，∴y＝0时，方程y＝x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根．∴△＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0．解得，b＝±2，14.如图，小吴为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是1米和10米．已知小吴的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_____米．【答案】16【详解】解：设楼房高度为x米，由题意得，，解得x＝16．15.抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，当时，则x的取值范围是________．【答案】x＞1或x<-3【详解】解：∵抛物线与x轴一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＞1或x<-3．故答案为：x＞1或x<-316.如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．【答案】【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°，∴∠AOB=45°，∵∠AOD=15°，∴∠BOD=60°，∵∴，∴，将点B代入得，，解得：．三、解答题17.如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．【答案】见解析【详解】证明：∵AC，BD相交于的点O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC．18.已知：二次函数y＝x2﹣1．（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）画出它的图象．【答案】（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．（2）图像见解析．【小问1详解】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；【小问2详解】解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x-2-1012y＝x2﹣130-103描点可画出其图象如图所示：19.已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．（1）求此二次函数的表达式；（2）求此抛物线与x轴的交点坐标．【答案】（1）（2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）【小问1详解】解：设二次函数表达式为∵图像经过（-2，5）∴5=∴【小问2详解】解：令y=0，即=0解得：x=3或x=-1故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）20.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°又∵BE⊥AC∴∠BEC=90°∴∠ADC=∠BEC=90°又∵∠C=∠C∴△BEC∽△ADC21.在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…30-10m…（1）求这个二次函数的表达式及m的值；（2）利用所给的网格，建立平面直角坐标系，画出该函数图像；（不用列表）；（3）观察函数图像，当时，求的取值范围．【答案】（1）;（2）作图见解析（3）【小问1详解】解：可设二次函数的解析式为∵点（2，-1）在函数图像上∴解得：故二次函数解析式为把（4，m）代入得【小问2详解】解：图像如下图所示【小问3详解】解：由（2）图像知，当时，22.已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于的一元二次方程的解为；（2）求此抛物线的解析式．（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）【详解】解：（1）由函数图像可得，二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴一元二次方程的解为，，故答案为：，；（2）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），∴抛物线的解析式为；（3）联立得，∵二次函数与直线没有交点，∴一元二次方程没有实数根，∴∴．23.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB=∠EBC．（1）求证：△ABE∽△BEC；（2）若BE=2，求的值．【答案】（1）见解析（2）4【小问1详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∠CEB=∠ABE又∵∠EAB=∠EBC∴△ABE∽△BEC【小问2详解】解：∵△ABE∽△BEC∴，∴∵BE=2∴=424.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4．（1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．【答案】（1）（2）当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8【小问1详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，∵CE=CF，CE=x，∴CF=x，∴BE=DF=4-x，∴，∴，∴；【小问2详解】解：，∴当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8．25.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：（1）写出自变量x的取值范围；（2）画函数图象；列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；x…－3－2－1123…y…12442m…描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：①____________；②____________．【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，②无论x取何值，函数值恒大于0【详解】解：（1）自变量的取值范围为：；（2）把代入得，；该函数的图象如下：（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，②无论x取何值，函数值恒大于0.【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提．26.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？【答案】水管长为2.25m．【详解】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0）求得：a＝．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），令x＝0，则y＝＝2.25．故水管长为2.25m．27.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，-3）且平行于x轴的直线，与直线y=x-6交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线:经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2:与线段AB恰有一个公共点．结合函数的图像，求a的取值范围．【答案】（1）A（3，-3），B（-1，-3）（2）y=x2-2x-6，顶点坐标（1，-7）（3）【小问1详解】解：∵点A是直线y=-3与直线y=x-6的交点，∴x-6=-3，解得x=3∴点A（3，-3）∵点A点B关于直线x=1对称∴点B（-1，-3）【小问2详解】∵抛物线:经过点A、B∴，解得：∴函数表达式为：∴该抛物线的顶点坐标为（1，-7）【小问3详解】如图，当过点A、B时为临界，把点B（-1，-3）代入，得a=-3把点A（3，-3）代入，得9a=-3,解得：a=,∴a的取值范围为28.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，过点D作DE的垂线与直线AC交于点F，连结EF．求证：AF=BE．探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE．请你根据小明的探究过程解决以下问题：（1）探索发现：如图2，若点E为边AB延长线上一点，其他条件不变，AF与BE还相等吗？请说明理由．（2）类比迁移：如图3，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，以DE为一边作∠EDF=60°，交直线AC于点F，且AE=2AF．请你依据题意补全图形，